nbhkdz.com冰点文库

高中数学 (2.3.4 平面与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2


2.3.4

平面与平面垂直的性质
整体设计

教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系中, 垂直是一种非常重要的位置关系, 它不仅应用较 多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点: (1)它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先 由面面垂直转化为线面垂直

,否则无法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中 最重要的定理. 三维目标 1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点 教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 复习 (1)面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为: 两个平面垂直的判定定理图形表述为:

AB ? ? ? ? ? α ⊥β . AB ? ? ?

图1 导入新课 思路 1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 思路 2.(事例导入) 如图 2,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,平面 A′ADD′与平面 ABCD 垂直,直线 A′A 垂直于 其交线 AD.平面 A′ADD′内的直线 A′A 与平面 ABCD 垂直吗?

1

图2 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 3,若 α ⊥β ,α ∩β =CD,AB ? α ,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线 AB 与平面 β 的位置关系.

图3 ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明. ③设平面 α ⊥平面 β ,点 P∈α ,P∈a,a⊥β ,请同学们讨论直线 a 与平面 α 的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β 的关系. 问题②引导学生进行语言转换. 问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 α 的关系. 问题④引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果:①通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β 垂直,如图 3. ②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为: 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为:如图 4.

图4

? ? AB ? ? ? ? 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为: ? ? ? ? CD ? ? AB⊥β . ? AB ? CD ? AB ? CD ? B ? ?
两个平面垂直的性质定理证明过程如下:

? ??

图5 如图 5,已知 α ⊥β ,α ∩β =a,AB ? α ,AB⊥a 于 B. 求证:AB⊥β .
2

证明:在平面 β 内作 BE⊥CD 垂足为 B,则∠ABE 就是二面角 α CDβ 的平面角. 由 α ⊥β ,可知 AB⊥BE.又 AB⊥CD,BE 与 CD 是 β 内两条相交直线,∴AB⊥β . ③问题③也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为: 求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在 第一个平面内.下面给出证明. 如图 6,已知 α ⊥β ,P∈α ,P∈a,a⊥β .求证:a ? α .

图6 证明:设 α ∩β =c,过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c, ∵α ⊥β ,∴b⊥β .而 a⊥β ,P∈a, ∵经过一点只能有一条直线与平面 β 垂直,∴直线 a 应与直线 b 重合.那么 a ? α . 利用“同一法”证明问题, 主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数 学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线 b,不易想到,二是证明直线 b 和直 线 a 重合,相对容易些.点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可 以不在交线上. ④我认为立体几何的核心是: 直线与平面垂直, 因为立体几何的几乎所有问题都是围绕 它展开的, 例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁, 而且由它还可以转化为线线 平行,即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮 我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理. ⑤应用面面垂直的性质定理口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂 线”. 应用示例 思路 1 例 1 如图 7,已知 α ⊥β ,a⊥β ,a ? α ,试判断直线 a 与平面 α 的位置关系.

图7 解:在 α 内作垂直于 α 与 β 交线的垂线 b, ∵α ⊥β , ∴b⊥β . ∵a⊥β , ∴a∥b. ∵a ? α , ∴a∥α . 变式训练 如图 8,已知平面 α 交平面 β 于直线 a.α 、β 同垂直于平面 γ ,又同平行于直线 b. 求证:(1)a⊥γ ;(2)b⊥γ .

3

图8

图9

证明:如图 9, (1)设 α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在 γ 内任取一点 P 并在 γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥AC. ∵γ ⊥α ,∴PM⊥α .而 a ? α ,∴PM⊥a. 同理,PN⊥a.又 PM ? γ ,PN ? γ ,∴a⊥γ . (2)在 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交 α 于直线 a1,交 β 于直线 a2.∵b∥α ,∴b∥a1. 同理,b∥a2. ∵a1、a2 同过 Q 且平行于 b,∴a1、a2 重合. 又 a1 ? α ,a2 ? β ,∴a1、a2 都是 α 、β 的交线,即都重合于 a. ∵b∥a1,∴b∥a.而 a⊥γ ,∴b⊥γ . 点评: 面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直, 见到面面垂直首先考虑利用 性质定理,其口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”. 例 2 如图 10,四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD.

图 10

图 11

(1)证明侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离. (1)证明:在矩形 ABCD 中,BC⊥AB, 又∵面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴BC⊥侧面 PAB. 又∵BC ? 侧面 PBC,∴侧面 PAB⊥侧面 PBC. (2)解:如图 11,取 AB 中点 E,连接 PE、CE,又∵△PAB 是等边三角形,∴PE⊥AB. 又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,∴PE⊥面 ABCD. ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角. PE=

3 2 2 BA= 3 ,CE= BE ? BC = 3 , 2

在 Rt△PEC 中,∠PCE=45°为所求. (3)解:在矩形 ABCD 中,AB∥CD, ∵CD ? 侧面 PCD,AB ? 侧面 PCD,∴AB∥侧面 PCD. 取 CD 中点 F,连接 EF、PF,则 EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面 PEF.又∵AB∥CD,

4

∴CD⊥平面 PEF.∴平面 PCD⊥平面 PEF. 作 EG⊥PF,垂足为 G,则 EG⊥平面 PCD. 在 Rt△PEF 中,EG=

PE ? EC 30 ? 为所求. PF 5

变式训练 如图 12, 斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a, 侧棱与底面成 60°角, 侧面 BCC1B1⊥面 ABC. 求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角的大小.

图 12 活动:请同学考虑面 BB1C1C⊥面 ABC 及棱长相等两个条件,师生共同完成表述过程,并作出 相应辅助线. 解:∵面 ABC∥面 A1B1C1,则面 BB1C1C∩面 ABC=BC, 面 BB1C1C∩面 A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1,则 B1C1∥面 ABC. 设所求两面交线为 AE,即二面角的棱为 AE, 则 B1C1∥AE,即 BC∥AE. 过 C1 作 C1D⊥BC 于 D,∵面 BB1C1C⊥面 ABC, ∴C1D⊥面 ABC,C1D⊥BC. 又∠C1CD=60°,CC1=a,故 CD=

a ,即 D 为 BC 的中点. 2

又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD. 那么有 BC⊥面 DAC1,即 AE⊥面 DAC1. 故 AE⊥AD,AE⊥AC1, ∠C1AD 就是所求二面角的平面角. ∵C1D=

3 3 a,AD= a,C1D⊥AD,故∠C1AD=45°. 2 2

点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键. 思路 2 例 1 如图 13,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置,使 CD=AC,

图 13 (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC; (2)求二面角 CBDA 的余弦值. (1)证明:(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO⊥平面 ABC,O 为垂足,则 OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心,即 AB 的中点.

5

∴O∈AB,即 O∈平面 ABD. ∴OD ? 平面 ABD.∴平面 ABD⊥平面 ABC. (证法二):取 AB 中点 O,连接 OD、OC, 则有 OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD 是二面角 CABD 的平面角. 设 AC=a,则 OC=OD=

2 a, 2

又 CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形,即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角,即平面 ABD⊥平面 ABC. (2)解:取 BD 的中点 E,连接 CE、OE、OC,∵△BCD 为正三角形,∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同(1)可证 OC⊥平面 ABD,∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设 BC=a,则 CE=

3 OE 3 1 ? a,OE= a,∴cos∠OEC= 即为所求. 2 CE 3 2

变式训练 如图 14,在矩形 ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线 BD 把△BCD 折起,使 C 移到 C′,且 C′在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.

图 14 (1)求证:AC′⊥BC′; (2)求 AB 与平面 BC′D 所成的角的正弦值; (3)求二面角 C′BDA 的正切值. (1)证明:由题意,知 C′O⊥面 ABD,∵C′O ? ABC′, ∴面 ABC′⊥面 ABD. 又∵AD⊥AB,面 ABC′∩面 ABD=AB,∴AD⊥面 ABC′.∴AD⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面 AC′D.∴BC′⊥AC′. (2)解:∵BC′⊥面 AC′D,BC′ ? 面 BC′D,∴面 AC′D⊥面 BC′D. 作 AH⊥C′D 于 H,则 AH⊥面 BC′D,连接 BH,则 BH 为 AB 在面 BC′D 上的射影, ∴∠ABH 为 AB 与面 BC′D 所成的角. 又在 Rt△AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3 2 .∴AH= 6 .

∴sin∠ABH=

AH 2 2 ? ,即 AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值为 . AB 3 3

(3)解:过 O 作 OG⊥BD 于 G,连接 C′G,则 C′G⊥BD,则∠C′GO 为二面角 C′BDA 的平面角. 在 Rt△AC′B 中,C′O=

AC '? BC ' ? 6, AB
BC '?C ' D 3 3 ? . BD 2
6

在 Rt△BC′D 中,C′G=

∴OG= C ?G ? C ? =
2 2

3 C'O .∴tan∠C′GO= ?2 2, 2 OG

即二面角 C′BDA 的正切值为 2 2 . 点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平 面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了. 例 2 如图 15,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30° 角,求二面角 BB1CA 的正弦值.

图 15 活动:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面 到另一个半平面的垂线. 解:由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1,过 A 作 AN⊥平面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN⊥ 平面 BCC1B1(AN 即为我们要找的垂线),在平面 BCB1 内过 N 作 NQ⊥棱 B1C,垂足为 Q,连接 QA,则∠NQA 即为二面角的平面角. ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA⊥AB, ∴CA⊥B1A.AB=BB1=1,得 AB1= 2 . ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°,B1C=2. 在 Rt△B1AC 中,由勾股定理,得 AC= 2 .∴AQ=1. 在 Rt△BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN=

6 . 3

sin∠AQN=

6 AN = , AQ 3 6 . 3

即二面角 BB1CA 的正弦值为 变式训练

如图 16,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2 ,M 为 BC 的中点. (1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 PAMD 的大小.

7

图 16 图 17 (1)证明:如图 17,取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA, ∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3 . ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,∴PE⊥平面 ABCD. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得 EM= 3 ,AM= 6 ,AE=3, ∴EM +AM =AE .∴AM⊥EM. 又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 PAMD 的平面角. ∴tan∠PME=
2 2 2

PE ? EM

3 3

=1.∴∠PME=45°.

∴二面角 PAMD 为 45°. 知能训练 课本本节练习. 拓展提升 (2007 全国高考,理 18)如图 18,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角 形,∠BAC=90°,O 为 BC 中点. (1)证明 SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 ASCB 的余弦值.

图 18 图 19 (1) 证明:如图 19, 由题设 , 知 AB=AC=SB=SC=SA. 连接 OA,△ABC 为等腰直角三角形 , 所以 OA=OB=OC=
2

2 2 SA,且 AO⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故 SO⊥BC,且 SO= SA. 2 2
2 2

从而 OA +SO =SA .所以△SOA 为直角三角形,SO⊥AO. 又 AO∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC. (2)解:如图 19,取 SC 中点 M,连接 AM、OM,

8

由(1),知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA 为二面角 ASCB 的平面角. 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得 AO⊥平面 SBC. 所以 AO⊥OM.又 AM=

3 SA,故 2
2 3 ? 6 . 3

sin∠AMO=

AO ? AM

所以二面角 ASCB 的余弦值为

3 . 3

课堂小结 知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. 作业 课本习题 2.3 B 组 3、4. 设计感想 线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带,尤其是线面垂直问题是立体几何的核 心, 一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线; 面面垂直的性质定理恰好 能解决这个问题,因此它是高考考查的重点,本节不仅选用了大量经典好题,还选用了大量 的 2007 高考模拟题以及最新 2007 全国各地高考真题, 相信能够帮助大家解决立体几何中的 重点难点问题.

9


高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2

高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2_数学_高中教育_...【教学重难点】 重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推 导。 难点:运用...

最新人教A版必修2高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质教案

最新人教A版必修2高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。备课人 课题 授课时间 §2、3.4 平面与平面垂直的性质 12.14 ...

高中数学 (2.3.4 平面与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2

高中数学 (2.3.4 平面与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计 教学分析 空间中...

2.3.4 平面与平面垂直的性质教案

2.3.4 平面与平面垂直的性质教案_数学_高中教育_教育专区。张喜林制 [ 2. 3.4 平面与平面垂直的性质 【教学目标】 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行...

人教A版数学必修二教案:§2.3.4平面与平面垂直的性质

人教A版数学必修二教案2.3.4平面与平面垂直的性质_数学_高中教育_教育专区。人教A版数学必修二教案§2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、教材分析 空间中平面...

高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质素材 新人教A版必修2

高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质素材 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。2 .4 自测自评 平行与垂直综合问题 1.已知直线 m,n 和平面 α,β ...

【金识源】高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2

【金识源】高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、教材分析 空间中平面与平面...

必修二数学教案 学案(全册)-2.3.4 平面与平面垂直的性质

必修二数学教案 学案(全册)-2.3.4 平面与平面垂直的性质_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 必修二数学教案 学案(全册)-2.3.4 平面与...

高中数学 2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案 新人教版A必修2

高中数学 2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案 新人教版A必修2_数学_高中教育_教育专区。高中平面与平面垂直的判定教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念, 能...