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上海市宝山区2012学年第一学期高三年级质量调研考试(文理)


宝山区 2011 学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.2013.1.19

考生注意:
1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面. 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题 (本大

题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.在复数范围内,方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根是 2.已知 ? ?
?1 ?3 ? 2? ?3 ?X ? ? ?? 5 1 ? ? ? 2 ? ? ,则二阶矩阵 X= ? 1? ?
??? ?

. .

3.设 A (2, 3), B ( ? 1, 5) ,且 AD ? 3 AB ,则点 D 的坐标是__________; 4.已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x , y ? R )的模为 3 ,则
y x
7 2 9 2

????

的最大值是

.

5.不等式 x ?
3

?

的解集是 _________________.

6.执行右边的程序框图,若 p ? 0.95 ,则输出的 n ? 开始 输入 p
n ? 1, S ? 0
S ? p?






S ?S? 1 2
n

输出 n 结束

n ? n ?1

高三数学

第 1 页 共 13 页

7.将函数 f ( x ) =
1

3 sin x cos x

的图像按向量 n ? ( ? a , 0) ( a > .

?

0 )平移,所得图像对应的函数为

偶函数,则 a 的最小值为

8.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,且 f ( ? 1) ? 2 ,则 f (2011) ? f (2012) ? _.

9.二项式 ( x ?

1
3

) 展开式中的常数项是
10

(用具体数值表示)

x

10.在 ? ABC 中,若 B ? 60 ? , A B ? 2, A C ? 2 3 , 则 ? ABC 的面积是



11.若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 3 ? n ? ( ? 2) ? n ? 1 ,则 lim ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______.
n? ?

12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于 这三个点的小圆周长为 4? ,则 R=

?R
3

,且经过

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中 不等关系的基本性质,写出整除关系的两个性质.①_____________________;② _______________________. 14.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离
L ( A , B ) ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上,则 L ( A , B ) 的最小值为



二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??( (A) P53 ? P33 (B) P88 ? P66 ? P33
uuu r uuu r uuu r



(C) P63 ? P55
uuu r uuu r

(D) P88 ? P64
uur r

16.在△ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? C A ? 0 ;③若
uuu uuur r uuu uuur r uuu uuu r r ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则△ABC 是等腰三角形;④若 A B ? C A ? 0 ,则△ABC 为锐

角三角形.上述命题正确的是??????????????????????( ) (A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④

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第 2 页 共 13 页

17.函数 f ( x ) ? x | arcsin x ? a | ? b arccos x 是奇函数的充要条件是???????( )

(A) a 2 ? b 2 ? 0

(B) a ? b ? 0
? x ? 1, x ? [ ? 1, 0), ? x ? 1, x ? [0,1],
2

(C) a ? b

(D) ab ? 0

18.已知 f ( x ) ? ?

则下列函数的图像错误的是????????( )

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f ( ? x ) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x ) | 的图像 三、解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 的体积为 8,且 AB ? AC ? 2 ,∠ BAC = 90 ? ,E 是 A A1 的中 点, O 是 C1 B1 的中点.求异面直线 C 1 E 与 BO 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

O C1 A1 E

B1

O C1 A1 E

B1

B

B F C A

C

A

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第 3 页 共 13 页

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A >0, ? >0, | ? | < ) 的图像与 y 轴的交点为(0,1),它在 y
2

π

轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 , 2) 和 ( x0 ? 2 π, ? 2). (1)求 f ( x ) 的解析式及 x 0 的值;
1 3

(2)若锐角 ? 满足 co s ? ? 的值.

,求 f (4? )

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? log 2 (4 x ? b ? 2 x ? 4) , g ( x ) ? x . (1)当 b ? ? 5 时,求 f ( x ) 的定义域;

(2)若 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求 b 的取值范围.

高三数学

第 4 页 共 13 页

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 7 分. 设抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点. (1)若 p ? 2 ,求线段 A F 中点 M 的轨迹方程;

(2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?

?1

? , 0 ? 时,求 ? OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA、 MF、 MB 的斜率成等差数列.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知定义域为 R 的二次函数 f ( x ) 的最小值为 0,且有 f( ?) f( ?) 1 x? 1 x,直线
g ) 4 ? 被 f ( x ) 的图像截得的弦长为 4 17 ,数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2 , ( ?( 1 x x )
* a n a ??0 N ? n g a ? n ? ?? a??f n? ? ? ? n 1
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(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式;
? ? ? g ? ,求数列 ?b n ? 的最值及相应的 n fa ? 1 (3)设 b 3 n ?a? n n

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第 5 页 共 13 页

宝山区 2011 学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.2013.1.19

考生注意:
1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面. 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.在复数范围内,方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根是
?1 ?3 ? 2? ?3 ?X ? ? ? ?? 5 1 ? ? 2 ? ? ,则二阶矩阵 X= ? 1? ?
??? ?

.?

1 2

?

3 2

i

2.已知 ? ?

.?

? ?1 ? ?2

0 ? ? ?1?

3.设 A (2, 3), B ( ? 1, 5) ,且 AD ? 3 AB ,则点 D 的坐标是__________ ( ? 7, 9) ; 4.已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x , y ? R )的模为 3 ,则
y x
7 2 9 2

????

的最大值是

.

3

5.不等式 x ?
3

?

的解集是 _________________. [ ? 1, 2]

6.执行右边的程序框图,若 p ? 0.95 ,则输出的 n ? 开始 输入 p
n ? 1, S ? 0
S ? p?

.6




S ?S? 1 2
n

输出 n 结束

n ? n ?1

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第 6 页 共 13 页

7.将函数 f ( x ) =
1

3 sin x cos x

的图像按向量 n ? ( ? a , 0) ( a > .
5 6

?

0 )平移,所得图像对应的函数为

偶函数,则 a 的最小值为

?

8.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,且 f ( ? 1) ? 2 ,则 f (2011) ? f(2012) ? _.0

9.二项式 ( x ?

1
3

) 展开式中的常数项是
10

x

6 (用具体数值表示) ( ? 1) 6 C 10 ? 210

10.在 ? ABC 中,若 B ? 60 ? , A B ? 2, A C ? 2 3 , 则 ? ABC 的面积是

.2 3
7 6

11.若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 3 ? n ? ( ? 2) ? n ? 1 ,则 lim ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______.
n? ?

12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于 这三个点的小圆周长为 4? ,则 R= .2 3

?R
3

,且经过

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中 不等关系的基本性质,写出整除关系的两个性质.①_____________________;② _______________________. 解答参考:① a | b , b | c ? a | c ;② a | b , a | c ? a | ( b ? c ) ;

③ a | b , c | d ? ac | bd ;④ a | b , n ? N * ? a n | b n

14.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 则 L ( A , B ) ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上, L ( A , B ) 的最小值为 .
7 4

二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??( C) (A) P53 ? P33 (B) P88 ? P66 ? P33 (C) P63 ? P55 (D) P88 ? P64

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第 7 页 共 13 页

16.在△ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? C A ? 0 ;③若
uuu uuur r uuu uuur r uuu uuu r r ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则△ABC 是等腰三角形;④若 A B ? C A ? 0 ,则△ABC 为锐

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uur

r

角三角形.上述命题正确的是??????????????????????(A) (A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④

17.函数 f ( x ) ? x | arcsin x ? a | ? b arccos x 是奇函数的充要条件是???????( A )

(A) a 2 ? b 2 ? 0

(B) a ? b ? 0
? x ? 1, x ? [ ? 1, 0), ? x ? 1, x ? [0,1],
2

(C) a ? b

(D) ab ? 0

18.已知 f ( x ) ? ?

则下列函数的图像错误的是????????( D )

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f ( ? x ) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x ) | 的图像 三、解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 的体积为 8,且 AB ? AC ? 2 ,∠ BAC = 90 ? ,E 是 A A1 的中 点, O 是 C1 B1 的中点.求异面直线 C 1 E 与 BO 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

O C1 A1 E

B1

O C1 A1 E

B1

B

B F C A

C

A

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第 8 页 共 13 页

解:由 V ? S ? AA1 ? 8 得 AA1 ? 4 ,?????????3 分 取 BC 的中点 F,联结 AF,EF,则 C1 F / / BO , 所以 ? EC 1 F 即是异面直线 C 1 E 与 BO 所成的角,记为 ? . ?????????5 分
? 18 , C 1 E ? 8 , EF
2

C1 F

2

2

? 6 ,?????????8 分

cos ? ?

C 1 F ? C 1 E ? EF
2 2

2

2 C1 F ? C1 E
5 6

?

5 6

,?????????11 分

因而 ? ? arc cos

??????????????????12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A >0, ? >0, | ? | < ) 的图像与 y 轴的交点为(0,1),它在 y
2

π

轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 , 2) 和 ( x0 ? 2 π, ? 2). (1)求 f ( x ) 的解析式及 x 0 的值;
1 3

(2)若锐角 ? 满足 co s ? ? 的值.

,求 f (4? )

解: (1)由题意可得 A ? 2,
f ( x ) ? 2 sin( 1 2

T 2

? 2 π, T = 4 π,



?

? 4π 即? ? π 2

1 2

,?????????3 分
.

x ? ? ), f (0) ? 2 sin ? ? 1,

由| ? | <

,? ? ?

π 6

π? ?1 f ( x ) ? 2 sin ? x ? ? 6? ?2
f ( x 0 ) ? 2 sin( 1 2 x0 ? π 6

???????????????????????????5 分
) ? 2, 所以 1 2 x0 ? 2π 3 π 6 ? 2 k π+ π 2 , x 0 ? 4 k π+ 2π 3 ( k ? Z ),

又?

x0

是最小的正数,? x 0 ?
π 1

; ????????????????????7



(2)? ? ? (0, ), cos ? ? ,? sin ? ?
2 ? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

2 2 3

, 4 2 9

3 7 9

, sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

,

????????????10 分

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第 9 页 共 13 页

f (4? ) ? 2 sin(2? ?

π 6

)?

3 sin 2? ? cos 2? ?

3?

4 2 9

?

7 9

?

4 6 9

?

7 9

.???????14 分

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? log 2 (4 x ? b ? 2 x ? 4) , g ( x ) ? x . (1)当 b ? ? 5 时,求 f ( x ) 的定义域;

(2)若 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求 b 的取值范围. 解:(1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ??????????????????3 分 解得 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , 0) ? (2, ?? ) .?????????6 分

(2)由 f ( x ) ? g ( x ) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ?
?

?

4 ? ????????9 x ? 2 ?



令 h( x) ? 1 ? ? 2 x ?
?

?

4 ? x ? 2 ?

,则 h ( x ) ? ? 3 ,??????????????????12 分

?

当 b ? ? 3 时, f ( x ) ? g ( x ) 恒成立.??????????????????14 分

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 7 分. 设抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点. (1)若 p ? 2 ,求线段 A F 中点 M 的轨迹方程;
?

(2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?1

? , 0 ? 时,求 ? OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA、 MF、 MB 的斜率成等差数列. 解:(1) 设 A ( x 0 , y 0 ) , M ( x , y ) ,焦点 F (1, 0) ,

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第 10 页 共 13 页

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? 则由题意 ? ,即 ? ??????????????2 分 ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2

所求的轨迹方程为 4 y 2 ? 4(2 x ? 1) ,即 y 2 ? 2 x ? 1 ??????????4 分
1

(2) y 2 ? 2 x , F ( , 0) ,直线 y ? 2( x ? ) ? 2 x ? 1 ,????????5 分
2

1

2

? y2 ? 2x 由? 得, y 2 ? y ? 1 ? 0 , ? y ? 2x ?1

AB ?

1?

1 k
2

y1 ? y 2 ?

5 2

?????????????????7 分

d ?

1 5



?????????????????8 分

S ? OAB ?

1 2

d AB ?

5 4

?????????????????9 分

(3)显然直线 MA、 MB、 MF 的斜率都存在,分别设为 k 1、 k 2、 k 3 .
p 2

点 A、 B、 M 的坐标为 A(x 1 ,y 1 )、 B(x 2 ,y 2 )、 M(? ?

,m).

设直线 AB: y ? k ? x ?

p? 2p 2 2 y ? p ? 0 ,????????11 分 ? ,代入抛物线得 y ? 2 ? k

所以 y1 y 2 ? ? p 2 ,?????????????????12 分 又 y1 2 ? 2 px1 , y 2 2 ? 2 p x 2 ,
2

因而 x1 ?

p 2

?

y1

?

p 2

?

2p

?y 2p

1

2 1

? p

2

?,x

2

?

p 2

?

y2

2

?

p 2

?

p

4 2

?

p 2

?

p 2 y1
2

2p

2 py1

?y

2 1

? p

2

?

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第 11 页 共 13 页

因而 k 1 ? k 2 ?

y1 ? m x1 ? p 2

?

y2 ? m x2 ? p 2

?

2p

2

? y1 ? m ?
2 2

p ? y1 ? p

?

?

2 ? p 2 ? 2 y1 ? ? ?m? ? y1 ?

p ? y1 ? p
2

2

?

??

2m p

?????14 分

而 k3 ?

0?m ? p? ??? ? 2 ? 2? p

??

2m p

,故 k1 ? k 2 ? 2 k 3 .?????????????????16 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知定义域为 R 的二次函数 f ( x ) 的最小值为 0,且有 f( ?) f( ?) 1 x? 1 x,直线
g ) 4 ? 被 f ( x ) 的图像截得的弦长为 4 17 ,数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2 , ( ?( 1 x x )
* a n a ??0 N ? n g a ? n ? ?? a??f n? ? ? ? n 1
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(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式; (3)设 b 3 n ?a? ? ? ? g ? ,求数列 ?b n ? 的最值及相应的 n fa ? 1 n n

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23 解:(1)设 f ( x ) ? a ? x ? 1?2 ?a ? 0 ? ,则直线 g ( x ) ? 4( x ? 1) 与 y ? f ( x ) 图像的两个交点为
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(1,0), ?

16 ? ?4 ? 1, ? ???????????????????2 分 ?a a?

?

?4? ? 16 ? ? ? ?? ? ?a? ? a ?

2

2

a , ? 1 ? () x ? ? 4 17 ? a ? 0 ? ,? 1 f x? ?

2

??????4 分

? a a (2) fa a1 g ? n 1 ??? ?, 4 ? ?? ? ? n n ? n
2

?a 4 1 n10 a ? ·? ? ?1 n ???? ? a?a? n ? n
2

?1 n ? ? a ? ? a ? ???????????????5 分 4 ? ? a 3 10 ? 1 n ? n
高三数学 第 12 页 共 13 页

? a 43 0 a ? n a ????????????6 分 ? n ,1 2 ?? n? , 1 ? 1 ? a 1
3 ?1?? ?n? , 1 1 a 1 a 1 a ? 1?? n ? 4

数列 ?an ?1 是首项为 1,公比为 ?
n1 ? n1 ?

3 4

的等比数列???????????8 分

3 3 ?? ?? ? ? ? ? ,? ? a 1 ? a ? n n ?? ?? 4 4

? ???????????????10 分 1

2 2 n ?1 n ?1 ? n ?? ? ? 3 ? n ?1 ? ? ?3? ? ?3? ?3? ? (3) b 3 ? ?a ? ? 3 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a 1 4n 1 ?n ? ? ? ? n 1 ?4? ?4? ? ?? 4 ? ? ? ?? 4 ? ? ? ? ? ?? ?

2

令 b ? y, ? ? ? u n

? 3? ? 4?

n? 1

, 则 y 3? ? ? ? ? 3 ? ? ? ????12 分 ? ?u ?? u
4 ? ? 4

? ? ? ? ? ?

1 ? ? 2

2

? 1 ?

? ?

1 ? ? 2

2

3

3 9 2 7 9 1 * 距 最近, , , , ??,经比较 ?? ,? 的值分别为 1 n N u 4 1 6 6 4 16 2

∴当 n?3 时, b n 有最小值是 ?

189 256

,??????????????15 分

当 n?1 时, b n 有最大值是 0 ????????????????18 分
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高三数学

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宝山区2016年高三数学文理科一模试卷(含答案)

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上海高三一模2013闵行数学(文理)

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上海市静安区2013届高三上学期期末教学质量调研数学试题

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宝山12一模

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2012年上海市闸北区二模试卷(文理数)

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上海市2013年各区高三一模语文试卷答案(二)

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