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福建省厦门市双十中学2016年中考数学一模试卷含答案解析

时间:2016-11-21


2016 年福建省厦门市双十中学中考数学一模试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项,其中有且只 有一个选项正确) 1.如果两个实数 a、b 满足 a+b=0,那么 a、b 一定是( ) A.都等于 0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 2.袋子中有 10 个黑球、1 个白球,他们除颜色外无其它差别.随机从袋子中摸出一个球, 则( ) A.摸到黑球、白球的可能性大小一样 B.这个球一定是黑球 C.事先能确定摸到什么颜色的球 D.这个球可能是白球 3.下列运算结果是 a6 的式子是( ) 2 3 6 3 3 A.a ?a B. D.a12﹣a6 (﹣a) C. (a ) 4.如图,下列语句中,描述错误的是( )

A.点 O 在直线 AB 上 B.直线 AB 与射线 OP 相交于点 O C.点 P 在直线 AB 上 D.∠AOP 与∠BOP 互为补角 5.下列角度中,可以是多边形内角和的是( ) A.450° B.900° C.1200° D.1400° 6.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组 拟定的方案,其中正确的是( ) A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否都为直角 7.命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0,必有实数解.”是假命题.则在下列选项中,可 以作为反例的是( ) A.b=﹣3 B.b=﹣2 C.b=﹣1 D.b=2 8.在平面直角坐标系中,将 y 轴所在的直线绕原点逆时针旋转 45°,再向下平移 1 个单位 后得到直线 a,则直线 a 对应的函数表达式为( ) A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=x+1 D.y=﹣x﹣1 9.如图,正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= A 的横坐标为 2,当 y1>y2 时,x 的取值范围是( ) 的图象相交于 A,B 两点,其中点

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A.x<﹣2 或 x>2 B.x<﹣2 或 0<x<2 C.﹣2<x<0 或 0<x<2 D.﹣2<x<0 或 x>2 10.已知抛物线 y=﹣ x2+ x+6 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C.若 D 为 AB 的 中点,则 CD 的长为( A. B. C. ) D.

二、填空题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.若代数式 有意义,则 x 的取值范围是 .

12.计算: (x+2) (x﹣2)= . 13.某公司欲招聘一名工作人员,对甲应聘者进行面试和笔试,面试成绩为 85 分笔试成绩 为 90 分.若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权,则甲的平均成绩的是 分. 14.反比例函数 的图象在第二、四象限,则 n 的取值范围为 .

15.若函数 y=|x﹣1| (1)当 x=﹣2 时,y= ; (2)当﹣1≤x<4 时,y 的取值范围是 . 16.如图,以数轴上的原点 O 为圆心,6 为半径的扇形中,圆心角∠AOB=90°,另一个扇形 是以点 P 为圆心,10 为半径,圆心角∠CPD=60°,点 P 在数轴上表示实数 a,如果两个扇形 的圆弧部分( 和 )相交,那么实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算: .

18.在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣4,1) ,B(﹣2,0) ,C(﹣3,﹣1) ,请在图上画 ABC ABC y 出△ ,并画出与△ 关于 轴对称的图形.

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19.解不等式组



20.甲口袋中装有 3 个小球,分别标有号码 1,2,3;乙口袋中装有 2 个小球,分别标有号 码 2,3;这些球除数字外完全相同.从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球,求这两 个小球的号码之和大于 4 的概率. 21.先化简下式,再求值: ,其中, .

22. 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的 12 倍, 用这台机器生产 96 个零 8 2 件比 个工人生产这些零件少用 小时,求这台机器每小时生产多少个零件? 23.已知:如图,AB∥CD,AC 与 BD 相交于 E,若 CE=2,AE=3,AB=5,BD= sinA 的值. ,求

24.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0) ,P 是函数 y=x(x>0)图象上一点, PQ⊥AP 交 y 轴于点 Q.设点 P 的横坐标为 a,点 Q 的纵坐标为 b,若 OP<10 ,求 b 的 取值范围.

25. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形, 我们把这条对角线叫做这个 四边形的和谐线.已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC 是四边形 ABCD 的和谐线,求∠BCD 的度数. (注:已画四边形 ABCD 的部分图,请你补充完整,再求解)

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26.已知 BC 是⊙O 的直径,BF 是弦,AD 过圆心 O,AD⊥BF,AE⊥BC 于 E,连接 FC. (1)如图 1,若 OE=2,求 CF; (2)如图 2,连接 DE,并延长交 FC 的延长线于 G,连接 AG,请你判断直线 AG 与⊙O

的位置关系,并说明理由.

27.已知直线 y=kx+m(k<0)与抛物线 y=x2+bx+c 相交于抛物线的顶点 P 和另一点 Q (1)若点 P(2,﹣c) ,Q 的横坐标为﹣1.求点 Q 的坐标; (2)过点 Q 作 x 釉的平行线与抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴相交于点 E,直线 PQ 与 y 轴交 于点 M,若 PE=2EQ,c= (﹣4<b≤0) ,求△OMQ 的面积 S 的最大值.

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2016 年福建省厦门市双十中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项,其中有且只 有一个选项正确) 1.如果两个实数 a、b 满足 a+b=0,那么 a、b 一定是( ) A.都等于 0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 【考点】实数的运算. 【分析】利用相反数的性质判断即可. 【解答】解:由 a+b=0,得到 a,b 互为相反数, 故选 C 2.袋子中有 10 个黑球、1 个白球,他们除颜色外无其它差别.随机从袋子中摸出一个球, 则( ) A.摸到黑球、白球的可能性大小一样 B.这个球一定是黑球 C.事先能确定摸到什么颜色的球 D.这个球可能是白球 【考点】可能性的大小. 【分析】根据概率公式先求出摸出黑球和白球的概率,再进行比较即可得出答案. 【解答】解:∵袋子中有 10 个黑球、1 个白球, ∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ∴这个球可能是白球; 故选 D 3.下列运算结果是 a6 的式子是( ) 6 3 3 A.a2?a3 B. a C a D (﹣ ) . ( ) .a12﹣a6 【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法. 【分析】先将选项中的式子进行化简算出正确的结果,然后进行对照即可解答本题. 【解答】解:∵a2?a3=a5, (﹣a)6=a6, (a3)3=a9,a12﹣a6 无法合并, 故选 B. 4.如图,下列语句中,描述错误的是( ) ,摸出一个球是白球的概率为 ,

A.点 O 在直线 AB 上 B.直线 AB 与射线 OP 相交于点 O C.点 P 在直线 AB 上 D.∠AOP 与∠BOP 互为补角 【考点】直线、射线、线段;余角和补角.
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【分析】分别利用直线、射线、线段的定义以及互为补角的定义分析得出答案. 【解答】解:A、点 O 在直线 AB 上,说法正确; B、直线 AB 与射线 OP 相交于点 O,说法正确; C、点 P 在直线 AB 上,说法错误,应该为点 P 在直线 AB 外; D、∠AOP 与∠BOP 互为补角,说法正确; 故选:C. 5.下列角度中,可以是多边形内角和的是( A.450° B.900° C.1200° D.1400° )

【考点】多边形内角与外角. 【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)?180°可知多边形的内角和是 180°的倍数,然后 找出各选项中 180°的倍数的选项即可. 【解答】解:多边形的内角和公式(n﹣2)?180°可知,多边形的内角和是 180°的倍数, 纵观各选项,只有 900°是 180°的倍数, 所以,角度是多边形的内角和的是 900°. 故选 B. 6.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组 拟定的方案,其中正确的是( ) A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否都为直角 【考点】矩形的判定. 【分析】根据矩形的判定定理有: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 【解答】解:A、对角线是否相互平分,能判定平行四边形; B、两组对边是否分别相等,能判定平行四边形; C、对角线相等的四边形不一定是矩形,不能判定形状; D、其中四边形中三个角都为直角,能判定矩形. 故选 D. 7.命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0,必有实数解.”是假命题.则在下列选项中,可 以作为反例的是( ) A.b=﹣3 B.b=﹣2 C.b=﹣1 D.b=2 【考点】命题与定理;根的判别式. 【分析】由方程有实数根,得到根的判别式大于等于 0,求出 b 的范围即可做出判断. 【解答】解:∵方程 x2+bx+1=0,必有实数解, ∴△=b2﹣4≥0, 解得:b≤﹣2 或 b≥2, 则命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0,必有实数解.”是假命题.则在下列选项中,可 以作为反例的是 b=﹣1, 故选 C
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8.在平面直角坐标系中,将 y 轴所在的直线绕原点逆时针旋转 45°,再向下平移 1 个单位 后得到直线 a,则直线 a 对应的函数表达式为( ) A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=x+1 D.y=﹣x﹣1 【考点】一次函数图象与几何变换. 【分析】先求 y 轴所在的直线绕原点逆时针旋转 45°后的解析式,然后根据“上加下减”的规 律即可求得求直线 a 的解析式. 【解答】解:∵y 轴所在的直线与 x 轴的夹角是 90°, ∴将直线绕原点逆时针旋转 45°后的直线与 x 轴的夹角为 45°, ∴此时的直线方程为 y=﹣x. ∴再向下平移 1 个单位得到直线 a 的解析式为:y=﹣x﹣1. 故选 D.

9.如图,正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= A 的横坐标为 2,当 y1>y2 时,x 的取值范围是( )

的图象相交于 A,B 两点,其中点

A.x<﹣2 或 x>2 B.x<﹣2 或 0<x<2 C.﹣2<x<0 或 0<x<2 D.﹣2<x<0 或 x>2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出 B 点坐标,再由函数图象即可得出结 论. 【解答】解:∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称, ∴A、B 两点关于原点对称, ∵点 A 的横坐标为 2, ∴点 B 的横坐标为﹣2, ∵由函数图象可知,当﹣2<x<0 或 x>2 时函数 y1=k1x 的图象在 y2= ∴当 y1>y2 时,x 的取值范围是﹣2<x<0 或 x>2. 故选 D. 的上方,

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10.已知抛物线 y=﹣ x2+ x+6 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C.若 D 为 AB 的 中点,则 CD 的长为( A. B. C. ) D.

【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【分析】令 y=0,则﹣ x2+ x+6=0,由此得到 A、B 两点坐标,由 D 为 AB 的中点,知 OD 的长,x=0 时,y=6,所以 OC=6,根据勾股定理求出 CD 即可. 【解答】解:令 y=0,则﹣ x2+ x+6=0, 解得:x1=12,x2=﹣3 ∴A、B 两点坐标分别为(12,0) (﹣3,0) ∵D 为 AB 的中点, ∴D(4.5,0) , ∴OD=4.5, 当 x=0 时,y=6, ∴OC=6, ∴CD= 故选:D. 二、填空题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.若代数式 有意义,则 x 的取值范围是 x≥2 . = .

【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】根据式子 有意义的条件为 a≥0 得到 x﹣2≥0,然后解不等式即可. 【解答】解:∵代数式 ∴x﹣2≥0, ∴x≥2. 故答案为 x≥2. 12.计算: (x+2) (x﹣2)= x2﹣4 . 【考点】平方差公式. 【分析】利用平方差公式计算即可求得答案. 【解答】解: (x+2) (x﹣2)=x2﹣4. 故答案为:x2﹣4. 13.某公司欲招聘一名工作人员,对甲应聘者进行面试和笔试,面试成绩为 85 分笔试成绩 为 90 分. 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权, 则甲的平均成绩的是 87 分. 【考点】加权平均数. 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可. 【解答】 解: ∵甲的面试成绩为 85 分, 笔试成绩为 90 分, 面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权,
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有意义,

∴甲的平均成绩的是 故答案为 87.

=87(分) .

14.反比例函数

的图象在第二、四象限,则 n 的取值范围为 n<1 .

【考点】反比例函数的性质. 【分析】由于反比例函数 即可. 【解答】解:由题意得,反比例函数 则 n﹣1<0, 解得 n<1. 故答案为 n<1. 15.若函数 y=|x﹣1| (1)当 x=﹣2 时,y= 3 ; (2)当﹣1≤x<4 时,y 的取值范围是 0≤y<3 . 【考点】函数值. 【分析】 (1)把 x=2 代入函数关系式进行计算即可得解. (2)根据函数解析式画出函数图象,结合图象进行填空. 【解答】解: (1)x=﹣2 时,y=|﹣2﹣1|=3. (2)y=|x﹣1|的图象如图所示: 的图象在二、四象限内, 的图象在二、四象限内,则 n﹣1<0,解得 n 的取值范围



当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大,则 x=4 时,y=|4﹣1|=3. 当﹣1≤x<1 时,y 随 x 的增大而减小,则当 x=1 时,y=|1﹣1|=0. 则 y 的取值范围是:0≤y<3. 故答案是:3, ;0≤y<3. 16.如图,以数轴上的原点 O 为圆心,6 为半径的扇形中,圆心角∠AOB=90°,另一个扇形 是以点 P 为圆心,10 为半径,圆心角∠CPD=60°,点 P 在数轴上表示实数 a,如果两个扇形 的圆弧部分( 和 )相交,那么实数 a 的取值范围是 ﹣8≤a≤﹣4 .
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【考点】圆与圆的位置关系. 【分析】两扇形的圆弧相交,介于 D、A 两点重合与 C、B 两点重合之间,分别求出此时 PD 的长,PC 的长,确定 a 的取值范围. 【解答】解:当 A、D 两点重合时,PO=PD﹣OD=10﹣6=4,此时 P 点坐标为 a=﹣4, 当 B 在弧 CD 时,由勾股定理得,PO= ﹣8, 则实数 a 的取值范围是﹣8≤a≤﹣4. 故答案为:﹣8≤a≤﹣4. 三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算: . = =8,此时 P 点坐标为 a=

【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值. 【分析】本题涉及平方、二次根式化简、特殊角的三角函数值 3 个考点.在计算时,需要针 对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解: =4+2﹣1 =5. 18.在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣4,1) ,B(﹣2,0) ,C(﹣3,﹣1) ,请在图上画 出△ABC,并画出与△ABC 关于 y 轴对称的图形.

【考点】作图-轴对称变换. 【分析】 直接利用各点坐标在坐标系中标出, 进而利用关于 y 轴对称点的性质得出对应点得 出答案. 【解答】解:如图所示:△A′B′C′即为所求.

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19.解不等式组



【考点】解一元一次不等式组. 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集,再根据大大取大确定不等式组的解集. 【解答】解: 由①得:x>1, 由②得:x≥﹣2, 不等式组的解集为:x>1. 20.甲口袋中装有 3 个小球,分别标有号码 1,2,3;乙口袋中装有 2 个小球,分别标有号 码 2,3;这些球除数字外完全相同.从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球,求这两 个小球的号码之和大于 4 的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】根据题意可以写出所有的可能性,从而可以得到它们的和,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得,摸出小球所有的可能性是: (1,2) 、 (2,2) 、 (3,2) 、 (1,3) 、 (2,3) 、 (3,3) , 这两个小球的号码的和分别为:3,4,5,4,5,6, 故两个小球的号码之和大于 4 的概率是: 即两个小球的号码之和大于 4 的概率是 . , ,

21.先化简下式,再求值:

,其中,



【考点】分式的化简求值. 【分析】首先计算括号里面的分式的减法,然后再计算括号外的乘法,把结果化简后,再代 入 x 的值即可. 【解答】解:原式=( ﹣ )? = ? = ,

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当 x=

1 时,原式=

=



22. 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的 12 倍, 用这台机器生产 96 个零 件比 8 个工人生产这些零件少用 2 小时,求这台机器每小时生产多少个零件? 【考点】分式方程的应用. 【分析】设一个工人每小时生产零件 x 个,则机器一个小时生产零件 12x 个,根据这台机器 生产 96 个零件比 8 个工人生产这些零件少用 2 小时,列方程求解,继而可求得机器每小时 生产的零件. 【解答】解:设一个工人每小时生产零件 x 个,则机器一个小时生产零件 12x 个, 由题意得, ﹣ =2,

解得:x=2, 经检验:x=2 是原分式方程的解,且符合题意, 则 12x=12×2=24. 答:这台机器每小时生产 24 个零件.

23.已知:如图,AB∥CD,AC 与 BD 相交于 E,若 CE=2,AE=3,AB=5,BD= sinA 的值.

,求

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理;平行四边形的判定与性质;锐角三 角函数的定义. 【分析】由 AB∥CD,得到 得出结论. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴ = , = ,BE=4,根据勾股定理的逆定理得出∠AEB=90°,即可

∴ =



∴BE=4, ∵AB=5, ∴AE2+BE2=AB2, ∴∠AEB=90°, ∴sin∠A= = .

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24.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0) ,P 是函数 y=x(x>0)图象上一点, PQ⊥AP 交 y 轴于点 Q.设点 P 的横坐标为 a,点 Q 的纵坐标为 b,若 OP<10 ,求 b 的 取值范围.

【考点】全等三角形的判定与性质;一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理. 【分析】先过 P 作 x 轴、y 轴的垂线,构造正方形以及全等三角形,根据全等三角形的性质 以及正方形的性质得到 OQ+TQ=OT=OH,进而得出关系式 a= b+1,再根据 a 的取值范围 求得 b 的取值范围. 【解答】解:过 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 H、T, ∵点 P 在函数 y=x(x>0)的图象上, ∴PH=PT,且 PH⊥PT, ∵AP⊥PQ, ∴∠APH=∠QPT, 又∵∠PHA=∠PTQ, ∴△PHA≌△PTQ(ASA) , ∴AH=TQ, ∵A(2,0) ,点 P 的横坐标为 a, ∴AH=2﹣a=TQ, ∵OQ+TQ=OT=OH,点 Q 的纵坐标为 b, ∴b+(2﹣a)=a, ∴a= b+1, 又∵OP<10 ,且 Rt△OHP 中,OP= ∴ a<10 , 解得 a<10, 即 b+1<10, 解得 b<18. a,

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25. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形, 我们把这条对角线叫做这个 四边形的和谐线.已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC 是四边形 ABCD 的和谐线,求∠BCD 的度数. (注:已画四边形 ABCD 的部分图,请你补充完整,再求解)

【考点】多边形内角与外角;等腰三角形的性质;多边形的对角线. 【分析】首先根据题意画出图形,然后由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线,可以得出△ACD 是等腰三角形,从图 1,图 2,图 3 三种情况运用等边三角形的性质,正方形的性质和 30° 的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数. 【解答】解:∵AC 是四边形 ABCD 的和谐线, ∴△ACD 是等腰三角形. ∵AB=AD=BC, 如图 1,当 AD=AC 时, ∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC ∴△ABC 是正三角形, ∴∠BAC=∠BCA=60°. ∵∠BAD=90°, ∴∠CAD=30°, ∴∠ACD=∠ADC=75°, ∴∠BCD=60°+75°=135°. 如图 2,当 AD=CD 时, ∴AB=AD=BC=CD. ∵∠BAD=90°, ∴四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BCD=90°; 如图 3,当 AC=CD 时,过点 C 作 CE⊥AD 于 E,过点 B 作 BF⊥CE 于 F, ∵AC=CD.CE⊥AD, ∴AE= AD,∠ACE=∠DCE. ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
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∴四边形 ABFE 是矩形. ∴BF=AE. ∵AB=AD=BC, ∴BF= BC, ∴∠BCF=30°. ∵AB=BC, ∴∠ACB=∠BAC. ∵AB∥CE, ∴∠BAC=∠ACE, ∴∠ACB=∠ACE= ∠BCF=15°, ∴∠BCD=15°×3=45°. 综上:∠BCD 的度数是:135°,90°或 45°.

26.已知 BC 是⊙O 的直径,BF 是弦,AD 过圆心 O,AD⊥BF,AE⊥BC 于 E,连接 FC. (1)如图 1,若 OE=2,求 CF; (2)如图 2,连接 DE,并延长交 FC 的延长线于 G,连接 AG,请你判断直线 AG 与⊙O

的位置关系,并说明理由.

【考点】切线的判定;直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)由 AAS 证明△AEO≌△BDO,得出 OE=OD=2,证出 OD∥CF,得出 OD 为 △BFC 的中位线,得出 CF=2OD=4 即可; (2)由 ASA 证明△ABD≌△GDF,得出 AD=GF,证出 AD∥GF,得出四边形 ADFG 为矩 形,由矩形的性质得出 AG⊥OA,即可得出结论. 【解答】解: (1)∵BC 是⊙O 的直径,AD 过圆心 O,AD⊥BF,AE⊥BC 于 E, ∴∠AEO=∠BDO=90°,OA=OB, 在△AEO 和△BDO 中,

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, ∴△AEO≌△BDO(AAS) , ∴OE=OD=2, ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠CFB=90°,即 CF⊥BF, ∴OD∥CF, ∵O 为 BC 的中点, ∴OD 为△BFC 的中位线, ∴CF=2OD=4; (2)直线 AG 与⊙O 相切,理由如下: 连接 AB,如图所示: ∵OA=OB,OE=OD, ∴△OAB 与△ODE 为等腰三角形, ∵∠AOB=∠DOE, ∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO, ∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD, ∴∠GDF=∠ABD, ∵OD 为△BFC 的中位线, ∴BD=DF, 在△ABD 和△GDF 中, , ∴△ABD≌△GDF(ASA) , ∴AD=GF, ∵AD⊥BF,GF⊥BF, ∴AD∥GF, ∴四边形 ADFG 为矩形, ∴AG⊥OA, ∴直线 AG 与⊙O 相切.

27.已知直线 y=kx+m(k<0)与抛物线 y=x2+bx+c 相交于抛物线的顶点 P 和另一点 Q (1)若点 P(2,﹣c) ,Q 的横坐标为﹣1.求点 Q 的坐标;

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(2)过点 Q 作 x 釉的平行线与抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴相交于点 E,直线 PQ 与 y 轴交 于点 M,若 PE=2EQ,c= (﹣4<b≤0) ,求△OMQ 的面积 S 的最大值.

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)根据对称轴公式求出 b,再将 P 代入抛物线得到 c,求出抛物线解析式,根据 Q 点的横坐标即可解决问题. (2)由题意可以假设直线 PQ 为 y=﹣2x+b′,利用方程组求出点 Q 坐标,分两种情形①﹣1 ≤b≤0 时,②﹣4<b∠﹣1 时,构建二次函数,根据二次函数的性质即可解决问题. 【解答】解: (1)由题意:﹣ =2,a=1,

∴b=﹣4,∴抛物线为 y=x2﹣4x+c,将 P(2,﹣c)代入得到,﹣c=4﹣8+c, ∴c=2, ∴抛物线解析式为 y=x2﹣4x+2, ∵点 Q 横坐标为﹣1, ∴x=﹣1 时,y=7 ∴点 Q 坐标为(﹣1,7) . (2)由题意可以假设直线 PQ 为 y=﹣2x+b′, ∵顶点 P(﹣ ,﹣1) ,代入上式得到:﹣1=b+b′, ∴b′=﹣1﹣b, ∴直线 PQ 为 y=﹣2x﹣1﹣b,∴点 M 坐标(0,﹣1﹣b) ,



解得



∴点 Q 坐标(﹣2﹣ ,3) , ∵﹣4<b≤0, ①﹣1≤b≤0 时, ∴S△OQM= ?(2+ )?(1+b)= (b+ )2﹣ ∴x=0 时,△OQM 的面积最大,最大值为 1. ②﹣4<b∠﹣1 时, S△OQM= ?(2+ )?(﹣1﹣b)=﹣ (b+ )2+ ∵﹣ <0, ∴b=﹣ 时,△OQM 的面积最大,最大值为 综上所述,△OQM 的面积的最大值为 1. , , ,

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2016 年 11 月 20 日

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