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1.5.3定积分的概念(教学用)

时间:2017-05-02


§1.5.3 定积分的概念
特殊和式的极限—定积分的概念
? ? ? ? 定积分问题的产生 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分存在的条件

紐绅中学

定积分的起源
积分思想出现在求面积、体积等问题中,在古中国、 古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉 及这类问题的思想和方法. 如:古希腊的阿基米德(公元前287―212) 用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积, 称为“穷竭法”.

a4

a3
an a a2

中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》(公元 263年)中,对于计算圆面积提出了著名的“割圆

术”,他解释说:“割之弥细,所失弥少.割之又
割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.” 这些都是原始的积分思想.

16世纪以后,欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方 法求面积、体积等问题,并不断加以改进.天文学 家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型.他注意 到,酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确,他努

力探求计算体积的正确方法,写成《测量酒桶体积
的新科学》一书,他的方法的精华就是用无穷多小 元素之和来计算曲边形的面积或体积.

一、抽象定积分概念的现实原型
原型Ⅰ (求曲边梯形的面积)

原 型 求 变 力 做 功



曲边梯形由连续曲线y ? f ( x )( f ( x ) ? 0), x轴与两直线x ? a,x ? b所围成.
y
y ? f ( x)

A??
o
a b x

考察下列图形由哪些曲边围成.

y ? sin x
x?0
0

A
y?0 y?2
x?0
0

π x ?π
π

A

x2 x ? 2 y? 2
2

A面积 怎样求?

曲边梯形的面积的解决思路: 求解曲边梯形的面积时,可概括为 “分割-近似代替-求和-取极限” 的步骤.

第一步

分割;

将曲边梯形的底,即[a ,b]进行分割(用垂直于x

轴的直线). 记?xi ? xi ? xi ?1 . y ? f ( x) y

o

a x1

x2

x i ?1 x i

xn?1

b

x

第二步

近似代替;
典型小区域面积

取出典型小区域,用矩形面积近似曲边梯形面积.
y

y ? f ( x)

f (? i )

?i

o

a x1

x2

xi ?1底xi
?x i

xn?1

b

x

?Si ? f (?i )?xi . 用矩形面积近似

小曲边梯形面积

第三步

求和;
矩形面积和与曲边梯 形面积不相等

将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似,并将

所有的小矩形面积加起来.
y

y ? f ( x)

有误差!
o
a ? x1? x2
1

2

xi ?1 ? ixi
n i i i

x ? b nn ?1 ?1 ? n

x

? ?S ? ? f (? )?x
i ?1 i ?1

n

.

第四步

取极限.

当对曲边梯形底的分割越来越细时,矩形面积 之和越近似于曲边梯形面积.
y

y ? f ( x)

o

a
?

b

x

?xi ? 0, i ? 1, 2,?, n ? max{?xi } ? 0

曲边梯形面积的近似值为:
A ? ? ?Si ? ? f (? i )?xi
n n i ?1 i ?1

y

y ? f ( x)

A
2

o ax1 x ? f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? f (? 3 )?x3 ? ? ? f (? n )?xn ,
当分割无限加细,即小区间的最大长度

xi ?1 xi xn?1

b x

? ? max{?x1 , ?x2 ,? , ?xn }趋近于零 (? ? 0) 时,
曲边梯形面积为
A ? lim ? f (? i )?xi
? ? 0 i ?1
n

? lim[ f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? f (? 3 )?x3 ? ? ? f (? n )?xn ] .
? ?0

二、 定积分的定义

求和

? f (? )?x .
i ?1 i i

n

以直代曲

如果当n ? ? ,同时最大子区间的长度

取极限!

极限趋近于 一个常数!

? ? max{?xi } ? 0时, 和式? f (? i )?xi的
i ?1

n

极限存在, 并且其极限值与[a , b]的分割法 以及? i的取法无关, 则该极限值称为函数 f ( x )区间在[a , b]上的定积分, 记作 : 积分上限
积分和


积分下限

?

b

a

f ( x )dx ? lim
被 积 函 数
被 积 表 达 式

n?? ( ? ? 0) i ?1

? f (? )?x
i

n

i

积 分 变 量

[a, b] 为积分区间

注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关.

?

b

a

f ( x )dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du
a a

b

b

(2)在定义中区间的分法和?i的取法是任意的.

(3)当函数f ( x )在区间[a , b]上的定积分存在时, 称f ( x )在区间[a , b]上可积.

三 定积分的几何意义.
当 f (x) ≥ 0,定积分

?

b

a

f ( x )dx ? lim

n?? ( ? ? 0) i ?1

? f (? )?x
i

n

i

?

b

a

f ( x)dx
o

y

y=f (x) A S

的几何意义就是曲线 y = f (x)

直线 x = a, x = b, y = 0 所
围成的曲边梯形的面积,即
b

a

b

x

dx ?a f(x )

? S
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当函数 f (x) ? 0 , x?[a, b] 时 定积分

?

b

a

f ( x )dx ? lim

n?? ( ? ? 0) i ?1

? f (? )?x
i

n

i

?

b

a

f ( x)dx

y
o

a
S y=f (x)

b

就是位于 x 轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即

x

?

b

a

f ( x)dx ? ?S

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定积分的几何意义
dx f(x ) ? 0, ?a f(x )
dx f(x ) ? 0, ?a f(x )
y
b

b

? S

曲边梯形的面积

? ?S 曲边梯形的面积的负值

a

A1
O A2

A3
A4

b x

?

b

a

f ( x )dx ?

A1 ? A2 ? A3 ? A4

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定积分几何意义:
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x ? a, x ? b 之间的各部分面积的代 数和. 在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面 积取负号.
?
?

?
?

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例1 利用定义计算定积分

?

1

0

x 3 dx.

i 解 将[0,1]n 等分,分点为 x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 1 小区间[ x i ?1 , x i ]的长度?x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 取? i ? x i ,(i ? 1,2,?, n )

? f (? i )?xi ? ? i ?1
i ?1

n

n

3 ? x ?i ?x i ? i ?xi ,

3

n

i ?1

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?i? 1 ? ?? ? ? n i ?1 ? n ?
n

3

1 ? 4 n
2

?i
i ?1

n

3

1 n 2 (n ? 1)(n ? 1) ? 3? n 4

1? 1? ? ?1 ? ? 4? n?

? ? 0
3

? n ? ?

? x dx
3 0

1

? lim ? ? i ?xi
? ?0
i ?1

n

1? 1? ? lim ?1 ? ? n?? 4 ? n?

2

1 ? . 4

可以证明:

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定积分的性质:
规定: 当a ? b时, ? f(x )dx ? 0;
a b

性质1: 性质2: 性质3: 性质4:

?a[f(x ) ? g(x )]dx ??a f(x )dx ? ?a g(x )dx .

b

b

b

?a kf(x )dx
b
b b

b

?k ? f(x ) dx .
a

b

?a f(x )dx ??a f(x )dx ? ?c f(x )dx . ?a 1dx ??a dx
? b ? a.
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c

b

例2 利用定积分的几何意义计算下列积分.
(1)? xdx ;
0 1

(2)?

1

0

1 ? x 2 dx .

表示由x ? 0, x ? 1, y ? x及x轴围成的三角形面积.

解 (1)? xdx ,
0

1

y? x
x?0
0

?

1

0

1 1 xdx ? ?.1 ? 1 2 2

A
y?0
1

x ?1

(2)?

1

0

1 ? x 2 dx ,

表示由x ? 0, x ? 1, y ? 1 ? x 2 及x轴围成 1 1 2 的 圆面积. 1 ? x dx ? 0 4 1 1 2 y? x ? ?π ? 1 ? . 4 4

x?0
0

A
y?0
1

x ?1

课堂 练习
一、 填空题: 1、 函数 f ( x ) 在? a , b ?上的定积分是积分和的极限, 即 ? f ( x )dx ?
a b

.

2、 定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 , 而 与 _________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是_______________________ . 4、 区间? a , b ?长度的定积分表示是_____________ .

二、 利用定积分的定义计算由抛物线 y ? x 2 ? 1 , 两直线 x ? a , x ? b ( b ? a )及横轴所围成的图形的面积 . 三、 利用定积分的定义计算积分 ? xdx , ( a ? b ) .
a b

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课堂练习
一、1、 lim ? f (? i )?x i ;
? ?0
i ?1 n

2、被积函数,积分区间,积分变量; 3、介于曲线 y ? f ( x ), x 轴 ,直线 x ? a , x ? b 之间 各部分面积的代数和; 4、 ?a 1dx . 1 3 二、 (b ? a 3 ) ? b ? a . 3 1 2 三、 (b ? a 2 ) 2
b

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四、小结
1.定积分的实质:特殊和式的极限. 2.定积分的思想和方法:
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)

积零为整
取极限

精确值——定积分

3.定积分的几何意义及简单应用

作业:优化设计
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