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辽宁省东北育才学校2012届高三高考模拟最后一卷理科数学试题 2


数学试卷(理)
一. 选择题: 1.在复平面内,复数 (A)第一象限
i 2012 ( i 为虚数单位)对应的点位于 3?i (B) 第二象限 (C) 第三象限

(D) 第四象限

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? 1 ? x ? 3 ,集合 B ? x log 2 ? x ? 2 ? ? 1 ,则 A

(A)

?

?

?

?

? UB=

? x 1 ? x ? 2? (B)? x ? 1 ? x ? 2?(C) ? x 0 ? x ? 2? (D)? x ? 1 ? x ? 1?
2 2

3.下列命题正确的是 (A) 命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x , y 中至少有一个不 为 0 ,则 x ? y ? 0 ” ; (B) 设回归直线方程为 y=2-2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 2 个单位; (C) 已知 ? 服从正态分布 N(0, ? ),且 P(-2≤ ? ≤0)=0.4,则 P( ? >2)=0.2;
2

(D) 若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则

a与 b的夹角为钝角.

4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A, “骰子向上的 点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一个发生的概率是

5 1 7 3 (B) (C) (D) 12 2 12 4 2 2 x y ? ? 1 的长轴为 A1 A2 ,短轴为 B1 B2 ,将椭圆沿 y 轴折成一个二面角,使得 A1 点 5.椭圆 16 12 在平面 B1 A2 B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为( )
(A) (A)75° (B)60°
3 2

(C)45°
3 2

(D)30°
5 6
3 6

6.已知 G 是△ABC 的重心, 且 aGA ? bGB ? 3cGC ? 0 , 其中 a, b, c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 则 cos C =
2

(A )

(B) ?

(C)

(D)

7.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A, B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x ? 1 (B) x ? ?1 (C) x ? 2 8. 执行下面的程序框图,如果输入 m ? 72, n ? 30 , 则输 出的 n 是 (A)12 (B) 6 (C) 3 (D) 0 (D) x ? ?2 开始 输入 m,n

9.设 x、a1、a2、y 成等差数列,x、b1、b2、y 成等比数列,则

( a1 ? a2 )2 的取值范围是 b1b2
(A)[4,+ ? ) (B) ( ??,0] [4,+? )

求 m 除以 n 的余 数r r=0? 是 输出 n 结束 否

n=r m=n

(C)[0,4]

(D)( ?? , ?4)

[4, ?? )

?x ? 1 ? 10. 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 , 若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值 7 ,最小值为 1 ,则 ?ax ? by ? c ? 0 ?

a?b?c ? a

(A) 2

(B)1

(C) -1

(D) -2

11.已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上, 且 PO ? 平面 ABC ,2 AC ? 3 AB , 若四面体 P ? ABC 的体积为 (A) 3?

3 ,则该球的体积为 2
(C) 2 2? (D) 4 3?

(B) 2?

12.已知 f ( x) 为定义在 (??,??) 上的可导函数, 且 f ( x) ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立, 且e 为 自然对数的底,则 (A) f (1) ? e ? f (0), f (2012 ) ? e 2012 ? f (0) (B) f (1) ? e ? f (0), f (2012 ) ? e 2012 ? f (0) (C) f (1) ? e ? f (0), f (2012 ) ? e 2012 ? f (0) (D) f (1) ? e ? f (0), f (2012 )?e
2012

? f (0)
共 90 分)

第 II 卷(非选择题
二、填空题

13.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( x ? R, A ? 0,? ? 0,| ? |? 的解析式是 .

?
2

) 的图象(部分)如图所示,则它

* 14. 已知数列 ?an ? (n ? N ) ,首项 a1 ?

5 ,若二次方程 an x2 ? an?1x ?1 ? 0 的根 ? 、 ? 且 6

满足 3? ? ?? ? 3? ? 1 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? __________ __ . 15. x 2 ? 3x ? 2 的展开式中 x 的系数是_______. 16.某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的表面积是 三、解答题 17.已知函数 f (x)= 3sin(ωx)-2sin2 ωx (ω>0)的最小正周期为 3π. 2

?

?

5

. 图 2

π 3π? 2 (Ⅰ)当 x∈? ?2, 4 ?时,求函数 f(x)的最小值;II)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB

+cos(A-C),求 sinA 的值.

18. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国

PM 2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米及
其以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽取 6 天的 数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) , 若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天. (Ⅰ)求恰有一天空气质量超标的概率;(Ⅱ)记 ? 表示两天空 气中空气质量为二级的天数.求 ? 的分布列及期望.

19.如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面边长 AB ? 2 ,侧棱 BB1 的长为 4,过 点 B 作 B1C 的的垂线交侧棱 CC1 于点 E , 交 B1C 于点 F . (Ⅰ)

D1 A1 B1

C1

BDE 所成的角 求证: AC (II)求 A ? 平面 BED ; 1 1B 与平面
的正弦值.

E
D F

C

A

B

2 20.已知函数 f ( x) ? x ? ( ln x ? a) x ? 2 在点 (1 , f (1) )处的切线的斜率为

1 2

1 . 2

(Ⅰ)求 a 的值; (II)设函数 g ( x ) ?

f ( x) ( x ? 2) 问:函数 y ? g ( x) 是否存在最小值点 x0 ?若存在,求 2x ? 4

出满足 x0 ? m 的整数 m 的最小值;若不存在,说明理由.

21. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点为 A(0, 2),且离心率为 3 . (I)求椭圆的标准方程;(II)过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆相交于不同两点 P、Q,点 N 2 在线段 PQ 上.设==λ,试求实数 λ 的取值范围.

? x ? a cos ? 23.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) , ? y ? b sin ?
在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点

? ? 3 ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 3 3 2 ? ? D(1, ) . (I)求曲线 C 2 的直角坐标方程; (II)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ? ) 在曲线 C1 上, 3 2 1 1 求 2 ? 2 的值.
的圆.已知曲线 C1 上的点 M (1,

?1

?2

理科数学参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 B 6 C 7 B 8 B 9 B 10 D 11 D 12 A

二、填空题:

?? ? 13. y ? 2 sin ? ?x ? ? ; 6? ?
三、解答题:

1 n 1 ?1? 14. ? ? ? ? ; 2 2 2 ? 3?

n

15.240;

16. 2? ? 2 3 ;

1-cos?ωx? 17.f(x)= 3sin(ωx)-2· 2 π? = 3sin(ωx)+cos(ωx)-1=2sin? ?ωx+6?-1, 依题意函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 2π 2 =3π,解得 ω= , ω 3

2 π? 所以 f(x)=2sin? ?3x+6?-1……………………………………….4 分 π 3π π 2 π 2π (I)由 ≤x≤ 得 ≤ x+ ≤ , 2 4 2 3 6 3 2 π 2π 3π 所以,当 x+ = ,即 x= 时, 3 6 3 4 f(x)最小值=2× 3 -1= 3-1……………………………………………..6 分 2

2C π? (Ⅱ)由 f(C)=2sin? ? 3 +6?-1 及 f(C)=1, 2C π? 得 sin? ? 3 +6?=1,因为 0<C<π, π 2C π 5π 所以 < + < , 6 3 6 6 所以 2C π π π + = ,解得 C= ,………………………………………8 分 3 6 2 2

在 Rt△ABC 中, π ∵A+B= ,2sin2B=cosB+cos(A-C), 2 ∴2cos2A-sinA-sinA=0, ∴sin2A+sinA-1=0,解得 sinA= ∵0<sinA<1,∴sinA= -1± 5 , 2

5-1 .........................12 分 2

18. (I)设恰好有一天超标的概率为

p

p?

1 1 C2 C4 8 ? 2 C6 15

故设恰好有一天超标的概率为

8 15

(Ⅱ)由茎叶图可知,6 天中有 3 天空气质量为二级, ? 的取值有 0,1,2,

P?? ? 0? ? P?? ? 2? ?

0 1 1 C3 ? C3 C3 ? C32 1 3 ? ? ? ; P ? ? 1 ? ? ; 2 2 5 5 C6 C6 0 C32 ? C3 1 ? ; 2 5 C6

?

0

1

2

P
E? ? 0 ?

1 5

3 5

1 5

1 3 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 1(天) 5 5 5 M 3 ? 2 ? ? 1 (天) N 6

? E? ? n 方法二: ? 服从参数为 N ? 2, M ? 3, n ? 2 的超几何分布,
答: ? 的期望为 1 天。

19.解: (I)如图,以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间 直角坐标系 D ? xyz .

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), A1 (2,0, 4), B1 (2, 2, 4), C1 (0, 2, 4), D1 (0,0, 4) ....
......2 分 设 E (0, 2, t ) ,则 BE ? (?2,0, t ), B1C ? (?2,0, ?4) . ∵ BE ? B1C ,∴ BE ? B1C ? 4 ? 0 ? 4t ? 0 . ∴ t ? 1 ,∴ E (0, 2,1) , BE ? (?2,0,1) .

z
D1 A1 B1

C1

E
D F

又 AC 1 ? (?2,2, ?4), DB ? (2,2,0) ,..........4 分 ∴ AC 1 ? BE ? 4 ? 0 ? 4 ? 0

C

y

x

A

B

且 AC 1 ? DB ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ...........6 分 ∴ AC ? DB 且 AC ? BE .∴ AC ? BD 且 AC ? BE .∴ AC ? 平面 BDE .....8 分 1 1 1 1 1

BDE 的一个法向量,又 A (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC 1 ? (?2,2, ?4) 是平面 1B ? (0,2, ?4) ,
∴ cos AC 1 ,A 1B ?

AC 30 1 ?A 1B BDE 所 成 角 的 正 弦 值 为 ∴ A ? 1B 与 平 面 6 | AC || A B | 1 1

30 ..........12 分 6
1 1 1 1 ? x ? ( ln x ? a) ? 1 ? 2 x ? ? ln x ? a ........2 分 2x 2 2 2 1 1 1 a ? 2 ..........4 分 f ?(1) ? = 2 ? 1 ? ? 0 ? a ? 2 2 2 1 2 (2) f ( x) ? x ? ( ln x ? 2) x ? 2 2 f ( x) 设 g ( x) ? ,则 2x ? 4
20.解: (1) f ?( x) ? 2 x ?

1 3 x (2 x ? ln x ? )(2 x ? 4) ? ( x 2 ? ln x ? 2 x ? 2) ? 2 2 2 2 g ?( x) ? 2 (2 x ? 4)

2 x 2 ? 7 x ? 2 ? 2 ln x ..........6 分 ? (2 x ? 4) 2
令 h( x) ? 2x ? 7 x ? 2 ? 2 ln x
2

h?( x) ? 4 x ? 7 ?

2 4 x 2 ? 7 x ? 2 (4 x ? 1)(x ? 2) ? ? ?0 x x x

故 h( x) 在(2,+∞)上为增函数..........8 分 又 h(2) ? ?4 ? 2 ln 2 ? 0 , h(3) ? ?1 ? 2 ln 3 ? 0 , h(4) ? 6 ? 2 ln 4 ? 0 因最小值点 x0 为 h( x) 的零点,所以 3 ? x0 ? 4 故整数 m 的最小值为 4。..........12 分 而 x0 ? m , m 是整数

x2 y2 21.(I)设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0), a b 由于椭圆的一个顶点是 A(0, 2),故 b2=2. a2-b2 3 3 根据离心率是 得,e= = ,解得 a2=8. 2 a2 2

x2 y2 所以椭圆的标准方程是 8 + 2 =1. (II)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0). ①若直线 l 与 y 轴重合,则=?

..........4 分

2- 2 2+ 2 = ,解得 y0=1,得 λ= 2....6 分 2-y0 2+y0

若直线 l 与 y 轴不重合,设直线 l 的方程为 y=kx+2,
与椭圆方程联立消去 y,得(1+4k2)x2+16kx+8=0, 16k 8 根据韦达定理得 x1+x2=- ,x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 0-x1 0-x2 由=,得 = , x1-x0 x0-x2 1 整理得 2x1x2=x0(x1+x2),把上面的等式代入得 x0=- . k 又点 N 在直线 y=kx+2 上,

? 1? 所以 y0=k -k +2=1,于是有 1<y1< 2...........10 分 ? ?
λ= 2-y1 1 1 = -1,由 1<y1< 2,得 > 2+1, y1-1 y1-1 y1-1

所以 λ> 2.综上所述 λ≥ 2...........12 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

? ? 1 ? a cos ? ? 3 ? x ? a cos ? ? 3 , 解: (I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 ? y ? b sin ? 3 2 ? ? ? b sin ? 3 ? 2
即?

?a ? 2 , ?b ? 1

? x ? 2 cos? x2 ? ? y2 ? 1. C 所以曲线 1 的方程为 ? ( 为参数) ,或 4 ? y ? sin ?
设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ). 将点 D(1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? ,

得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D(1,

?

1 3 ) ,得 D ( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2
2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1. ..........5 分 (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ? 所以

?
2

) 在在曲线 C1 上,
2 ?2 sin 2 ? 2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

?12 cos2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

4

所以

1

?12

?

1
2 ?2

?(

cos2 ? sin 2 ? 5 ? sin 2 ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? . ..........10 分 4 4 4


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