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2011届高三数学下册第五次月考检测试题2


重庆八中 2010-2011 学年度(上)高三年级第五次考试

数学文科试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?x | x ? 1 ?, N ? ?x | x( x ? 2) ? 0? ,则 M A.? B.?x | x ? 0? C.?x

| x ? 1 ?

N=





D.?x | 0 ? x ? 1 ? ) D. 2

2.若向量 a ? (3, k ) , b ? (2,?1) , a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为( A. ?

3 2

B.

3 2

C. 6 )

3. “ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( A.充分而 不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.4 )

4. 若 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 满足 f ' (1) ? 2 ,则 f ' (?1) ? A. ? 4 B. ? 2 C.2

5. 中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,2) , 则它的离心率为 ( ) A.

5 2

B. 5

C.

6 2

D. 6 )

6. 已知 m, n 为两条不同的直线,? , ? 为两个不同的平面, 则下列命题中正确的是( A. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n B. m ? ? , m ? n ? n // ? D. m // n, n ? ? ? m ? ?

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P, 7. 椭圆 它到左准线的距离为 5, 则 P 到右焦点的距离为 ( 25 9
A.7 B.6 C.5 D.4

)

8. 已知 PA 垂直于 ?ABC 所在的平面, AB ? AC ? 5 , BC ? 6 , PA ? 8 ,则 P 到 BC 的距离为 A. 5 B. 2 5 C. 3 5
y
1

(

)

D. 4 5

? ? 5? ? 9.右图是函数 y ? A sin(?x ? ? )(x ? R) 在区间 ?? , ? 6 6 ? ?
?

?
3

5? 6

?
6

O

x

?1

上的图像,为了得到这个函数的图象,只要将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点(



? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
A.向左平移 10.已知函数 f ( x) 满足:①定义域为 R;②对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ;③当
x ? [?1,1] 时, f ( x) ? ? | x | ?1 .则方程 f ( x) ? log 4 | x | 在区间 [?10,10] 内的 解个数是(

)

A.20

B.12

C.11

D.10

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为__________. 12.已知 x ? (0, ? ) ,若 sin(

?
2

? x)= ?

12 ,则 tanx = 13

.

13.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,二面角 A ? B1C ? A1 的平面角的正切值为_______.

? x ? y ? 3, ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则目标函数 z ? 4 x ? 2 y 的最大值为______. ? y ? 1, ?
15.对任意 a ? [?2,3] ,不等式 x 2 ? (a ? 6) x ? 9 ? 3a ? 0 恒成立,则实数 x 的取值范围 是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且

a2 ? c2 ? b2 ?

1 ac 2

(1) 求 cos B 的值;
( 2) 求 sin 2
A?C ? cos 2 B 的值. 2

17.(本小题满分 13 分) 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 .

(1) 求 ?an ? 的通项公式;
( 2) 求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的 n 值.

18. (本小题满分 13 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 . AA 1 ? 4 ,点 D 是 AB 中点. (1)求证: AC1 // 平面 CDB1 ; (2) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.
A1
C

C1

B1

B

D
A

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x ( x ? R) 其中 m ? 0 为常数 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值.

20. (本小题满分 12 分)

如图所示,F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 点 A(4,2) 为抛物线内一定点, 点P 为抛物线上一动点, PA ? PF 的最小值为 8. (1)求抛物线方程; ( 2 )若 O 为坐标原点,问是否存在点 M ,使过点 M 的动直线与抛物线交于 B, C 两点,且以 BC 为直径的 圆恰过坐标原点, 若存在,求出动点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由. O F y P A(4,2) x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x , x ? (0, ??) ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? f (an ) ;数列 {bn } 满足 2x ? 1 1 1 ,其中 Sn 为数列 {bn } 前 n 项和, n ? 1, 2,3 b1 ? , bn ?1 ? 1 ? 2 f ( Sn ) 2
(1)求数列 {an } 和数列 {bn } 的通项公式; (2)设 Tn ?
1 1 ? ? a1b1 a2 b2 ? 1 ,证明 Tn ? 5 . an bn

重庆八中 2010-2011 学年度(上)高三年级第五次考试 数学文科试题----参考解答
一. 选择 10 ? 5 ? 50
' '

y 4

DCABA

DBDAC
2
y ? log 4 | x |

【解析】10.(数形结合)在同一直角坐标内
作出函数 f ( x) 和 y ? log 4 | x | 的图象如右图, 由图易知, y ? f ( x) 与 y ? log 4 | x | 的图象 在 [?10, 0] 有两个交点,在 (0,10] 内有 9 个

1

1

y ? log 4 | x |

?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 2

x

交点,故方程 f ( x) ? log 4 | x | 在区间 [?10,10] 内共有 11 个解. 二.填空: 5 ? 5 ? 25
' '

11.

x 2 ? y2 ? 2

12. ?

5 12

13.

2 2

14. 10

15. x ? 0 或 x ? 5

? f (?2) ? 0 【解析】15.设 f (a) ? ( x ? 3)a ? ( x 2 ? 6x ? 9) 由 ? ? x ? 0或 x ? 5 ? f (3) ? 0
三.解答(共 75 )
'

a2 ? c2 ? b2 1 ? 16. 解: (1)由已知得, cos B ? 2ac 4
(2) sin
2

…………………… …..6 分 … 13 分

A?C B 1 1 1 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? cos B ? = ? 4 2 2 2 2

17. 解:(1)设等差数列首项为 a1 ,公差为 d ,则

?a1 ? 2d ? 5 ?a ? 9 ?? 1 ? an ? ?2n ? 11…………………………….6 分 ? ?a1 ? 9d ? ?9 ?d ? ?2
(2)由(1)知 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 10 n ………………………….10 分 2 2 又 S n ? ?(n ? 5) ? 25 ? 当 n ? 5 时, S n 取得最大值 25 ………...13 分

18. 解 : (1) 连 BC1 交 B1C 于 E , 连 DE ,

? D 是 AB 的 中 点 , E 是 BC1 的 中 点 ,

? DE // AC1 ? DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 , ? AC1 // 平面 CDB1 …6 分
(2) ? DE // AC1 ,? ?CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,在 ? CED 中,

ED ?

1 5 1 AC1 ? , CE ? CB1 ? 2 2 , ? cos ?CED ? 2 2 2

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 . 5

? 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 5

…………… …...12 分
z
C1 B1

解法 2.? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 底面三边长

AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 .? AC, BC, C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA, CB, CC1 分别为 x 轴,

E
A1
C

B

y

D
A

y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0) , A(3,0,0) ,

x

3 C1 (0,0,4) , B(0,4,0) , B1 (0,4,4) , D( ,2,0) 2

(1) 设 BC1 交 B1C 于 E ,则 E (0,2,2) , ? DE ? ( ?

3 ,0,2) , 2

AC1 ? (?3,0,4) , ? DE ?

1 AC1 , ? DE // AC1 2

? DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 ,

? AC1 // 平面 CDB1
AC1 ? CB1 AC1 ? CB1
? 2 2 . 5

(2) AC1 ? (?3,0,4) , CB1 ? (0,4,4) , ? cos ? AC1 , CB1 ? ? 19.解:(1)当 m ? 1 时, f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 , f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x , ? f ' (1) ? 1 3
……… ..5 分

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解析

f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)


1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
+

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)


f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 为减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 为增函数…….
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

10 分

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m 2 ? ….12 分 3 3 20.解:如图,设抛物线的准线为 l , 过 P 作 PB ? l 于 B ,过 A 作 AC ? l 于 C ,
(1)由抛物线定义知 PF ? PB y P A(4,2) x

? PA ? PF ? PA ? PB ? AC (折线段大于垂线段),当且仅
当 A, P, C 三 点 共 线 取 等 号 . 由 题 意 知 AC ? 8 , 即 O F

4?

p ? 8 ? p ? 8 ? 抛物线的方程为: y 2 ? 16x ………...4 分 2

(2)假设存在点 M ,设过点 M 的直线方程为 y ? kx ? b , 显然 k ? 0 , b ? 0 ,设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,由以 BC 为直径的圆恰过坐标 原点有 OB ? OC ? 0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ………… ……………………...①……6 分

把 y ? kx ? b 代人 y 2 ? 16x 得 k 2 x 2 ? 2(bk ? 8) x ? b 2 ? 0

2(bk ? 8) ? x1 ? x2 ? ? ? ? k2 由韦达定理 ? 2 ?x x ? b 1 2 ? k2 ?


………………….………………②

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? bk( x1 ? x2 ) ? b 2
②代人③得 y1 y 2 ?

….③ ……… .④

16b k

②④代人①得

16b b 2 ? 2 ? 0 ? b ? ?16k … k k

…10 分

?动直线方程为 y ? kx ? 16k ? k ( x ? 16) 必过定点 (16,0)
当 k BC 不存在时, 直线 x ? 16 交抛物线于 B(16,?16), C (16,16) ,仍然有 OB ? OC ? 0 , 综上:存在点 M (16,0) 满足条件……………12 分 注:若设直线 BC 的方程为 x ? m y ? b 可避免讨论.可参照给分. an 1 1 x ? ?2 21.解: (1)∵ f ( x) ? ∴ an ?1 ? f (an ) ,∴ an ?1 ? ∴ 2 a ? 1 a a 2x ? 1 n n ?1 n 1 1 1 ∴ { } 为以 ? 1 为首项以 2 为公差的等差数列∴ ? 1 ? (n ? 1) 2 a1 an an ∴ an ? ∴ bn ?1 ?

1 x 1 (n ? N * ) 又∵ f ( x) ? , bn ?1 ? , 1 ? 2 f ( Sn ) 2n ? 1 2x ? 1

1 ? 2Sn ? 1 ,∴ bn? 2 ? 2Sn?1 ? 1 ,∴ bn? 2 ? bn?1 ? 2(Sn?1 ? Sn ) 2Sn 1? 2Sn ? 1 1 ∴ bn? 2 ? 3bn?1 ,? b1 ? , b2 ? 2S1 ? 1 ? 2 2 ?1 n ?1 ? ∴ {bn } 从第二项起成等比数列,公比为 3,? bn ? ? 2 ……… …..6 分 ? 2 3n ? 2 , n ? 2 ?

(2)证明:依题意

1 1 1 Tn ? 2 ? [3 1 ? 5 ? 7 ( )2 ? 2 3 3
令 An ? 3 1 ? 5

1 ? (2n ? 1)( )n?2 ] , 3

1 1 ? 7 ( )2 ? 3 3

1 ? (2n ? 1) ( )n?2 3 1 1 ? (2n ? 3)( )n?2 ? (2n ? 1)( )n?1 3 3 1 1 ? ( )n?2 ] ? (2n ? 1) ( )n?1 3 3

1 1 1 1 An ? 3 ? 5 ( )2 ? 7 ( )3 ? 3 3 3 3 2 1 1 1 An ? 3 1 ? 2[ ? ( )2 ? ( )3 ? 3 3 3 3

1 1 [1 ? ( )n ? 2 ] 1 3 ?3? 2 3 ? (2n ? 1) ( )n ?1 1 3 1? 3
3 1 3 1 ∴ An ? 6 ? ( )n?2 ? (2n ? 1)( )n?1 2 3 2 3 3 1 3 1 ∴ Tn ? 5 ? ( )n?2 ? (2n ? 1) ( )n?1 ? 5 .……………………………….12 分 4 3 4 3


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