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高中数学竞赛讲义四


高中数学竞赛讲义(四)
──几个初等函数的性质

一、基础知识

1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数,其定义 域为 R,值域为(0,+∞),当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增 函数,它的图象恒过定点(0,1)。

>2.分数指数幂:



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数,其 定义域为(0,+∞),值域为 R,图象过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减 函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。

4.对数的性质(M>0, N>0);

1)ax=M

x=logaM(a>0, a 1);

2)loga(MN)= loga M+ loga N;

3)loga(

)= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,

5)loga

=

loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=

(a,b,c>0, a, c 1).

5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 间为 和 。(请读者自己用定义证明)



,单调递减区

6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少有一个实根。

二、方法与例题

1.构造函数解题。

例1

已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函 数。

所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1).

因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,

所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0.

例2 则 (

(柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R, ) · ( ) ≥( )2,等号当且仅当存在 R,使 ai= , i=1,

2, ?, n 时成立。

【证明】

令 f(x)= (

)x2-2(

)x+

=

,

因为

>0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,

所以△=4(

)-4(

)(

)≤0.

展开得(

)(

)≥(

)2。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在

,使 ai=

, i=1, 2, ?, n。

例3 最小值。

设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u=



【解】u=

=xy+

≥xy+

+2·

=xy+

+2.

令 xy=t,则 0<t=xy≤

,设 f(t)=t+ ,0<t≤

因为 0<c≤2,所以 0<

≤1,所以 f(t)在

上单调递减。

所以 f(t)min=f(

)=

+

,所以 u≥

+

+2.

当 x=y=

时,等号成立. 所以 u 的最小值为

+

+2.

2.指数和对数的运算技巧。

例4

设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

的值。

【解】

令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

所以 9 t +12 t =16 t,即 1+

记 x=

,则 1+x=x2,解得



>0,所以

=

例5 且

对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w, ,求证:a+b=c.

【证明】

由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

所以

lga= lg70,

lgb=

lg70,

lgc= lg70,

相加得

(lga+lgb+lgc)=

lg70,由题设



所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70.

所以 abc=70=2×5×7.

若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1.

又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7.

所以 a+b=c.

例6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 logab c =(ac) .
2

【证明】

由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得



因为 ac>0, ac 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab.

注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。

3.指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注 意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7

解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

【解】

方程可化为

=1。设 f(x)=

,

则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

例8

解方程组:

(其中 x, y∈R+).

【解】

两边取对数,则原方程组可化为

①②

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0.

由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6,

代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0.

又 y>0,所以 y=2, x=4.

所以方程组的解为

.

例9 已知 a>0, a 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取 值范围。

【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足

.①②③

若①、②同时成立,则③必成立,

故只需解

.

由①可得 2kx=a(1+k2),



当 k=0 时,④无解;当 k 0 时,④的解是 x=

,代入②得

>k.

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1.

综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

三、基础训练题

1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0” 的_________条件。

2. 如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根, x2 是方程 x+10x=27 的根, 则 x1+x2=_________.

3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1),B(1,3)在它的图 象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。

4.若 log2a

<0,则 a 取值范围是_________。

5.命题 p: 函数 y=log2

在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数

y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。

6.若 0<b<1, a>0 且 a 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b).

7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 _________。

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数

的单调递增区间是_________。

10.函数 f(x)=

的值域为_________。

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n≥ 2, a∈R.若 f(x)在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。

12.当 a 为何值时,方程

=2 有一解,二解,无解?

四、高考水平训练题

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是_________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ _________.

时恒成立,则 m 的取值范围是

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________.

4. 若 f(x)=ln

,则使 f(a)+f(b)=

_________.

5. 命题 p: 函数 y=log2

在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数

y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件.

6.若 0<b<1, a>0 且 a 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|.

7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 _________.

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y=

的单调递增区间是_________.

10.函数 f(x)=

的值域为_________.

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n≥ 2,a∈R。若 f(x) 在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。

12.当 a 为何值时,方程

=2 有一解,二解,无解?

四、高考水平训练题

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是__________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ________.

时恒成立,则 m 的取值范围是

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________.

4.若 f(x)=ln ________.

,则使 f(a)+f(b)=

成立的 a, b 的取值范围是

5.已知 an=logn(n+1),设 则 p·q 的值为_________.

,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,

6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.

7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是 ________.

8.函数 f(x)=

的定义域为 R,若关于 x 的方程

f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________.

(1)b<0 且 c>0;(2)b>0 且 c<0;(3)b<0 且 c=0;(4)b≥0 且 c=0。

9. 已知 f(x)= 函数(填奇偶性).

x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0), 则 F(x)是________

10. 已知 f(x)=lg 则 f(a)+f(b)=________.

, 若

=1,

=2, 其中|a|<1, |b|<1,

11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个 数。

12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f

,求证:

(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4.

13.设 a>0 且 a 1, f(x)=loga(x+

)(x≥1),(1)求 f(x)的反函数

f-1(x);(2)若 f-1(n)<

(n∈N+),求 a 的取值范围。

五、联赛一试水平训练题

1.如果 log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0, 那么将 x, y, z 从小到大排列为___________.

2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log

1993+ log

1993+ log

1993>

klog 1993 恒成立,则 k 的最大值为___________.

3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 ___________.

的值为

4.已知 0<b<1, 00<α <450,则以下三个数:x=(sinα )logbsina, y=(cosα ) logbsina, z=(sinα ) logbsina 从小到大排列为___________.

5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是 ___________.

6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为___________.

7. 若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数, 当 x∈[0,1]时, f(x)=

, 则



由小到大排列为___________.

8.不等式

+2>0 的解集为___________.

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

10.(1)试画出由方程

所确定的函数

y=f(x)图象。

(2)若函数 y=ax+

与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。

11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ +[ ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。

]+[

]+?

六、联赛二试水平训练题

1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=

的最小值。

2.当 a 为何值时,不等式 log 有且只有一个解(a>1 且 a 1)。

·log5(x2+ax+6)+loga3≥0

3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件; 对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] 这样的函数 f(x). [f(y)] ①都成立,试确定所有

4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。

5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:

f(n)=

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995.

6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f:

f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.

7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。

8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多 项式集合),使对 x 轴上的某个长为 的开区间中的每一个数 x, 有

9.设α ,β 为实数,求所有 f: R+→R,使得对任意的 x,y∈R+,

f(x)f(y)=y2·f

成立。


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