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等差等比数列练习题 xue 以及基础知识点 3

时间:2013-08-06


1

一、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? d (常数), 则{a n } 称等差数列; 2°.通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

/>n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2
a n ?1 ? q ( 常 数 ) 则 {a n } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : , an

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {a n }满足

a n ? a1 q n ?1 ? a k q n ?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ?
2.简单性质:

a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1 . 1? q 1? q

①首尾项性质:设数列 {a n } : a1 , a 2 , a3 ,?, a n , 1°.若 {a n } 是等差数列,则 a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n ?2 ? ?; 2°.若 {a n } 是等比数列,则 a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n ?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {a n } 是等差数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; 2°. 若 {a n } 是等比数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; ④顺次 n 项和性质:

1°.若 {a n } 是公差为 d 的等差数列, 则

?a , ? a , ?a
k ?1 k k ? n ?1 2n k k ? 2 n ?1 3n

n

2n

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 {a n } 是公差为 q 的等比数列, 则 偶数时这个结论不成立) ⑤若 {a n } 是等比数列,

? ak ,
k ?1

n

k ? n ?1

?

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为

则顺次 n 项的乘积: a1 a 2 ? a n , a n ?1 a n ? 2 ? a 2 n , a2 n ?1a2 n ? 2 ? a3n 组成公比这 q 的等比数列.
1

n2

2

⑥若 {a n } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

(二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证 明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m ) ② 三 数 成 等 比 数 列 , 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq2( 或 ”

a , a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四 数 为 q

“ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为 “ a, aq, aq , aq (或
2 3

a a ,? , aq,? aq 3 ), ”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. 3 q q

[例 1]解答下述问题:

1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b (1) 成等差数列; , , a b c b b b (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2
(Ⅰ)已知

① [评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,. ② ① (Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为

128 2 ,求项数 n.



2

3

( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an} 中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :

a k1 , a k2 ,?, a kn 恰为等比数列, 其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k 3 ? 17,
求数列 {k n }的前n项和.

[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列, 求原来的三数.

(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法.

二、等差等比数列练习题
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) a n (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) a n ) ( )

?a n ?中, a1 ? 4 ,且 a1 , a 5 , a13 成等比数列,则 ?a n ?的通项公式为
(B) a n

? 3n ? 1

? n?3

(C) a n

? 3n ? 1 或 a n ? 4

? n ? 3 或 an ? 4
3

4 3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y





(A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) a n )

?a n ?的前 n 项和为 S n , S 2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为
? 2n ? 2
(B) a n

(A) a n 6、已知 ( z ?

? 8n ? 2

(C) a n

? 2 n ?1

? n2 ? n
( )

x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z ) ,则
(B) x, y, z 成等比数列 (C)

(A) x, y, z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

?a n ?的前 n 项和 S n

? a n ? 1 ,则关于数列 ?a n ?的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 ?1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列

?a n ?、 ?bn ?的前 n 项和分别为 An
(B)

、 B n ,且满足

An 4n ? 2 ? Bn 5n ? 5

,则

a5 ? a13 b5 ? b13

的值为

(A)

7 9

8 7

(C)

19 20

(D)

7 8
( )

10、已知数列

?a n ?的前 n 项和为 S n
(B)58

? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?a n ? 的前 10 项和为
(C)62 (D)60
n

(A)56 11、已知数列

?a n ?的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?a n ?中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列

n

的前 n 项和为



(A)

n(3 n ? 13) 2

(B) 3

?5

(C)

3 n ? 10 n ? 3 2

(D)

3 n ?1 ? 10 n ? 3 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列

?a n ?是等差数列的充要条件是 an ?a n ?的前 n 项和为 S n

? pn ? q ( p ? 0 )

B.已知一个数列

? an 2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
4

5 C.数列

?a n ?是等比数列的充要条件 a n ?a n ?的前 n 项和 S n

? ab n ?1

D.如果一个数列 二、填空题

? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0

13、各项都是正数的等比数列

?a n ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 ? a5 ? a17 a 2 ? a6 ? a18
=

14、已知等差数列

?a n ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
1 ? 1? a n ,则 a n = 4

15、已知数列

?a n ?满足 S n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

?a n ?是公差 d 不为零的等差数列,数列 ?a b

n

?是公比为 q 的等比数列, b

1

? 1, b2 ? 10, b3 ? 46

,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

?a n ?的公差与等比数列 ?bn ?的公比相等,且都等于 d

(d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1

,a3

? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20、已知

?a n ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 20 ,求 ?an ? 的通项式。
3

5

6 21、数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? ?an ? 的通项公式; ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ? 1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

6


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