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三次函数专题(解析版)


三次函数专题
一、定义: 定义 1、形如 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的函数,称为“三次函数” (从函数解析式的结构上命名) 。
3 2

定义 2、三次函数的导数 y? ? 3ax ? 2bx ? c(a ? 0) ,把 ? ? 4b ? 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。
2

/>2

由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高 考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 图象与性质的探究:
3 2

1、单调性。 一般地,①当 ? ? 4b ? 12ac ? 0 时,三次函数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 上是单调函数;
2

3

2

②当 ? ? 4b ? 12ac ? 0 时,三次函数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 上有三个单调区间。
2

3

2

根据 a ? 0, a ? 0 两种不同情况进行分类讨论,令 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则:
2

a?0
导 函 数

a?0 ??0 ??0 ??0

??0

图 象
x1 x2

x

x0

x

x1

x2

x

x0

x

2、对称中心。 三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 是关于点对称,且对称中心为点 (?
3 2

b b , f (? )) ,此点的横坐标 3a 3a

是其导函数极值点的横坐标。 证明: 函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 关于点 (m, n) 对称的充要条件是 f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n ,
3 2

即: [a(m ? x) ? b(m ? x) ? c(m ? x) ? d ] ? [a(m ? x) ? b(m ? x) ? c(m ? x) ? d ] ? 2n ,整理得,
3 2 3 2

(6ma ? 2b) x 2 ? (2am3 ? 2bm 2 ? 2mc ? 2d ) ? 2n ,据多项式恒等对应系数相等,可得,
b b 3 2 且 n ? am ? bm ? mc ? d = f (m) ? f (? ) , 3a 3a b b , f (? )) . 从而三次函数是中心对称曲线,且对称中心是 (? 3a 3a m??
可见, y ? f ( x) 图象的对称中心在导函数 y ? f ?( x) 的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导 为零的点(拐点)。
1

由上又可得以下结论:

y ? f ( x) 是可导函数,
① 若 y ? f ( x) 的图象关于点 (m, n) 对称,则 y ? f ' ( x) 图象关于直线 x ? m 对称. ② 若 y ? f ( x) 图象关于直线 x ? m 对称,则 y ? f ' ( x) 图象关于点 (m,0) 对称. 这是因为:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 3、三次方程根的个数问题(或三次函数的图象与 x 轴交点个数) 。 (1)当△= 4b ? 12ac ? 0 时,由于不等式 f ?( x) ? 0 恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根。
2

y

y

O

x0

x

x0

O

x

(2)当△= 4b ? 12ac ? 0 时,由于方程 f ?( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则:
2

① 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即函数 y ? f ( x) 极大值点和极小值点在 x 轴同侧,图象均与 x 轴只有一个交点,所以原 方程有且只有一个实根。

y

y

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

② 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即函数 y ? f ( x) 极大值点与极小值点在 x 轴异侧,图象与 x 轴必有三个交点,所以原方 y y 程有三个不等实根。

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

③ 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 中有且只有一个值为 0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等。

y
x1
O

y
x2

x
x1
2
O

x2

x

4、奇偶性。 三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 当且仅当 b ? d ? 0 时是奇函数。
3 2

5、极值点问题。

若函数 f ( x) 在点 x0 的附近恒有 f ( x0 ) ? f ( x) (或 f ( x0 ) ? f ( x) ),则称函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大 值(或极小值) ,称点 x0 为极大值点(或极小值点) 。 当 ? ? 0 时,三次函数 y ? f ( x) 在 ?? ? , ? ?? 上的极值点有两个。 当 ? ? 0 时,三次函数 y ? f ( x) 在 ?? ? , ? ?? 上不存在极值点。
6、最值问题。

由函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的图像能够探究出在区间 [m, n] 的最大值与最小值: 函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , x ? ?m,n? ,若 x0 ? ?m,n?,且 f ?( x0 ) ? 0 ,则:
f max ( x) ? max? f (m),f ( x0 ),f (n)?; f min ( x) ? min? f (m),f ( x0 ),f (n)?。
8、三次函数切线问题。

①在 P?x0,y0 ? 处的切线求法 设点 P?x0,y0 ? 为三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 图象上任一点, 则在点 P 一定有直线与
y ? f ( x) 的图象相切,且只有一条。

k ? f ?( x0 ) ? 3ax0 ? 2bx0 ? c ,切线方程为: y ? y 0 ? (3ax0 ? 2bx0 ? c)( x ? x0 )
2 2

②过 P?x0,y0 ? 处的切线求法

设点 P?x0,y0 ? 为三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 图象上任一点, 则在点 P 一定有直线与
y ? f ( x) 的图象相切。
2 过 P 点作 y ? f ( x) 图象的切线,设切点为 Q?x1,y1 ? ,则切线的斜率 k ? f ?( x1 ) ? 3ax1 ? 2bx1 ? c ,

2 切线方程为: y ? y1? (3ax1 ? 2bx1 ? c)( x ? x1 ) ,将点 P?x0,y0 ? 代入,得 y0 ? y1? (3ax1 ? 2bx1 ? c)( x0 ? x1 ) ,

2

y0 ? ax1 ? bx1 ? cx1 ? d ? 3ax1 ? 2bx1 ? c ?x0 ? x1 ? ,将 x1 求解出来即可.
3 2 2

?

? ?

?

3

9、三次函数解析式的常见形式。 (1)一般形式: f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0)
3 2

(2)已知函数的对称中心为 (m, n) ,则 f ( x) ? A( x ? m) 3 ? B( x ? m) ? n(a ? 0) (3)已知函数图象与 x 轴的三个交点的横坐标 ?、?、? ?? ? ? ? ? ? ,则

f ( x) ? a( x ? ? )( x ? ? )( x ? ? )(a ? 0)
(4)已知函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标 x 0 ,则 f ( x) ? ( x ? x0 )(ax ? mx ? n)(a ? 0) 三、例题讲解: 例 1、已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1 。
3 2

2

(Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 f ( x) 在区间 ?2 , 3? 中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

解:

①式无解,②式的解为

5 5 ? 5 5? ? a ? ,因此 a 的取值范围是 ? , ? . 4 3 ? 4 3?

4

2 ?2? ?2? C 为常数) 例 2、 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C(其中 f ' ? ? 为 f ( x) 在点 x ? 处的导数, . 3 ?3? ?3?

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且只有两个不等的实数根,求常数 C ; (3)在(2)的条件下,若 f ? ? ? ? 0 ,求函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积. 解: (1)由 f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C ,得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 f ' ? ? x ? 1 . 取x?
2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ,得 f ' ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 f ' ? ? ? ? ? ? 1 ,解之,得 f ' ? ? ? ?1 , 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3?
2

? 1? ? 3?

?2? ?3?

?2? ?3?

∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? C . 从而 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3? x ? ??x ? 1? , 列表如下:
x

? ?

1? 3?

1 (?? , ? ) 3

?

1 3

1 (? , 1) 3

1 0 有极小值

(1 , ? ?)

f ' ( x) f ( x)

+ ↗
1 3

0 有极大值

- ↘

+ ↗
1 3

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (?? , ? ) 和 (1 , ? ?) ; f ( x) 的单调递减区间是 (? , 1) . (2)由(1)知, [ f ( x)]极大值
5 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? f ?? ? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?C ? ?C ; 27 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
3 2

[ f ( x)]极小值 ? f (1) ? 13 ? 12 ? 1 ? C ? ?1 ? C .

∴方程 f ( x) ? 0 有且只有两个不等的实数根,等价于 [ f ( x)]极大值 ? 0 或 [ f ( x)]极小值 ? 0 . ∴常数 C ? ?
5 或 C ?1 . 27 5 或 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1. 27

(3)由(2)知, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ?
? 1? ? 3?

而 f ? ? ? ? 0 ,所以 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1. 令 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 ,得 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? 0 , x1 ? ?1 , x 2 ? 1 . ∴所求封闭图形的面积 ? ?
例 3、已知函数 f ( x) ?
1 ?1

?x

3

4 1 1 ?1 ? ? x 2 ? x ? 1 dx ? ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? ? . 4 3 2 ? ? ?1 3

?

1

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 有极值. 3 2 (Ⅰ)求 c 的取值范围;

(Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,且当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 2 d ? 2d 恒成立,求 d 的取值范围. 6

1 1 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x3 ? x 2 ? cx ? d ,∴ f ?( x) ? x2 ? x ? c , 3 2

要使 f ( x) 有极值,则方程 f ?( x) ? x 2 ? x ? c ? 0 有两个实数解,从而△= 1 ? 4c ? 0 ,∴ c ?
5

1 . 4

(Ⅱ)∵ f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,∴ f ?(2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,∴ c ? ?2 . 1 1 ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? d , 3 2 2 ∵ f ?( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) ,∴当 x ? (??, ?1] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递增,
7 当 x ? (?1, 2] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递减.∴ x ? 0 时, f ( x) 在 x ? ?1 处取得最大值 ? d , 6 1 7 1 ∵ x ? 0 时, f ( x) ? d 2 ? 2d 恒成立,∴ ? d ? d 2 ? 2d ,即 (d ? 7)(d ?1) ? 0 , 6 6 6

∴ d ? ?7 或 d ? 1 ,即 d 的取值范围是 (??, ?7) (1, ??) .
例 4、设函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ?a,b,c,d ? R,a ? 0? , 其中 f ?0? ? 3 , f ?( x) 是 f ( x) 的导函数.
3 2

(1)若 f ?(?1) ? f ?(3) ? ?36 , f ?(5) ? 0 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 c ? ?6 ,函数 f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 满足 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 . 设 ? ? a ? b ? 6a ? 2b ? 10 , 试求
2 2

实数 ? 的取值范围.

解: (Ⅰ)据题意 , 由 又 设 知, , 故 ,将 是二次函数 是方程 代入得 比较系数得 : 故 另解: , 为所求 . 图象的对称轴 的两根 .

据题意得 故 (Ⅱ)据题意 , 为所求 . ,则

解得



是方程

的两根 ,且
6

则 则点 的可行区域如图

的几何意义为点 P

与点

的距离的平方 .观察图形知点, A 到直线

的距离的平方

为 的最小值

故 的取值范围是

三次函数作业
1、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ??x ? 的图象如图所示,则 y ? f ?x ? 的图象最有可能是(


解:根据图象特征,不妨设 f(x)是三次函数。则 ① ;

的图象给出了如下信息:

②导方程两根是 0,2,(f(x)对称中心的横坐标是 1); ③在(0,2)上 ;在(- ,0)或(2, )上 。

由①和性质 1 可排除 B、D;由③和性质 1 确定选 C。 2、函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是(
3



A. 1,-1

B. 1,-17

C. 3,-17
7

D. 9,-19

解:函数的导方程是

,两根为 1 和-1,由性质 2 得: , 。

故选 C。

0? 的切线方程。 3、已知函数 y ? x 3 ? x ,求过点 A?1,
2 解: f ? ? x ? ? 3x ? 1 ,

若 A 是切点,则切线方程为 y ? 0 ? 2 ? x ? 1? ? y ? 2 x ? 2
3 3 2 若 A 不 是 切 点 , 设 切 点 为 ? t , t ? t ? , 则 切 线 方 程 为 y ? ?t ? t ? ? ?3t ? 1? ? x ? t ? , 将 A ?1 , ?0 代 入 得

2t 3 ? 3t 2 ? 1 ? 0 ? t 3 2 ? t2 2 ? t2

t? ? ? 1 ??
2

? 1

?

? 1 3? t ? 2 ,所以切点为 ? 1 ? 0 ? ? , ? ,则切线方程为 x ? 4 y ? 1 ? 0 。 ? 2 8?

1 a 4、设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? bx ? c ,其中 a ? 0 ,曲线 y ? f ( x) 在点 P?0,f (0)? 处的切线方程为 y ? 1 3 2

?I ? 确定 b 、 c 的值。 ?II ? 设 曲 线
y ? f ( x) 在 点 ?x1,f ?x1 ?? 及 ?x2,f ?x2 ?? 处 的 切 线 都 过 点 ?0 , 2? 证 明 : 当 x1 ? x2 时 ,

f ?( x1 ) ? f ?( x2 )

?III ? 若过点 ?0 , 2? 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线,求 a 的取值范围。

8

9

1 5、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

?1? 试用含 a 的代数式表示 b ,并求 f ( x) 的单调区间; ?2? 令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值, 记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N ( x2 , f ( x2 ) ),P ( m, f (m) ),
x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:

?I ? 若对任意的 m ? ?x1,x2 ? ,线段 MP 与曲线 f ( x) 均有异于 M , P 的公共点,试确定 t 的最小值,并
证明你的结论;

?II ? 若存在点 Q?n,f ?n?? , x ? n ? m
取值范围(不必给出求解过程) 解:解法一:
(Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

Q 的公共点, ,使得线段 PQ 与曲线 f ( x) 有异于 P 、 请直接写出 m 的

1 3 2 从而 f ( x) ? x ? ax ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3

令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表: x

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

f '( x)
f ( x)

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。 ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 的单调增区间为 R ③当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 1 ? 2a ? ?1 同理可得, 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) .

10

(Ⅱ)由 a ? ?1 得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 令 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得 f ( x) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x) 在处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值, 故 M( ?1,

5 )N( 3, ?9 ) 。 3

观察 f ( x) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x) 在点 P 处切线的斜率 f ( x) 之差 k MP - f '(m) 的值 由正连续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 k MP - f '(m) 的 m 正负有着密切的关联; ③ k MP - f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 k MP - f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出证明 并确定的 t 最小值.曲线 f ( x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m2 ? 2m ? 3 ; 线段 MP 的斜率 k MP ?

m 2 ? 4m ? 5 3

当 k MP - f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 直线 MP 的方程为 y ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

令 g ( x) ? f ( x) ? (

m 2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m x? ) 3 3

当 m ? 2 时,g '( x) ? x 2 ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 , 可判断 f ( x) 函数在 (?1, 0) 上单调递增, 在 (0, 2) 上 单调递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f ( x) 没有异于 M,P 的公共 点。 当 m ? ? 2,3? 时, g (0) ? ?

m 2 ? 4m ? 0 . g (2) ? ?(m ? 2)2 ? 0 3

所以存在 m ? ? 0, 2? 使得 g (? ) ? 0 即当 m ? ? 2,3?时, MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点 综上,t 的最小值为 2.

3? 。 (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?2 ,

11

解法二: (1)同解法一. (2)由 a ? ?1 得 f ( x) ? ?

1 3 2 x ? x ? 3x ,令 f '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由 ( 1 ) 得 的 f ( x) 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单 调 减 区 间 为 (?1,3) , 所 以 函 数 在 处 取 得 极 值 。 故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3
m2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? . 3 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ?

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y ? x ? ? ? 3 3 由? 1 ? y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ?

得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0 线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.
因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 . 因此 , g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小值点 , 即
g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
??=36 ? 12 (m2 ? 4m ? 4)>0 ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?
??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3]. 6、设函数 f ( x) ? 6 x3 ? 3(a ? 2) x 2 ? 2ax . (1)若 f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

? 解: f ( x) ? 18x ? 6(a ? 2) x ? 2a
2

(1)由已知有

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0
2

,从而

x1 x2 ?
2

2a ?1 18 ,所以 a ? 9 ;

(2)由 ? ? 36(a ? 2) ? 4 ?18 ? 2a ? 36(a ? 4) ? 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x) 是 R 上的单调函数.

12

7、设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d ?a ? 0? ,且方程 f ?( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4。 3

(Ⅰ)当 a ? 3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 解:

3 8、已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 1?x ? R ? ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?2,f ?2?? 处的切线方程;
? 1 1? (Ⅱ)若在区间 ? ? , ? 上, f ?x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

3 2 3 解析: (Ⅰ) 解: 当 a ? 1 时,f ( x) ? x ? x ? 1 ,f (2) ? 3 ;f ?( x) ? 3x 2 ? 3x , f ?(2) ? 6 .所以曲线 y ? f ( x) 2

在点 ?2,f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ? 2) ,即 y ? 6 x ? 9 .
13

(Ⅱ)解: f ?( x) ? 3ax 2 ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 以下分两种情况讨论: 若 0 ? a ? 2 ,则

1 . a

1 1 ? ,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表: a 2
? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
0

x

? 1? ? 0, ? ? 2?

f ?( x) f ( x)

?

0 极大值

?

1 ?5 ? a ? ?0 f (? ) ? 0 ? ? ? ? 8 ? 1 1? 2 当 x ? ?? , ? 时, f ( x) ? 0 等价于 ? ,即 ? ,解不等式组得 ? 5 ? a ? 5 .因此 0 ? a ? 2 . ? 2 2? ? f (1) ? 0 ?5 ? a ? 0 ? ? ? 2 ? 8
若 a ? 2 ,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表: a 2
? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
?

x

0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 1? ? ,? ?a 2?

f ?( x) f ( x)

0 极大值

?

0 极小值

?

1 ?5 ? a ? ?0 f (? ) ? 0 ? ? 2 2 ? ? 8 ? 1 1? 2 当 x ? ?? , ? 时, f ( x) ? 0 等价于 ? 即? ,解不等式组得 .因此 ? a ? 5或a ? ? 2 2 ? 2 2? ? f (1) ? 0 ?1 ? 1 ? 0 ? ? 2a 2 ? a ?
,可知 a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . 2 ? a ? 5 .综合(1)和(2)

9、已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx (其中常数 a , b ? R ) , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数.
(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式;

2? 上的最大值与最小值. (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 ?1,
解:

14

10、已知在函数 f ( x) ? ?mx3 ? x 的图象上以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 (1)求 m、n 的值;

? , 4

(2)是否存在最小的正整数 k,使不等式 f ( x) ? k ? 1992 对于 x ? [?1,3] 恒成立?求出最小的正整 数 k,若不存在说明理由; (3)求证: | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ? 解: (1) f ( x) ? 3mx ? 1 ,
2

1 )( x ? R, t ? 0). 2t
2 0

2 1 f (1) ? tan ? 1,? m ? , n ? ? . 4 3 3

?

0

7

0

(2)令 f ( x) ? 2( x ?

2 2 2 , )( x ? ) ? 0, 则x ? ? 2 2 2
3 2 9

在[-1,3]中, x ? [?1,?

2 2 2 , ] 时, ]时, f ( x)? ? 0, f ( x) 在此区间为增函数 x ? [? 2 2 2

f ?( x) ? 0, f ( x) 在此区间为减函数.
15

f ( x)在x ? ?

2 处取得极大值. 2

x ?[

2 ,3]时 f ?( x) ? 0, f ( x) 在此区间为增函数, f ( x) 在 x=3 处取得极大值 2 2 )和 f (3) 的大小得: f ( x) max ? f (3) ? 15 2

比较 f (-

? f ( x) ? k ? 1992, k ? 2007, 即存在 k=2007

2 (3) | f (sin x) ? f (cos x) |?| (sin 3 x ? cos 3 x) ? (sin x ? cos x) | 3
? 1 2 2 ? 2 2 3 |s in x?cos x |3 ? |s in (x ? ) ? 3 3 4 3 1 1 2 1 1 2 1 2 2 ) ? 2(t ? )[ (t 2 ? 2 ) ? ] ? 2 2 ( ? ) ? 2t 2t 3 3 3 3 3 4t 1 2 2 ) ? 2 f ( 2) ? 2t 3

而 2 f (t ?

(也可由单调性: 2 f (t ?

? | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?

1 ) 2t

1 12、已知函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f (0)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 2 3
(Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 x ?1

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q ,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y ? g ( x) 围成两个封闭图形,则这两个封 闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。 解:

16

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