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2012届高三数学一轮复习第九章立体几何9-3

时间:2011-12-30


第九章

立体几何
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重点难点 重点:①平面的概念与基本性质 ②空间直线、平面之间的各种位置关系 难点:①证明点共线、线共点、点线共面等 ②异面直线的判定

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知识归纳 1.平面的基本性质 (1)连接两点的线中,线段最短;过两点有且只有一 条直线. (2) (2)基本性质1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 1 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 基本性质2:经过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面,即不共线的三点确定一个平面. 基本性质3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有经过这个公共点的一条直线.
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推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只 有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

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2.空间两条直线 (1)平行直线 ①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. ②基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平 行. ③等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分 别对应平行并且方向相同,那么这两个角相等.

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(2)异面直线 既不相交,又不平行的两条直线叫做异面直线.

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(3)垂直直线 空间中如果两条直线相交于一点,或经过平移后相交 于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.

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3.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点; (3) (3)直线与平面平行——没有公共点 —— 直线与平面相交和平行统称直线在平面外. 4.平面与平面的位置关系 (1)平行——没有公共点; (2)相交——有一条公共直线.

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误区警示 1.等角定理是求空间中两条直线所成角的基础,运 用定理时,应注意“方向相同”时相等. 2.同一平面内两条直线不平行则必相交,但在空间 中则不然,平面几何中的一些结论在空间中未必成立.

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一、共线与共面问题 证明共线时,所共的线一般定位为两个平面的交线; 证明共面问题时,一般先由已知条件确定一个平面,有平 行直线的先用平行直线确定平面,再证共它元素在该平面 内. 二、反证法 立体几何中的一些证明问题,常采用反证法证明.如 异面直线、点共线、线共点、点线共面、线面平行、相交 等.

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[例1]

已知三个平面两两相交,得三条交线,若其

中有两条相交,则第三条也过它们的交点.

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分析:设α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,b∩c=P,只须 证明P∈a,即证明P是β与γ的公共点.
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证明:∵α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,不妨设b与c相 交于一点P,则 ? ∵P∈b,b?平面γ ∴点P∈平面γ 又P∈c,c?平面β ∴点P∈平面β P c c? β P β ∴点P∈平面β∩平面γ 又β∩γ=a ∴点P∈直线a 故a、b、c三条交线相交于一点P.

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(2010·海南三亚)对于空间三条直线,有下列四个条 件: ①三条直线两两既不相交,也不平行; ②三条直线两两平行; ③三条直线共点; ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相 交. 其中,使三条直线共面的充分条件有( A.1个 答案:A
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) D.4个

B.2个

C.3个

第九章 [例2]

立体几何 如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分
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别在AB、BC、CD上,且满足AE?EB=CF?FB=2?1, CG?GD=3?1,过E、F、G的平面交AD于H,连结EH. (1)求AH?HD; (2) (2)求证:EH、FG、BD三线共点. EH FG BD

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AE CF 解析:(1)解:∵ = =2,∴EF∥AC. EB FB ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH,且平面EFGH∩ 平面ACD=GH, ∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH. AH CG ∴ = =3,即AH?HD=3?1. HD GD EF 1 GH 1 (2)证明:∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.

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设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH?平面ABD,
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∴P∈平面ABD,同理P∈平面BCD, ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三线共点.

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如图,在四面体ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延 长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线 交于K.求证M、N、K三点共线.

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解析:∵PQ∩CB=M,∴M∈PQ,M∈CB, ∵PQ?平面PQR,CB?平面BCD, ∴M∈平面PQR,M∈平面BCD, ∴ M 是 平 面 PQR 与 平 面 BCD 的 公 共 点 , 同 理 由 PQ∩DB=N,及RP∩DC=K知,N,K也是平面PQR与平 面BCD的公共点,∵平面PQR与平面BCD不重合,∴M、 BCD PQR BCD M
(

N、K在平面BCD与平面PQR的交线上,即M、N、K三点 共线. 点评:证明共线问题:(1)可由两点连一条直线,再 验证其它各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都 在两个平面的交线上.
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[例3] 若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则 ( A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 P l m C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 分析:P与两条异面直线的位置关系不同,会引起过 P所作直线与两异面直线l、m平行、垂直、相交、异面结 果的变化,因此应区别不同位置情况加以讨论.
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解析:若存在过P的直线a,a∥l,a∥m,则l∥m矛 盾,∴A错;若点P与m确定的平面α∥l,则过P与l、m都 相交的直线不存在,故C错;若过P点的平面α∥l,α∥m 时,在α内存在无数条过P点的直线与l、m都异面,故D α P l m D 错.设a是与l、m都垂直相交的直线,P不在a上时,则过 P点与a平行的直线有且仅有一条,P在a上时,仅有一 条. 答案:B

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已知m、n为异面直线,m?平面α,n?平面β,α∩β=l, 则l( ) A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.与m、n中的一条直线相交 解析:若m、n都不与l相交, ∵m?α,n?β,∴m∥l、n∥l, ∴m∥n∥l,这与m、n为异面直线矛盾, 故l与m、n中至少一条相交. 答案:B
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[例4]

设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法 . )

中正确的是(

A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 . D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 .

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解析:如图,m是α的斜线,PA⊥α,l?α,l⊥AB,则 l⊥m,α内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错; 即可知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直, 假设有两个平面都与α垂直,则这两个平面的交线m 应与α垂直,与条件矛盾,∴B正确;

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又l′?α,l′∥l,∴l′∥α,∵l⊥m,∴l′⊥m,∴C错; 又在平面α内取不在直线AB上的一点D,过D可作平 面与平面PAB平行, ∴m∥β , ∵平面PAB⊥α,∴ 平面 β⊥α. 答案:B 点评:这种判定线面位置关系的问题,一般是结合条
(

件作图分析,构造出符合条件的图形或反例来判断.
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(2010· 江 西 文 , 11) 如 图 , M 是 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题: ①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交; ②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直; M AB B ③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交; ④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行. 其中真命题是( )

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立体几何 B.①③④ D.①②③
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A.②③④ C.①②④

解析:∵点M不在B1C1上,∴由B1C1与点M可确定唯 一平面B1C1M,设此平面与AA1 交点为N,则N为AA1 中点, 在平面ABB1A1 内,B1N与BA必相交,设交点为Q,则QM 与B1C1一定不平行,∴QM与AB、B1C1都相交,由作法知, 这样的直线QM有且仅有一条,∴①真; ∵AB∥A1B1,A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1, ∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一, ∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一,∴②真;
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过 M 作 ME∥DC , 交 CC1 于 E , ∵ DC∥AB , ∴ME∥AB;过M作MF∥A1D1,交AA1于F,∵A1D1∥B1C1, ∴MF∥B1C1 ,∴AB与B1C1 都与平面MEF平行,由作法知, 这样的平面MEF有且仅有一个,故选C. 答案:C C

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一、选择题 1.(09·江西)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为( .. )

A AC BD A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45° [答案] C

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[解析] ∵MN∥PQ,∴MN∥平面ABC,∴MN∥AC. 同理BD∥QM, ∵MN⊥QM,∴AC⊥BD,∴A正确; ∵AC∥MN, ∴AC∥面PQMN,故B对; AC PQMN B ∵BD∥QM,∴PM与BD所成角即为∠PMQ, ∴PM与BD成45°角,故D对.选C.

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2.(文)已知a、b、c是相异直线,α、β、γ是相异平面, 下列命题中正确的是( )

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? A.a与b异面,b与c异面?a与c异面 B a b B.a与b相交,b与c相交?a与c相交 b c ?a c C.α∥β,β∥γ?α∥γ ? D.a?α,b?β,α与β相交?a与b相交 [答案] C

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立体几何 如图(1),正方体ABCD-A1B1C1D1 中,a、b、
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[解析]

c是三条棱所在直线满足a与b异面,b与c异面,但a∩c=A, 故A错;同样在图(2)的正方体中,满足a与b相交,b与c相 交,但a与c不相交,故B错;如图(3),α∩β=c,a∥c,则 a b a与b不相交,故D错. D

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(理)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B到l的 距离分别是a和b.AB与α,β所成的角分别是θ和φ,AB在α, β内的射影分别是m和n.若a>b,则( A.θ>φ,m>n B θ>φ m<n B.θ>φ,m<n C.θ<φ,m<n D.θ<φ,m>n [答案] D )

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立体几何 ∵α⊥β,AC⊥β,垂足为C,BD⊥α,垂足为
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D,由题设条件AC=a,BD=b, AB与平面α所成的角∠BAD=θ,AB与平面β所成的角 ∠ABC=φ,AB在α、β内的射影分别为AD=m,BC=n, ∵a>b,∴φ>θ,m>n. a>b φ>θ m>n.

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[点评]

在有公共斜边AB的两个直角三角形△ABC与

△ ABD 中 , 其 余 两 条 直 角 边 , 若 BC>BD , 则 一 定 有 AC<AD,若BC<BD,则一定有AC>AD,其对的角也有相 同的大小关系.

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3.(2010·广东柳州铁一中高考冲刺)三棱柱ABC- A1B1C1 的体积为1,P为侧棱B1B上的点,则四棱锥P- ACC1A1的体积为(
2 A.3 C.2

)
1 B.3 D.1

· ( B

[答案] A

)

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[解析] ∵B1B∥AA1,∴B1B∥平面ACC1A1, ∴无论P在B1B上何处,四棱锥P-ACC1A1的体积不变, 故取P为B1, ∴VP-ACC1A1=VB1-ACC1A1 =2VB1-A1C1C=2VC-A1B1C1
1 2 =2× VABC-A1B1C1= . 3 3

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