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二次函数的概念(教案)[1]


二次函数的概念
【教学目标】 1、经历从实际问题引入二次函数的过程,掌握二次函数的概念; 2、通过复习已经学过的几种函数,指导学习二次函数. 【教学重点】 掌握二次函数的概念. 【教学过程】 一、新授 (一)复习已经学过的几种函数,回顾学习各函数的过程: . (二)由实际问题引出二次函数的定义: 问题 1: 若圆的半径为 x 厘米,圆的面积为 y 平方厘米,试写出 y

关于 x 的函 数解析式; 问题 2: 甲、乙两数的和为 20,设甲数为 x,甲、乙两数的积为 y,试写出 y 关于 x 的函数解析式; 问题 3: 矩形的长为 4 厘米,宽为 3 厘米,如果将它的长与宽都增加 x 厘米, 记现在的矩形面积为 y 平方厘米,试写出 y 关于 x 的函数解析式; 问题 4: 汽车产业是我市支柱产业之一,产量和效益逐年增加. 据统计,2009 年我市某种品牌汽车的年产量为 6.4 万辆,到 2011 年,该品牌汽车 的年产量达到 y 万辆. 若该品牌汽车年产量的年增长率从 2009 年开 始五年内保持不变,均为 x,试写出 y 关于 x 的函数解析式; 问题 5: 把一根长 40 厘米的铁丝剪成两段,再分别把每一段弯折成一个正方形 (不计接头处的损耗) .设其中一段铁丝长 x 厘米,两个正方形的面积和等于 y 平方厘米,求 y 关于 x 的函数解析式.
形如 y ? ax ? bx ? c 的函数 a ? 0 才是二次函数.
2

(三)例题讲解: 例 1. 下列关于 x 的函数,是不是二次函数? (1) y ? 3 x ? 1 ; (3) y ?
1 ; x ? x
2

(2) y ? 5x 2 ; (4) y ? 2 x ? ?3 ? x ? ? 1 ; (6) y ? 4 x 2 ? ?2 x ? 1? ;
2

(5) y ? x 3 ? 4 x 2 ? 1 ;

1

(7) y ?

2x ? x2 ? 3 ;

(8) y ?

2x ? x2 ? 3 .

例 2.已知关于 x 的函数 y=(m2-2m-3)x2+(m+1)x+m2. (1)若它是关于 x 的二次函数,m 要满足的条件是 (2)若它是关于 x 的一次函数,m 要满足的条件是
2.当 k 为何值时,函数 y ? (k ? 1) x
2 2
k 2 ?k

; .

? 1 为二次函数?

若函数 y ? (m ? m) x ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量的一次函数

例 3. 心理学家研究发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受程度 y 与提出概念所用的时间 x(分钟)之间满足函数关系式: y ? ?0.1 x 2 ? 2.6 x ? 43?0 ? x ? 30? y 的值越大,表示接受程度越高. (1)若用 10 分钟提出概念,学生的接受程度 y 的值是多少? (2)如果分别用 5 分钟、10 分钟或 20 分钟来提出这一概念,那么三者相比, 用哪种方式,学生的接受程度更高?

二、课堂小结: 1、二次函数的定义; 2、回顾学习各函数的过程,指导二次函数的学习.

三、布置作业: 1、必做题:练习册习题 26.1; 2、选做题: 如图,用长为 20 米的篱笆,一面靠墙(墙长度为 10 米) ,围成一个矩 形的花圃. 设 AB 边的长为 x 米,花圃的面积为 y 平方米. (1)求 y 关于 x 的函数解析式及函数的定义域; (2)花圃的面积是否可能等于 48 平方米?为什么?

A B

D C

2

解得

m ? 0 ,且 m ? 1 .
2 2

因此,当 m ? 0 ,且 m ? 1 时,函数 y ? (m ? m) x ? mx ? (m ? 1) 是二次函数. 回顾与反思 形如 y ? ax ? bx ? c 的函数只有在 a ? 0 的条件下才是二次函数.
2

探索 若函数 y ? (m ? m) x ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量的一次函数, m 取哪些值? 则
2 2

例 2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. (1)写出正方体的表面积 S(cm2)与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系; (2)写出圆的面积 y(cm2)与它的周长 x(cm)之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,若不计利息,求本息和 y(元)与 所存年数 x 之间的函数关系; (4)菱形的两条对角线的和为 26cm,求菱形的面积 S(cm2)与一对角线长 x(cm)之间 的函数关系. 解 (1)由题意,得

S ? 6a 2 (a ? 0) ,其中 S 是 a 的二次函数;

(2)由题意,得

y?

x2 ( x ? 0) ,其中 y 是 x 的二次函数; 4?

(3)由题意,得

, y ? 10000 ? 1.98% x ? 10000 (x≥0 且是正整数)

其中 y 是 x 的一次函数; (4)由题意,得

S?

1 1 x(26 ? x) ? ? x 2 ? 13 x(0 ? x ? 26) ,其中 S 是 x 的二次函数. 2 2

例 3.正方形铁片边长为 15cm,在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形,用余 下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S(cm2)与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为 3cm 时,求盒子的表面积. 解 (1) S ? 15 ? 4 x ? 225 ? 4 x (0 ? x ?
2 2 2
2

15 ); 2

(2)当 x=3cm 时, S ? 225 ? 4 ? 3 ? 189 (cm2) . [当堂课内练习] 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1) y ? x ? 0
2

(2) y ? ( x ? 2)( x ? 2) ? ( x ? 1)

2

3

(3) y ? x 2 ?

1 x

(4) y ?
k 2 ?k

x 2 ? 2x ? 3

2.当 k 为何值时,函数 y ? (k ? 1) x
2

? 1 为二次函数?

3.已知正方形的面积为 y (cm ) ,周长为 x(cm) . (1)请写出 y 与 x 的函数关系式; (2)判断 y 是否为 x 的二次函数. [本课课外作业] A组 1. 已知函数 y ? (m ? 3) x
2
m 2 ?7

是二次函数,求 m 的值.

2. 已知二次函数 y ? ax ,当 x=3 时,y= -5,当 x= -5 时,求 y 的值. 3. 已知一个圆柱的高为 27,底面半径为 x,求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式.若圆柱的 底面半径 x 为 3,求此时的 y. 4. 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形,求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间 的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径 r 的取值范围. B组 5.对于任意实数 m,下列函数一定是二次函数的是 ( ) A. y ? (m ? 1) x
2 2

B. y ? (m ? 1) x
2

2

C. y ? (m ? 1) x
2 2

2

D. y ? (m ? 1) x
2

2

6.下列函数关系中,可以看作二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )模型的是





A. 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B. 我国人口年自然增长率为 1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C. 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空 气阻力) D. 圆的周长与圆的半径之间的关系

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