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圆-直线和圆的位置关系例题


圆-直线和圆的位置关系

一、知识回顾
1、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: 直线 l 与⊙O 相交 <====> d<r; 直线 l 与⊙O 相切 <====> d=r; 直线 l 与⊙O 相离 <====> d>r; 2、切线的判定和性质 (1) 、切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的

切线。 (2) 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中,OD 、 垂直于切线。 3、切线长定理 (1) 、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫 做这点到圆的切线长。 (2) 、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹角。 如右图中:圆外一点 P 与圆 O 相切与 D,E 两点,所以有 PD=PE,可以通 过连接 OP 来证明。 4、弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半, 。(弦切角就是 切线与弦所夹的角) 5、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项。

二、典型例题
例 1:若⊙O 与直线 m 的距离为 d,⊙O 的半径为 r,若 d,r 是方程 x2-11x+30=0 的两个根,则直线 m 与⊙O 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相离

分析:用因式分解法求出方程的两个根分别是 5 和 6,分 d=5,r=6 和 d=6,r=5 判断 解答: (x-5) (x-6)=0 ∴x1=5,x2=6 当 d=5,r=6 时,直线和圆相交 当 d=6,r=5 时,直线和圆相离 故选 D 例 2: (2011·杭州)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(-3,4)为圆心,4 为半径 的圆( ) A.与 x 轴相交,与 y 轴相切 B.与 x 轴相离,与 y 轴相交 C.与 x 轴相切,与 y 轴相交 D.与 x 轴相切,与 y 轴相离 分析:首先画出图形,根据点的坐标得到圆心到 X 轴的距离是 4,到 Y 轴的距离是 3, 根据直线与圆的位置关系即可求出答案. 解答:圆心到 X 轴的距离是 4,到 y 轴的距离是 3 4=4,3<4 ∴圆与 x 轴相切,与 y 轴相交 故选 C 例 3:下列说法中正确的是( ) A.垂直于半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端的直线是圆的切线 径

B.圆的切线垂直于半径 D.圆的切线垂直于过切点的半

分析:根据圆的切线的性质定理和判定定理可得. 解答:根据圆的切线的性质定理得:圆的切线垂直于经过切点的半径; 切线的判定定理得:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 故选 D 例 4: (2004·深圳)圆内接四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,EF 切圆于 C,若 ∠BCD=120°,则∠BCE=( ) A.30° B.40 C.45° D.60°

分析:由弦切角定理可得:∠BCE=∠BAC;因此欲求∠BCE,必先求出∠BAC 的度数. 已知∠BCD=120°, 由圆内接四边形的对角互补, 可得出∠BAD=60°, 而 AC 平分∠BAD,即可求出∠BAC 的度数. 解答:∵四边形 ABCD 内接于⊙O ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD=180°-120°=60°

∵AC 平分∠BAD ∴∠BAC=1/2 ∠BAD=30° ∵EF 切⊙O 于 C ∴∠BCE=∠BAC=30°.故选 A 例 5:2002·佛山) ( 如图, 直线 AB 切⊙O 于点 A, 割线 BDC 交⊙O 于点 D、 若∠C=30°, C. ∠B=20°,则∠ADC=( ) A.70° B.50° C.30° D.20° 分析:根据弦切角定理得∠BAD 的度数,再根据三角形的外角的性质再进一步求解. 解答:∵直线 AB 切⊙O 于点 A ∴∠BAD=∠C=30° ∴∠ADC=50° 故选 B

例 6:如图,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,AC 是⊙O 的直径,∠BAC=20°, 求∠P 的度数为( ) A.50° B.70° C.110° D.40° 分析:根据切线性质得出 PA=PB,∠PAO=90°,求出∠PAB 的度数,得出∠PAB=∠PBA, 根据三角形的内和定理求出即可. 解答:∵PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,AC 是⊙O 的直径, ∴∠CAP=90°,PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA, ∵∠BAC=20°, ∴∠PBA=∠PAB=90°-20°=70°, ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-70°-70°=40°, 故选 D. 例 7:如图,已知 AB 为⊙O 的直径,CB 切⊙O 于 B,CD 切⊙O 于 D,交 BA 的延长 线于 E,若 AB=3,ED=2,则 BC 的长为( ) A.2 B.3 C.3.5 D.4 分析:先由切割线定理,求出 AE,再根据勾股定理、切线长定理求出 BC 的长即可. 解答:由切割线定理,得 DE2=EA·EB ∵AB=3,ED=2 ∴4=AE(AE+3) 解得 AE=1 或-4(舍去) ∵CB 切⊙O 于 B ∴∠B=90° ∴根据勾股定理得,BC2+42=(BC+2)2 ∴BC=3 故选 B

三、解题经验
熟记各种定律,最好画图出来认真观察,把这些知识点理解透,掌握这些基础定理还有 能力面对综合性比较强的题目。圆这一章如果是综合题的话,难度还是相当大的,祝同学们 学习愉快。


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