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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 第19讲 等比数列课件 理

时间:2013-12-30


256 1.等比数列{an}中,a3=4,a5=16,则a9=______.

a5 6 解析:因为q ? ? 4,所以a9 ? a3 ? q a3
2

? 4 ? 43 ? 256.

2.等比数列{an}中,a3-a1=8,a6-a4=216,Sn=40, 4 则n=_____.
?a1

? ? q 2 ? 1? ? 8 ?a1 ? 1 ? 解析:由? 3 ,得 ? . 2 ?a1q ? ? q ? 1? ? 216 ?q ? 3 ? a1 ?1 ? q n ? 3n ? 1 又Sn ? ? ? 40,所以n ? 4. 1? q 2

3.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之 4n-1 和等于21,则该数列的通项公式a =______.
n

解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1, 所以通项an=4n-1.

4.设等比数列?an ?的前n项和为Sn, 若S3 ? S6 ? 2S9,则该数列的公比

4 q? ? 2

3

解析:若q ? 1,则有S3 ? 3a1,S6 ? 6a1,S9 ? 9a1 . 因为a1 ? 0,得S3 ? S6 ? 2S9,故q ? 1; a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? 2a1 ?1 ? q 9 ? 由S3 ? S6 ? 2S9,得 ? ? , 1? q 1? q 1? q 整理得q 3 ? 2q 6 ? q 3 ? 1? ? 0. 由q ? 0,得2q ? q ? 1 ? 0,即? q ? 1?? 2q ? 1? ? 0.
6 3 3 3 3 1 4 3 3 因为q ? 1,故q ? ? ,所以q ? ? 2 2

5.以下命题: ①公差为0的等差数列是等比数列;

②公比为的等比数列一定是递减数列;
③a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac; ④a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c; ⑤若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}也是等 比数列;

⑥若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1+an+2}也
是等比数列. ④⑥ 其中正确的命题序号是______.

解析:命题①中未考虑各项都为0的等差数列不是 等比数列,所以错误; 1 命题②可知an ?1 ? an,但an ?1 ? an未必成立, 2 1 例如当首项a1 ? 0时,an ? 0,则 an ? an,即an ?1 ? 2 an,此时该数列为递增数列,所以该命题错误;

命题③中,若a ? b ? 0,c ? R,此时有b ? ac,
2

但数列a,b,c不是等比数列,所以应是必要而不 充分条件,所以错误;命题⑤,当等比数列?an ?的 公比为 ? 1时,an ? an ?1 ? 0,此时数列?an ? an ?1? 不 是等比数列,所以命题错误;命题④⑥正确.

等比数列的基 本量运算
【例1】
已知等比数列{an},若a1 +a2 +a3 =7, a1·a2·a3=8,求an.

2 【解析】方法1:因为a1 ? a3=a2, 3 所以a1 ·2 ·3=a2=8,所以a2=2, a a

?a1 ? a3 ? 5 ?a1 ? 1 ?a1 ? 4 所以由 ? ,得? 或? , ?a3 ? 4 ?a3 ? 1 ?a1 ? a3 ? 4 1 所以a1=1,q=2或a1=4,q= , 2 所以an=2n-1或an=23-n .

方法2:因为a2=a1q,a3=a1q ,
2

?a1 ? a2 ? a3 ? a1 ?1 ? q ? q 2 ? ? 7 ? 所以 ? , 3 3 ?a1 ? a2 ? a3 ? a1 q ? 8 ? ?a1 ? 4 ?a1 ? 1 ? 解得 ? 或? 1, ?q ? 2 ?q ? ? 2 所以an=2n-1或an=23-n .

研究等差数列或等比数列, 通常向首项a1 ,公差d(或公比q)

转化.在a1 ,an ,d(或q),Sn ,n
五个基本量中,能“知三求 二”.

【变式练习1】

等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4
=1,S8=3.求:

(1)等比数列{an}的公比q;
(2)a17+a18+a19+a20的值.

4 ? a1 ?1 ? q ? ? S4 ? 1 ? q ? 1 ? 【解析】1?由 ? , ? 8 ? S ? a1 ?1 ? q ? ? 3 ? 8 1? q ?

两式相除得1+q =3,即q= ? 2.
4 4

? 2 ? a17+a18+a19+a20
a1 ?1 ? q ? 16 4 1? q =a1q · = · =2 =16. q 1? q 1? q
4 4 16

等比数列的判定 与证明
【例2】
设数列{an}的前n项和为Sn ,数列{bn}中, b1=a1,bn=an-an-1(n≥2).若an+Sn=n, (1)设cn =an -1,求证:数列{cn}是等比 数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

【解析】1? 证明:由an+Sn=n,得an-1+S n-1 ? =n-1(n ? 2),两式相减得2an-an-1=1(n ? 2), 即2(an-1)=an-1-1(n ? 2), 1 所以cn= cn-1 (n ? 2). 2 1 又由a1+S1=1,解得a1= , 2 1 所以c1=a1-1=- ? 0, 2 所以数列?cn ? 是等比数列.

1 1 n-1 1 n ? 2 ?由?1? 知cn=(- ) ? ( ) =-( ) , 2 2 2 1 n 所以an=cn+1=1-( ) , 2 1 n 所以bn=an-an-1=( ) (n ? 2). 2 1 1 n 又b1=a1= 适合上式,所以bn=( ) . 2 2

判断一个数列是等比数列的方 法有定义法、等比中项法,或者从

通项公式、求和公式的形式上判
断.证明一个数列是等比数列的方 法有定义法和等比中项法,注意等 比数列中不能有任意一项是0.

【变式练习2】 1 数列?an ?的前n项和为Sn,且Sn= (an-1). 3 ?1? 求a1,a2;

? 2 ? 证明:数列?an ?是等比数列; ? 3? 求an与Sn .

1 1 【解析】1?因为a1=S1= (a1-1),所以a1=- . ? 3 2 1 1 又a1+a2=S 2= (a2-1),所以a2= . 3 4 1 1 ? 2 ? 证明:因为Sn= (an-1),所以Sn+1= (an ?1-1), 3 3 1 1 1 两式相减得an+1= an ?1- an,即an+1=- an, 3 3 2 1 1 所以数列?an ? 是首项为- , 公比为- 的等比数列. 2 2 1 1 n ?1 1 n ? 3?由? 2 ? 得an=(? ) ? (? ) =(- ) , 2 2 2 1 1 n S n= [(- ) -1].   3 2

等比数列的公式及 性质的综合应用
【例3】 已知递增的正项等比数列?an ?中,a5-a1=15, a4-a2=6.

?1? 试求an,Sn; ? 2 ? 求证:S7,S14-S7,S21-S14成等比数列;

? 3? 若数列?bn ? 满足:bn=4an,在直角坐 标系中,画出bn=f ? n ?的图象;
1 ? 4 ? 若数列?cn ? 满足:cn= ,数列?cn ? an 的前n项和为Tn,试比较Tn与2的大小.

【解析】1? 设递增的正项等比数列?an ?的公比为q. ? 因为a5-a1=a1 (q -1)=15,a4-a2=a1q (q -1)=6,
4 2

q2 ? 1 5 两式相除,得 = , q 2 1 即2q -5q+2=0,解得q=2或q= . 2 因为数列?an ? 是递增的正项数列,所以q=2.
2

将q=2代入a1 (q -1)=15,得a1=1,
4

所以an=a1q

n-1

=2

n-1

a1 ?1 ? q ? ,S n= =2n-1. 1? q
n

(2)证明:因为S7=27-1,S14=214-1,S21=221

-1,
所以S14-S7=27(27-1),S21-S14=214(27-1), 所以S7· 21-S14)=214· 7-1)2=(S14-S7)2, (S (2 所以S7,S14-S7,S21-S14成等比数列. (3)因为f(n)=bn =4an =2n+1(n∈N*),所以bn =

f(n)的图象是函数f(x)=2x+1的图象上的一列孤立
的点(图略).

1 1 ? 4 ?因为cn= = n?1 , an 2 所以Tn=c1+c2+?+cn 1 1 1 =1+ ? 2 ? L ? n ?1 2 2 2 1 n 1? ? ? 2 =2(1- 1 ) ? 2. = n 1 2 1? 2

本题主要考查三个方面:一是由两个给 出的等式,解方程组求出等比数列的首项和 公比,进而求得通项公式及前n项和公式,

要求记牢公式和细心运算;二是用等比中项
的方法证明三个数成等比数列.一般地,三 个非零实数a、b、c满足b2 =ac,则a、b、c 成等比数列;三是考查等比数列的图象.此 题不难,但较全面地考查了等比数列的有关

知识,对复习基础知识是很有帮助的.

【变式练习3】 在数列?an ?中,a1=1,an=1+2an+1,n ? N*, bn=1+an .

?1? 计算a2,a3的值; ? 2 ? 探究数列?bn ? 是否为等比数列?若是, 求出?an ?的通项公式;若不是,说明理由;
1 ? 3? 设cn= nbn,求数列?cn ?的前n项和Sn . 4

【解析】1?由a1=1,a1=1+2a2,得a2=0. ? 1 由a2=1+2a3,得a3=- . 2 1 ? 2 ?由bn=1+an 及an=1+2an+1,得bn+1= bn . 2 因为b1=a1+1=2 ? 0,从而bn ? 0, 1 所以数列?bn ? 是以2为首项,公比为 的 2 等比数列. 1 n-1 1 n-2 所以bn=2 ? ( ) ,故an=( ) ? 1(n ? N* ). 2 2

1 1 n ? 3?因为cn= nbn=n( ) ,所以Sn=c1+c2+c3+?+cn 4 2 1 1 2 1 3 1 n = +2 ? ( ) +3 ? ( ) +?+n ? ( ) , 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n+1 Sn=( ) +2 ? ( ) +?+(n-1) ? ( ) +n ? ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n+1 两式相减,得 Sn=+( ) +( ) +?+( ) -n ? ( ) 2 2 2 2 2 1 1 n [1 ? ? ? ] 2 2 -n·1 ) n+1=1- n ? 2 ,所以S =2- n ? 2 . = ( n n ?1 n 1 2 2 2 1? 2

等差数列与等比数 列的综合应用
【例4】 设a1,a2, ,an是各项不为零的n(n ? 4)项等 ? 差数列,且公差d ? 0.若将此数列删去某一 项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列, a1 则所有数对(n, )所组成的集合为 ____________ . d

【解析】当n=4时,各项分别为a1,a1+d,a1+2d,a1 +3d .因为公差d ? 0,所以删去某一项后,得到的数 列(按原来顺序)是等比数列,不可能是原来等差数列 的连续三项.①若删去a1+d 后,由a1,a1+2d,a1+3d 成等比数列,得(a1+2d ) 2=a1 (a1+3d ),化简得a1=-4d, a1 即 =-4;②若删去a1+2d 后,由a1,a1+d,a1+3d 成 d a1 2 等比数列,得(a1+d ) =a1 (a1+3d ),化简得a1=d,即 d =1.当n ? 5时,无论删去哪一项,都至少有原来数列的 a1 连续3项,所以无解,即所有数对(n, )所组成的集合 d 为{(4,-4),4,1?}. ?

此题抓住等比数列中的项不可能是原
来等差数列中的连续3项或3项以上,这实 质上是一个数列如果既是等差数列,同时

又是等比数列,则必定是公差为0的非零常
数数列.因为在等差数列的公差d≠0时,不 能构成等比数列,所以只有n=4可能适合 题意,从而将问题大大简化.

【变式练习4】

已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5
+1,a6成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<128.

【 解 析 】(1) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q(q∈R). 由a7=a1q6=1,得a1=q-6, 从而a4 =a1q3 =q -3 ,a5 =a1q4 =q -2 ,a6

=a1q5=q-1.
因为a4 ,a5 +1,a6 成等差数列,所以a4 +a6=2(a5+1), 即q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1) =2(q-2+1).

所以q= 1/2

1 n-7 1 n 故an=a7 · =( ) ? 128 ? ( ) . q 2 2 1 ? 2 ? 证明:因为a1=64,q= , 2 1 n 64[1 ? ( ) ] n a1 (1 ? q ) 2 所以Sn= = 1 1? q 1? 2 1 n =128[1-( ) ] ? 128. 2
n-7

1.在等比数列{an}中,a1 +a2 =40,a3 +a4
=60,则a7+a8=__________ 135
【解析】设等比数列?an ?的公比为q. a1+a2=a1 (1+q)=40,a3+a4=a1q 2 (1+q)=60, 3 两式相除,得q = , 2
2

3 3 所以a7+a8=a1q · +q)=40 ? ( ) = (1 135. 2
6

2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. 若 Sn + 1 , Sn , Sn + 2 成 等 差 数 列 , 则 q = -2 ____________.
【解析】由题意知,Sn=Sn+1+Sn+2 .当q=1时,得 2 2na1=(n+1)a1+(n+2)a1,解得a1=0,与条件"等 比数列"矛盾,故q=1舍去;当q ? 1时,利用等 比数列的前n项求和公式得 2a1 ?1 ? q n ? a1 ?1 ? q n ?1 ? a1 ?1 ? q n ? 2 ? = + ,化简得 1? q 1? q 1? q q 2+q-2=0,解得q=-2(舍去1),所以q=-2.

3.等比数列?an ?的各项为正,公比q满足q 2 ? 4, 1 a3 ? a4 则 的值为  2 a ?a
4 5

解析: n }的各项为正,则q ? 0,又q ? 4,所以 {a
2

a3 ? a4 a3 ? a4 1 1 q ? 2. ? ? ? a4 ? a5 q? a3 ? a4 ? q 2

4.(2011· 南通三模卷)已知三数x+log272,x+log92, x+log32成等比数列,则公比为_______. 3
解析:因为三数x ? log 27 2,x ? log 9 2,x ? log 3 2 成等比数列,所以 ? x ? log 9 2 ? ? ? x ? log 27 2 ?
2

1 ? x ? log3 2 ?,即( x ? log3 2)2 ? ( x ? log 3 2) ? x ? log 3 2 ?, 2 x ? log 3 2 1 解得x ? ? log 3 2,所以公比q ? ? 3. 1 4 x ? log3 2 2

5.已知数列{an}是公比为q的等比数列, 且a1、a3、a2成等差数列. (1)求公比q的值; (2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等 差数列,其前n项和为Sn.当n≥2时,比 较Sn与bn的大小,并说明理由.

【解析】1?由题设2a3=a1+a2,即2a1q 2=a1+a1q. ? 1 因为a1 ? 0,所以2q -q-1=0,所以q=1或- . 2 n? n ? 1? n 2 ? 3n ? 1= . ? 2 ? 若q=1,则Sn=2n+ 2 2 ? n ? 1?? n ? 2? 当n ? 2时,S n-bn=S n-1= ? 0,故S n ? bn . 2 1 n? n ? 1? 1 ? n 2 ? 9n 若q=- ,则S n=2n+ ? (- )= . 2 2 2 4 ? n ? 1?? n ? 10? 当n ? 2时,S n-bn=S n-1=2 故对于n ? N+,当2 ? n ? 9时,S n ? bn;
2

当n=10时,S n=bn;当n ? 11时,S n ? bn .

本节内容主要考查数列的运算、推理及
转化的能力与思想,考题一般从三个方面进 行考查:一是应用等比数列的通项公式及其 前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题; 二是给出一些条件求出首项和公比进而求得

等比数列的通项公式及其前n项和公式,或将
递推关系式变形转化为等比数列问题间接地 求得等比数列的通项公式;三是证明一个数 列是等比数列.

1.等比数列常用的性质: (1)等比数列{an}中,对任意的m,n,p, q∈N* ,若m+n=p+q,则am·an =ap·aq.特 别地,若m+n=2p,则am·an=ap2.

(2)对于等比数列{an}中的任意两项an、am,
都有关系式an=amqn-m,可求得公比q.但要注 意n-m为偶数时,q有互为相反数的两个 值. (3)若{an}和{bn}是项数相同的两个等比数

列,则{an·bn}也是等比数列.

2.已知三个数成等比数列,往往设 a 此三数为 ,a,aq可以方便地解决问题. q 3.证明一个数列?an ? 是等比数列有两 种方法: an ?1 ?1? 用定义证明:即求得 是一个与 an n无关的常数.

? 2 ? 利用等比中项:即证明a
(n ? N* ).

2 n?2

=an an+2

4.求1+a+a +a +?+a 的值时要注意:
2 3 n

?1? 它是等比数列求和吗?分a=0,a=1,
a ? 0且a ? 1三种情况讨论;

? 2 ?当a ? 0时,它是等比数列前多少项的
a1 ?1 ? q n ? 和?可以用公式Sn= 求吗? 1? q 5.等比数列中不可能出现为0的项. 6.若a1,a2, ,an是等差数列,则2a1,a2, ? 2 2a3, ,an是等比数列,反之也对. ?2


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