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2013年陕西省五校高三第三次联考理数试题及答案


2013 年陕西省五校高三第三次联考 数学(理科)试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
1.若集合 A ? {x |

x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A ? B ? 【 x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} C.

{x | 0 ? x ? 1}

】. D. {x | 0 ? x ? 1} 】.

A. {x | 0 ? x ? 1}

2.若复数 z 满足: z ? 1 ? ( z ? 1)i ,则复数 z 的共轭复数 z ? 【 A. ?i B. i C. 1 ? i D. 1 ? i 】.

3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 A. 80 B. 40

80 3 40 D. 3
C.

4.若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 ?ABC 【 A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 5.函数 f ( x) ? lg | sin x | 是【 B.一定是直角三角形

】.

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 】. B.最小正周期为 2? 的奇函数 D.最小正周期为 2? 的偶函数

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

6.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为【 A. 26 C. 40 B. 35 D. 57

】.

开始

S=0,i=1
T=3i-1 S=S+T i= i+1

7.若数列 {an } 满足 a1 ? 15 ,且 3an ?1 ? 3an ? 2 ,则使 ak ? ak ?1 ? 0 的 k 值为【 】. B. 21 C. 24 D. 23

A. 22

否 i>5? 是 输出 S 结束

8.“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平 行”的【 】. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 9.设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 P , a 2 b2
】.

满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【

A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

D.

41 4

10.一个赛跑机器人有如下特性: (1)步长可以人为地设置成 0.1 米, 0.2 米, 0.3 米,?, 1.8 米或 1.9 米; (2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成; (3)当设置的步长为 a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 a 秒. 则这个机器人跑 50 米(允许超出 50 米)所需的最少时间是【 A. 48.6 秒 C. 48 秒 B. 47.6 秒 D. 47 秒 】.

第Ⅱ卷 (共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.在 (4 ? 2 ) 的展开式中,常数项为
x ?x 6

.

12.若向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? ( 3, ?1) ,则 | 2a ? b | 的最大值为

?

?

? ?

.

13.若实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4 ,且 2 ? x ? y ? 3 ,则 p ? 2 x ? 3 y 的取值范围是________. 14.若曲线 y ? x
? 1 2

在点 (m, m

?

1 2

) 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18 ,则 m ? ________.

15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分. A.(不等式选讲)若实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ,则 3a ? 4b ? 5c 的最大值为_________. B.(几何证明选讲)以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径的圆 O 交 AC 边于点 E ,点 D 在 BC 上,且

DE 与圆 O 相切.若 ?A ? 56? ,则 ?BDE ? _________.
C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 ? ? 4 cos(? ? 之间的距离为_________.

?
3

) 与直线 ? sin(? ?

?
6

) ? 1 的两个交点

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 2 13? ? cos 2 17? ? sin 13? cos17? ; ② sin 2 15? ? cos 2 15? ? sin 15? cos15? ; ③ sin 2 18? ? cos 2 12? ? sin 18? cos12? ; ④ sin (?18?) ? cos 48? ? sin( ?18?) cos 48? ;
2 2

⑤ sin (?25?) ? cos 55? ? sin( ?25?) cos 55? .
2 2

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本题 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2, 点 E 在棱 AB 上. (1)求异面直线 D1 E 与 A1 D 所成的角; (2)若二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 45? ,求点 B 到面 D1 EC 的距离.

18.(本题 12 分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照 题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中考 生甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

1 ,且每题正确完成 3

19.(本题 12 分)在数列 {an } 中, a1 ?

2an 2 ,且对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? . 3 an ? 1

(1)求证: {

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)若对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围.

x2 y2 6 20.(本题 13 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的 a b 3
直线交椭圆 C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点, O 为坐标原点. (1)求直线 ON 的斜率 kON ; (2)求证:对于椭圆 C 上的任意一点 M ,都存在 ? ? [0,2? ) ,使得 OM ? cos ? OA ? sin ? OB 成 立.

21.(本题 14 分)设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f (x) 的单调性; (3)若对任意的 x ? ( x1 ,??) ,都有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围.

高 2013 届第三次五校联考数学(理)参考答案
一、 选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 C

5 C

6 C

7 D

8 A

9 B

10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 15 12. 4 13. (3,8) 14. 64 15. A. 10 2 B. 68? C. 2 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)

1 3 sin 30? ? .?4 分 2 4 3 (2)猜想的三角恒等式为: sin 2 ? ? cos 2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? ) ? .???6 分 4
解:(1)选择②式计算: a ? sin 2 15? ? cos 2 15? ? sin 15? cos15? ? 1 ? 证明: sin ? ? cos (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )
2 2

? sin 2 ? ? (cos 30? cos ? ? sin 30? sin ? ) 2 ? sin ? (cos 30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? .????????????12 分 4 4 4

17.(本题 12 分) 解法一:(1)连结 AD1 .由 AA1 D1 D 是正方形知 AD1 ? A1 D . ∵ AB ? 平面 AA1 D1 D ,

∴ AD1 是 D1 E 在平面 AA1 D1 D 内的射影. 根据三垂线定理得 AD1 ? D1 E , 则异面直线 D1 E 与 A1 D 所成的角为 90? .????5 分 (2)作 DF ? CE ,垂足为 F ,连结 D1 F ,则 CE ? D1 F . 所以 ?DFD1 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面角, ?DFD1 ? 45? . 于是 DF ? DD1 ? 1, D1 F ?

2,

易得 Rt ?BCE ? Rt ?CDF ,所以 CE ? CD ? 2 ,又 BC ? 1 ,所以 BE ? 3 . 设点 B 到平面 D1 EC 的距离为 h ,则由于 VB ?CED1 ? VD ? BCE , 即 ? CE ? D1 F ? h ?

1 1 3 2

1 1 ? BE ? BC ? DD1 , 3 2

因此有 CE ? D1 F ? h ? BE ? BC ? DD1 ,即 2 2h ? 3 ,∴ h ? 解法二:如图,分别以 DA, DC , DD1 为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系. (1)由 A1 (1, 0,1) ,得 DA1 ? (1, 0,1) , 设 E (1, a, 0) ,又 D1 (0, 0,1) ,则 D1 E ? (1, a, ?1) . ∵ DA1 ? D1 E ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ∴ DA1 ? D1 E , 则异面直线 D1 E 与 A1 D 所成的角为 90? .????????5 分

6 .????12 分 4

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

(2) m ? (0, 0,1) 为面 DEC 的法向量,设 n ? ( x, y, z ) 为面 CED1 的法向量,则

n ? ( x, y, z ) | cos ? m , n ?|?
∴z ? x ? y .
2 2 2

| m?n| ? | m || n |

|z| x ?y ?z
2 2 2

? cos 45? ?

2 2 ,



由 C (0, 2, 0) , 得 D1C ? (0, 2, ?1) , 则 n ? D1C , 即 n ? D1C ? 0 , ∴ 2 y ? z ? 0

???? ?

???? ?

???? ?

②由①、②,可取 n ? ( 3,1, 2) ,又 CB ? (1, 0, 0) ,

??? ?

??? ? | CB ? n | 3 6 所以点 B 到平面 D1 EC 的距离 d ? .?????12 分 ? ? |n| 4 2 2

18.(本题 12 分) 解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? , ? ,则 ? 取值分别为 1,2,3 ; ? 取值分别为

0,1,2,3 .

P(? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C 1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? . 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

p

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .??????????3 分 5 5 5 2 3 1 0 ∵ P (? ? 0) ? C3 (1 ? ) ? , 3 27 6 12 8 同理: P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? , P (? ? 3) ? . 27 27 27
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

? p

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

1 6 12 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2 .??????7 分 27 27 27 27 1 3 1 2 (2)∵ D? ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? , 5 5 5 5 E? ? 0 ?
D? ? (2 ? 0) 2 ? 1 6 12 8 2 .(或 D? ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? 27 27 27 27 3

? npq ?

2 ). 3

∴ D? ? D? .

∵ P (? ? 2) ?

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

∴ P (? ? 2) ? P (? ? 2) .?????10 分 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当; 从做对题数的方差考察,甲较稳定; 从至少完成 2 道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较 强.????????12 分 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.

19.(本题 12 分) 证:(1)由 an ?1 ?

2an a ?1 1 ? an 1 1 1 ,得 ?1 ? n ?1 ? ? ( ? 1) . an ? 1 an ?1 2an 2an 2 an
2 1 1 ,得 ? 1 ? ? 0 . 3 a1 2

又由 a1 ?

因此, {

1 1 1 1 ? 1} 是以 ? 1 ? 为首项,以 为公比的等比数列.???5 分 2 an a1 2

解:(2)由(1)可得

2n 2n ?1 1 1 1 1 , an ?1 ? n ?1 , ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? n ,即 an ? n 2 ?1 2 ?1 an 2 2 2

于是所求的问题:“对任意的 n ? N ? 都有 an ?1 ? pan 成立”可以等价于问题:“对任意的

an ?1 2n ?1 2n ? 1 2n ?1 ? 2 1 ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 成立”. n ? N 都有 p ? an 2 ? 1 2 2 ?1 2 ?1
*

若记 f (n) ? 1 ?

1 2
n ?1

?1

,则 f (n) 显然是单调递减的,故 f (n) ? f (1) ? 1 ?

1 2
1?1

?1

?

6 . 5

6 所以,实数 p 的取值范围为 p ? .?????????12 分 5

20.(本题 13 分) 解:(1)设椭圆的焦距为 2c ,因为
2

a2 ? b2 2 c 6 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 . ,所以有 ? 3 a 3 a2
2 2

从而椭圆 C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b

①易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ),据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b . ②由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0 .
2 2

③设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x 0 , y 0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?
所以 kON ?

x1 ? x 2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4
y0 1 ? ? ,即为所求. x0 3
???5 分

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量

OM ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ? OA ? ? OB 成立.设 M ( x, y ) ,由(1)中各点的坐
标有:

( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ) ,故 x ? ?x1 ? ?x 2 , y ? ?y1 ? ?y 2 . ??7 分
又因为点 M 在椭圆 C 上,所以有 (?x1 ? ?x 2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b 整理可得:
2 2 2

?2 ( x1 2 ? 3 y1 2 ) ? ? 2 ( x 2 2 ? 3 y 2 2 ) ? 2?? ( x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 .
由③有: x1 ? x 2 ?



3 2b 3b 2 .所以 , x1 ? x 2 ? 2 4
⑤又

x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
点 A, B 在椭圆 C 上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b 2 , ( x 2 ? 3 y 2 ) ? 3b 2 .
2 2 2 2

⑥将⑤,⑥代入④可得: ? ? ? ? 1 .
2 2

???11 分

所 以 , 对 于 椭 圆 上 的 每 一 个 点 M , 总 存 在 一 对 实 数 , 使 等 式 OM ? ? OA ? ? OB 成 立 , 且

?2 ? ? 2 ? 1 .
所以存在 ? ? [0,2? ) ,使得 ? ? cos ? , ? ? sin ? .也就是:对于椭圆 C 上任意一点 M ,总存在

? ? [0,2? ) ,使得等式 OM ? cos ? OA ? sin ? OB 成立.

???13 分

21.(本题 14 分) 解:(1)由 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 可得 f ' ( x) ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) . x ?1 x ?1
1 , 故 由 题 意 可 知 x1 , x2 是 方 程 2
?? ? 4 ? 8a ? 0 ? ? g (?1) ? a ? 0

令 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? a ( x ? ?1) , 则 其 对 称 轴 为 x ? ?

g ( x) ? 0 的 两 个 均 大 于 ? 1 的 不 相 等 的 实 数 根 , 其 充 要 条 件 为

,解得

0?a?

1 .????????5 分 2

2 (2)由(1)可知 f ' ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ? 2( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 ? 1 ? x1 ? x2 ,故 x ?1 x ?1

①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f (x) 在区间 (?1, x1 ) 上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f (x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当 x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f (x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增.???9 分 (3)由(2)可知 f (x) 在区间 ( x1 ,??) 上的最小值为 f ( x2 ) . 又由于 g (0) ? a ? 0 ,因此 ?
2

1 2 ? x2 ? 0 .又由 g ( x2 ) ? 2 x2 ? 2 x2 ? a ? 0 2
2 2 2

可得 a ? ?(2 x2 ? 2 x2 ) ,从而 f ( x2 ) ? x2 ? a ln( x2 ? 1) ? x2 ? (2 x2 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) . 设 h( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ,其中 ?
2 2

1 ? x ? 0, 2

则 h' ( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) .

1 1 ? x ? 0 知: 2 x ? 1 ? 0 , ln( x ? 1) ? 0 ,故 h' ( x) ? 0 ,故 h(x) 在 (? ,0) 上单调递增. 2 2 1 1 ? 2 ln 2 所以, f ( x2 ) ? h( x2 ) ? h(? ) ? . 2 4 1? 2 ln 2 所以,实数 m 的取值范围为 m ? .???????????14 分 4 1 1 1 ? 2 ln 2 1? 2 ln 2 (事实上,当 a ? 时, x2 ? ? ,此时 f ( x2 ) ? .即,“ m ? ”是其充要 2 2 4 4
由? 条件.)


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