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2014年全国高中数学联合竞赛一试A


2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共计 64 分 1.若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log4 (a ? b) ,则

1 1 ? 的值为 a b

?3 ? ?a ? 2 3.若函数 f ( x) ? x ? a | x

?1 | 在 ?0,??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 2(n ? 2) a2014 an (n ? N ? ), 则 4.数列 ?an ?满足 a1 ? 2, an ?1 ? ? n ?1 a1 ? a2 ? ? ? a2013 5.正四棱锥 P ? ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角形,M , N 分别是边 AB, BC 的中点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是 6.设椭圆 ? 的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 ? 交于点 P, Q .若 | PF2 |?| F1F2 | 且 3 | PF 1 |? 4 | QF 1 | ,则 椭圆 ? 的短轴与长轴的比值为 7.设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2,圆心为 I .若点 P 满足 PI ? 1 ,则 ?APB 与 ?APC 的面积之比的最
2.设集合 ? ? b | 1 ? a ? b ? 2? 中的最大元素与最小元素分别为 M , m ,则 M ? m 的值为 大值为 8.设 A, B, C , D 是空间四个不共面的点,以

1 的概率在每对点之间的连一条边,任意两对点之间是否连边是相 2

互独立的,则 A, B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分 16 分)平面直角坐标系 xoy 中, P 是不在 x 轴上的一个动点,满足条件:过 P 可作抛物线

y 2 ? 4x 的两条切线,两切点连线 l p 与 PO 垂直。设直线 l p 与直线 PO , x 轴的交点分别为 Q, R 。 (1)证明 R 是一个定点; | PQ | (2)求 的最小值。 | QR |

10.(本题满分 20 分)数列 ?an ?满足 a1 ?

?
6

, an ?1 ? arctan(sec an )( n ? N ? ). .求正整数 m ,使得

1 sin a1 sin a2 ? sin an ? . 100
11.(本题满分 20 分)确定所有的复数 c ,使得对任意复数 z1 , z2 (| z1 |, | z2 |? 1.z1 ? z2 ), 均有

( z1 ? c)2 ? c z1 ? ( z2 ? c)2 ? c z2




abc 1 ? . 2 4

一、 (本题满分 40 分)设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , abc ? 0 ,求证: ab ? bc ? ca ?
?

二、(本题满分 40 分)如图,在锐角三角形 ABC 中, ?BAC ? 60 , 过点 B, C 分别作三角形 ABC 的外接 圆的切线 BD, CE , 且满足 BD ? CE ? BC , 直线 DE 与 AB, AC 的延长线分别交于点 F , G 。 设 CF 与 BD

交于点 M , CE 与 BG 交于点 N 。证明: AM ? AN .

三、(本题满分 50 分)设 S ? ? 1,2,?,100?,求最大的整数 k ,使得 S 有 k 个互不相同的非空子集,具有性质: 对这 k 个子集中任意两个不同子集 ,若它们的交非空 ,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素 均不相同. 四、(本题满分 50 分)设整数 x1 , x2 ,?, x2014 模 2014 互不同余,整数 y1 , y2 ,?, y2014 模 2014 也互不同余.证 明:可将 y1 , y2 ,?, y2014 重新排列为 z1 , z2 ,?, z2014 ,使得 x1 ? z1 , x2 ? z2 ,?, x2014 ? z2014 模 4028 互不同余.


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