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2014年高二数学(文)考试题(1)

时间:2013-10-16


2014 年高二数学(文)考试题(1)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题 20 小题,共 6 页,满分 150 分.考试用 时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面、第 5 面用黑色字迹的钢笔或签字笔填 写自己的考生号、姓名,填写考场试室号、座位号,再用 2B 铅笔把对应号码的标号 涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也 不超出能指定的区域,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 1. 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
?

2.线性回归方程: y ? b x ? a , b ?

?

?

?

? ( x ? x)( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

,a ? y ?b x

?

?

2

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数 1 ? i 在复平面内对应的点位于( ﹡ ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是: a ? R ,结论是: a ? 0 ,那么这
2

个演绎推理所得结论错误的原因是: ﹡ ) ( . A.大前提错误 3. 双曲线 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提小前提都错

x2 ? y 2 ? 1 的焦点坐标为( ﹡ ) . 4
B. (0,? 3 ) C. (? 5 ,0) D. (0,? 5 )

A. (? 3 ,0)

4.若 k ? R ,则 k ? 3 是方程 A.充分不必要条件 C.充要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( ﹡ ) . k ?3 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A 、 B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法

1

分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 0.78 106 丙 0.69 124 丁 0.85 103

r
m

0.82 115

则哪位同学的试验结果体现 A 、 B 两变量更强的线性相关性?( ﹡ ) .D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形,如第 1 个图中有 4 根火柴棒,第 2 个图中 有 7 根火柴棒,则在第 51 个图中有火柴棒( ﹡ ) C .

(1)

(2)

(3)

(4)

A. 150 根

B. 153 根
3

C. 154 根 ② ?x ? Q, 使 x ? 2,
2

D. 156 根 ③ ?x ? N , 有 x ? x ,
3 2

7.已知四个命题:① ?x ? R, 使 x ? 1,
2

④ ?x ? R, 有 x ? 1 ? 0, .其中的真命题是: ﹡ )A ( A.①④
2

B.②③

C.①③

D.②④

8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( ﹡ )C 6 2
C. 4
2

D. ?4

9.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x 的切线方程为( ﹡ )D A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

10.已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? c ,其导函数图象如图1所示, 则函数 f ( x ) 的极小值是 ( * ) D A. a ? b ? c C. 3a ? 2b B. 8a ? 4b ? c D. c

第二部分 非选择题(共 100 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分
20 分.)

2

11. 抛物线 x ? y 的准线方程是
2





12.函数 y ? x ? e 的单调递减区间是
x





13.已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e ? ,过左焦点 F1 (?1, 0) 的直线交椭圆 2 2 a b
﹡ .

于 A, B 两点,椭圆的右焦点为 F2 ,则 ?ABF2 的周长是 则可以输出的函数是 ﹡ .

14.某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y (万元)有左下表统计资料.若由资料知

6 y y 对 x 呈线性相关关系,则线性回归方程为 ? ? x ? 5





x
y

2 2

3 4

4 6

5 6

6 7

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 15. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ,且 2 cos A ? (Ⅰ)求 ?C 的大小。 (Ⅱ)证明 ?ABC 是等边三角形

sin( A ? B) . sin B

16. (本小题满分 12 分) 先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题 若 a1 , a2 , a3

? R, a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,则 a12 ? a22 ? a32
2 2

1 ? . 3
2

证明:构造二次函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a2 ) ? ( x ? a3 ) ? 0, 将 f ( x) 展开得:
2 2 f ( x) ? 3x 2 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) x ? a12 ? a2 ? a3
2 2 ? 3x 2 ? 2 x ? a12 ? a2 ? a3

? 对一切实数 x 恒有 f ( x) ? 0 ,且抛物线的开口向上

1 2 2 2 2 ? ? ? 4 ? 12(a12 ? a2 ? a3 ) ? 0 ,? a12 ? a2 ? a3 ? . 3

3

(Ⅰ)类比猜想: 若 a1 , a2 ,?, an

? R, a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,则



(在横线上填写你的猜想结论) (Ⅱ)证明你的猜想结论.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, AB ? 4, BC ? 3, 且 BC ? 平面 ABE ,F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面 ACE. (1)设点 M 为线段 AC 的中点,点 N 为线段 CE 的中点,求证: MN ∥平面 DAE. (2)求证 AE ? BE; (3)当 ?ABE ? 30 时,求三棱锥 C ? ADE 的体积。
O

D M F N A E

C

B

18.(本小题满分 14 分) 为积极响应国家“家电下乡”政策的号召,某厂家把总价值为 10 万元的 A、B 两种型号 的电视机投放市场,并且全部被农民购买。若投放的 A、B 两种型号的电视机价值都不低于 1 万元,农民购买 A、B 两种型号的电视机将按电视机价值的一定比例给予补贴,补贴方案 如下表所示,设投放市场的 A、B 型号电视机的价值分别为 a 万元, x 万元,农民得到的补贴 为 y 万元,解答以下问题. A 型号 电视机价值(万元) 农民获得补贴(万元) B 型号

a
1 a 10

x
2 ln x 5

4

(1) 用 x 的代数式表示 a (2) 当 x 取何值时, y 取最大值并求出其最大值 (精确到 0.1, 参考数据: 4 ? 1.4 ) ln

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax2 ? bx ? 1( x ? R, a ,b 为实数)有极值,且在 x ? 1处的切线

3

与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不 存在,请说明理由;

20. (本大题满分 14 分)
x2 y2 如图,已知直线L: x ? my ? 1 过椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点F, a b

且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点D、E. (Ⅰ)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若 N (

a2 ?1 ,0) 为x轴上一点; 2

求证: A、N、E三点共线.

5

参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 D 10 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 x ? 1 ? 0 注:每小题设:5 分一档 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ∵ a 2 ? b2 ? c2 ? ab , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?????????1分
∴ 2ab cos C ? ab , cos C ?

12. (1, ??)

13.8

14.

1 5

1 ?????????????????3分 2

∵C为 △ ABC 的内角
∴ C ? 60° ????????????????????????4分

(Ⅱ)∵ 2cos A sin B ? sin( A ? B)
∴ 2 cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ,??????????????6分

∴ sin( A ? B) ? 0

.????????????????????????8分

∵ A 与 B 均为 △ ABC 的内角,
∴ A ? B . ??????????????????????????10分 ∴ △ ABC 为等边三角形.

???????????????????12分

16. (本小题满分 12 分) 本题主要考查简单的合情推理和证明能力. (Ⅰ)类比猜想: 若 分 (Ⅱ) 证明: 构造二次函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a2 ) ? ? ? ( x ? an ) ? 0 ????6
2 2 2

2 2 a1 , a2 ,?, an ? R, a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 则 a12 ? a2 ? ? ? an ?

1 ????4 n

6

D M A H N F

C

B

分 将 f ( x) 展开得:

E

2 2 f ( x) ? nx 2 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) x ? a12 ? a2 ? ? ? an ???????8 分 2 2 ? nx2 ? 2 x ? (a12 ? a2 ? ? ? an )

??????????????? 8



? 对一切实数 x 恒有 f ( x) ? 0 ,且抛物线的开口向上
2 2 ? ? ? 4 ? 4n(a12 ? a2 ? ? ? an ) ? 0

??????10 分

?????????? 12 分

即: a1 ? a2 ? ? ? an ?
2 2 2

1 .????????????????? 12 分 n

17. (本小题满分 14 分) 本题主要考查应用立体几何的基本知识进行直接推理和间接推理的能力. 证明: (1)连接 MN . ∵点 M , N 分别为线段 AC 、 CE 的中点, ∴ MN // AE ?????????????????????????2 分 ∵ AE ? 平面 DAE , MN ? 平面 DAE , ∴ MN ∥平面 DAE .??????????????????????4 分 (2)∵ BC ? 平面ABE , AE ? 平面ABE , ∴ AE ? BC . ???????????????????????6 分 又∵ BF ? 平面ACE , AE ? 平面ACE , ∴ AE ? BF . ?????????????????????????8 分 ∵ BF ? BC ? B , ∴ AE ? 平面BCE . ??????????????????????9 分 又∵ BE ? 平面BCE , ∴ AE ? BE ???????????????????????10 分 (3)过点 E 作 EH ? AB交AB于H, ???????????????11 分 由条件可知: EH ? 平面ABCD 得 AE ? 2, BE ? 2 3, ∴ VC ? ADE ? VE ? ADC ? ????????????????12 分
O

又由(1)知, AE ? EB, 且 ?ABE ? 30 , AB ? 4, 可求得 EH ?

1 S ?ADC 3

3 ????????????13 分 1 1 ? EH ? ? ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 3 ????14 分 3 2

7

18. (本小题满分 14 分) 本题主要考查应用导数知识解决实际问题的能力. 解: (1)设 B 型号的电视机的价值为 x 万元( 1 ? x ? 9) ,农民得到的补贴为 y 万元, 则 A 型号电视机的价值为 a ? 10 ? x 万元, ??????3 分 (2)由题意得:

1 2 2 1 (10 ? x) ? ln x ? ln x ? x ? 1 ?????6 分 10 5 5 10 2 1 ??????8 分 y? ? ? ,由 y ? ? 0 得, x ? 4, 5 x 10 当 x ? ?1,4? 时, y ? ? 0 , ????????????10 分 当 x ? ?4,9? 时, y ? ? 0 , ????????????12 分 所以当 x ? 4 时, y 取最大值,??????????13 分 2 y max ? ln 4 ? 0.4 ? 1 ? 1.2 。 ??????????14 分 5 y?
19. (本小题满分 14 分) 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,同 时考查综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 解:(1)? f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? bx ? 1,

3

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 由题意

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1, ????????????????2 分

?b ? 2a.
?? ? 4a 2 ? 4b ? 0,
2

①????????3 分

? a 2 ? b ? 0.

②????????4 分

由①、②可得, a ? 2a ? 0.

? a ? ?2或a ? 0. ?????5 分

故实数 a 的取值范围是 a ? (??,?2) ? (0,??) ?????????6 分

(2)存在 a ? ? 8 . ???????? ????????????7 分

3

由(1)可知 f ?( x) ? x ? 2ax ? b, 令f ?( x) ? 0 ,
2

? x1 ? ?a ? a 2 ? 2a , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a . ????????????8 分

x
f ?(x)

(??, x1 )
+

x1
0

( x1 , x 2 )


x2
0

( x 2 ? ?)
+

8

f (x)

单调增

极大值

单调减

极小值

单调增

? x ? x2时, f ( x)取极小值, 则f ( x2 ) ?
2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0

1 3 2 x2 ? ax2 ? 2ax2 ? 1 ? 1 , 3
???????? 9 分 ???????10 分

若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍).

2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

? a ? 0,


? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

? ? ? ? 13

8 ? 存在实数a ? ? , 使得函数f ( x) 的极小值为 1 ???14 分 3
20. (本小题满分 14 分) 本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系,同时考查综合运用所学知识分析问题 和解决问题的能力. 解: (Ⅰ)易知 b ?

3 ? b 2 ? 3, 又F (1,0)

????????2分 ????????4分

?c ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 ? 4

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

????????5分

2 (Ⅱ) F (1,0), K (a 2 ,0) ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), E (a , y2 ) ????????6分

? x ? my ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? m 2b 2 ? 1) ? 0 (? a ? 1)
?????9分

又K AN ?

而K AN

? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1 ? a2 ? my1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 ? K EN ? ?0 1 ? a2 a2 ?1 ( ? my1 ) 2 2
2

???????11分

9

(这是 ?

a2 ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2

??????13分

∴K

AN

? K EN

∴A、N、E三点共线

??????????14分

说明:1.本答案仅供参考,若有其它解(证) 法,阅卷时请视具体情况予以量化给分。 如学生将 a ? 4, b ? 3 代入计算同样给分。本题结论可改为证明直线 AE 过定点 N。
2 2

2.直线 G: x ? a ? 4 是椭圆的右准线,N 点是 FK 的中点,特别地,当直线 L 与 X
2

轴垂直时,sz 四边形 ABED 是矩形,对角线 AE 与 BD 交于点 N ( , 0) ,一般地,当直线 L 绕 点 F 旋转时,直线 AE 也过定点 N ( , 0) ,本题结论可当作椭圆的一条性质,对双曲线与抛 物线应有同样的性质,有兴趣的老师可探究、证明。 3. 探究:直线 BD 是否过点 N ( , 0) ?

5 2

5 2

5 2

10


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