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2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件:第三讲 二 一般形式的柯西不等式


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1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则
2 2 2 2 2 (a1 +a2 2+a3)(b1+b2+b3)≥

(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且

仅当 bi=0(i=1,2,3) 或存在一个数

k,使得 ai=kbi(i=1,2,3) 时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式

设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,
2 2 2 2 2 (a1b1+a2b2+… 则(a2 + a +…+ a )( b + b +…+ b 1 2 n 1 2 n)≥

+anbn)2 ,当且仅当 bi=0(i=1,2…n)或存在一个数 k,使
得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
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[例 1]

1 1 设 x1,x2,…,xn 都是正数,求证: + +…+ x1 x2

1 n2 ≥ . xn x1+x2+…+xn

[思路点拨]

根据一般柯西不等式的特点,构造两组数

的积的形式,利用柯西不等式证明.

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[证明]

1 1 1 ∵(x1+x2+…+xn)( + +…+x ) x1 x2 n
2 2 2

1 2 1 2 =[( x1) +( x2) +…+( xn) ][( ) +( ) + …+ x1 x2 1 2 1 1 1 2 ( ) ]≥( x1· + x2· +…+ xn· ) =n2 xn x1 x2 xn 1 1 1 n2 ∴ + +…+x ≥ . x1 x2 x1+x2+…+xn n

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柯西不等式的结构特征可以记为: (a1+a2+…+an)· (b1+b2+…+bn)≥( a1b1+ a2b2+…+ anbn)2. 其中 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),在使用柯西不等 式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确 地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.

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1. 已知 a、 b、 c、 d∈R+, 且 a+b+c=1, 求证: 3a+1+ 3b+1 + 3c+1≤3 2.

证明:根据柯西不等式,有 ( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤ (1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=18 ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2

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a2 b2 c2 2.设 a,b,c 为正数,求证: b + c + a ≥a+b+c.
证明:由柯西不等式知, a2 b2 c2 a 2 b 2 c 2 ( b + c + a )(a + b + c) = [( ) + ( ) + ( ) ]· [( a )2 + b c a a b c ( b) +( c) ]≥( × b+ × c+ × a)2=(a+b+ b c a
2 2

c)2, 又∵a,b,c 为正数,∴a+b+c>0. a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c.
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[例 2]

(1)已知 x、y、z∈R+,且 x+y+z=1.

1 4 9 求 + + 的最小值. x y z (2)设 2x+3y+5z=29. 求函数 μ= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的最大值.
[思路点拨] 1 4 9 1 4 9 (1)利用 + + = ( + + )(x+ y+ z). x y z x y 8

(2)利用( 2x+ 1 + 3y+ 4+ 5z+6)2= 1× 2x+1 +1× 3y+4+1× 5z+6)2.
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[解]

(1)∵x+y+z=1,

1 4 9 1 4 9 ∴x+ y+ z =(x+ y+ z )(x+y+z) ≥( 1 2 3 2 · x + · y + · z ) x y z

=(1+2+3)2=36. y z 当且仅当 x= = , 2 3 1 1 1 即 x= ,y= ,z= 时取等号. 6 3 2 1 4 9 所以x+ y+ z 的最小值为 36.
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(2)根据柯西不等式,有 ( 2x+1· 1+ 3y+4· 1+ 5z+6· 1)2 ≤[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]· (1+1+1) =3×(2x+3y+5z+11) =3×40 =120. 故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 6 9 15 此时 μmax=2 30. 30,

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利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进 行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立 的条件.

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1 1 1 3.设 a,b,c,d 均为正实数,则(a+b+c+d)· (a+b+ c 1 +d)的最小值为________. 1 1 1 1 解析:(a+b+c+d)· (a+b+c +d)
1 2 1 2 1 2 = [( a ) + ( b ) + ( c ) + ( d ) ]· [( ) + ( ) + ( ) + a b c 1 1 1 1 1 ( )2]≥( a · + b · + c · + d · )2 = (1 + 1 + 1 + d a b c d
2 2 2 2

1)2=42=16, 当且仅当 a=b=c=d 时取等号.

答案:16
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4.已知:x,y,z∈R+且 x+y+z=2,则 x+2 y+ 3z的 最大值为 A.2 7 C.4 B. 2 3 D.5 ( )

解析: ∵( x+2 y+ 3z)2=(1× x+2 y+ 3· z)2≤(12 + 22+ ( 3)2)[( x)2+( y)2+ ( z)2]= 8(x+y+z)=16.(当 1 1 1 且仅当 x= y= z= 时取等号). 4 3 4 ∴ x+2 y+ 3z≤4.

答案:C
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5.把一根长为12 m的细绳截成三段,各围成三个正方形.

问:怎样截法,才能使围成的三个正方形面积之和S最
小,并求此最小值.
解:设三段绳子的长分别为 x,y,z,则 x+y+z=12, x y z 三个正方形的边长分别为 , , 均为正数,三个正方形 4 4 4 x2 y2 z2 1 2 2 2 面积之和:S=( ) +( ) +( ) = (x +y +z ). 4 4 4 16 ∵(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=122,

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1 即 x +y +z ≥48.从而 S≥ ×48=3. 16
2 2 2

x y z 当且仅当 = = 时取等号, 1 1 1 又 x+y+z=12 ∴x=y=z=4 时,Smin=3. 故把绳子三等分时,围成的三个正方形面积之和最小, 最小面积为 3 m2.

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