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高中数学必修5


解三角形
一、知识点总结 1. 内角和定理: 在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C ;
sin A? B C A? B C A? B C ? cos ; cos ? sin ; tan ? cot . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab sin C ?

bc sin A = ca sin B 2 2 2

2.面积公式: S?ABC ?

3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:
a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C (解三角形的重要工具) sin A sin B sin C

?a ? 2R sin A ? 形式二: ?b ? 2 R sin B ?c ? 2R sin C ?

(边角转化的重要工具)

4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.. 形式一: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ?
b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具) c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

形式二: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 cos B ? ; ; 2bc 2ca

a2 ? b2 ? c2 cosC= 2ab

5.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 6.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 7. 已知条件 一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c) 余弦定理 余弦定理 定理应用 正弦定理 一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。 由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

四、巩固练习二
一、选择题
1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° ( ) D.120° ( )

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA

B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45° ( )

B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA ( )

4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

二填空题
5、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= 6、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4 31 7、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32 三、解答题
8、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB;

③sinC=

sin A ? sin B cos A ? cos B

④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).

9.一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私

?

?

? 艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? 的方向去追,.求追及所需的时
?

间和 ? 角的正弦值. C

北 东

B

A

二、例题讲解
1 在△ABC 中, ,则 等于( )

A

B

C

D )

2. 在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A
1

B

?1

C

2 3

D

?2 3
D. 60?或120?

3.在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60 ? , c = 3 则 A 的值为 A. 30 ? B. 60 ? C. 30?或150? 4. A 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于(
300 或600

) D
300 或1500

B

450 或600

C

1200 或600

5.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 6.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于_________. 7.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于________. 8.△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为___ 9.根据所给条件,判断△ABC 的形状.?
a b c ? ? . cos A cos B cos C



_.

10.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积.

三、巩固练习二
cosA b 1 在△ABC 中,若cosB =a ,则△ABC 的形状是.( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 )

C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

2、 在?ABC中, A ? 30?, a ? 8, b ? 8 3, 则S?ABC ? ______. 1 4. 在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为________. 5、在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c

6.根据所给条件,判断△ABC 的形状.? acosA=bcosB;

7.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 cos B cos C ? sin B sin C ? (Ⅰ )求 A ; (Ⅱ )若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

1 . 2


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