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《平面向量的基本定理及坐标表示》


平面向量的坐标运算

一、复 习 引 入

已知e1、 e2是同一平面内的两不共线向量, ? 那么对这一平面内的任意向量a,有且 ? ?? ?? ? 只有一对实数?1、?2,使a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

1、平面向量基本定理 ?? ?? ?

2、什么是平面向量的基底?
向量

的一组基底.

?? ?? ? 不共线向量e1、叫做这一平面内所有 e2

二、平面向量的坐标表示

任作一向量a,由平面向量基本定理知, ? ? ? 有且仅有一对实数x、y使得a ? xi ? y j. ? ? 我们把 ( x , y ) 叫做 a 的坐标,记作 a ? ( x , y ). ?
把a ? ( x, y )叫做向量的坐标表示.

在直角坐标系中,我们分别取与x轴、 ?? y轴方向相同的单位向量 i 、作为基底, j ?

? ? ? (1, 0) , (0,1) , (0, 0) 其中i ? ______ j ? ______ 0 ? ______

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

?? ? 例1、如图,用基底i、表示向量 j a、 ??? ? b、 c、,并求出它们的坐标 d .
A 5 b
2

B

4 3 2
j -1 o i A

a
A1

1

-4

-3

-2

1

2

3

4

x

-1 -2
c

-3 -4
-5

d

已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),则 ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ___________________; ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ___________________; ? ( ? x , ? x ) 1 2 ? a ? ____________________ .
两个向量和与差的坐标分别等于这两 向量相应坐标的和与差 实数与向量的积的坐标等于这个实数 乘原来的向量的相应坐标.

三、平面向量的坐标运算 ? ?

??? ? 已知A( x1 , y1 ),B ( x2 , y2 ),则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) _____________________ .
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标.

? ? ? ? 例2、已知a ? (2,1), b ? (?3, 4),求a ? b, ? ? ? ? a ? b? , 3a ? 4b. ? ? ? 已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),则a ? b的充 x1 ? x2且y1 ? y2 要条件是 ______________________ .

例3、已知? ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(?2,1)、 (?1,3)、 (3, 4),求顶点D的坐标.
巩固练习: 已知A(?1,1)、B (3, 0)、C (2, ?5)是 平行四边形的三个顶点,求第 四个顶点D的坐标.

? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),其 ? ? ? ? 中b ? 0,则a ? b的充要条件是 x y ? x y ? 0 1 2 2 1 _________________ . ? ? 例4、已知a ? (4, 2), b ? (6, y ), ? ? 且a ? b,求y.
例5、已知A(?1, ?1)、B (1,3)、C (2,5),求证A、B、C三点共线.

四、向量平行的坐标表示

? ? 例6、已知a ? (2,1), b ? (3, ?4), ? ? ? ? 当?为何值时,? a ? b与a ? 2b 平行?平行时,它们是同向 还是反向?

五、课堂小结
1、向量的坐标表示 ? ? ?

a ? xi ? y j ? ( x, y )
a ? b ? ( x ? x , y ? y ) 1 2 1 2 ? ? a? ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? a ? (? x, ? y )

2、向量的坐标运算 ? ?

3、两个重要结论 若A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ),则 ??? ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).

? ? a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2
4 、向量平行的坐标表示 ? ?

a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

六、作业
?习题5.4第3、4、 7、8题.
? 完成《三维设计》

谢谢同学们
再 见


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