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三角函数图象的平移和伸缩20060905101932537


三角函数的图象及性质
函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? k 的图象与函数 y ? sin x 的图象之间可以通过变化 A ,?,?,k 来相互转化. A ,? 影响图象的形状,?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称 振幅变换,由 ? 引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由 ? 引起的变换称相位变换, 由 k 引起的变换称上下平移变换

,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩

? y ? sin x 的图象 ??????? 平移 ? 个单位长度
得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1
到原来的 (纵坐标不变 ) 横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

向左(? >0)或向右(? ? 0)

?

? 得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )
? 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度
得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象. 先伸缩后平移
向上 ( k ? 0) 或向下 ( k ? 0)

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

? y ? sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)

纵坐标伸长 ( A?1) 或缩短 (0 ? A?1)

? 得 y ? A sin x 的图象 ????????? 1
到原来的 (纵坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

?

得 y ? A sin(? x) 的图象

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移

?

个单位

? 得 y ? Asin(? x ? ? ) ? k 的图象. 得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度
π? ? 例 1 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? π? π ? 解: (方法一)①把 y ? sin x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得 y ? sin ? x ? ? 的 4? 4 ? π? 1 ? 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 ,得 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象;③将所得图象的 4? 2 ? π? ? 纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象;④最后把所得图象沿 y 轴向上平移 4? ? π? ? 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

向上 ( k ? 0) 或向下 ( k ? 0)

(方法二)①把 y ? sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin x 的图象;② 将所得图象的横坐标缩小到原来的
1 ,得 y ? 2sin 2x 的图象;③将所得图象沿 x 轴向左平移 2

π? π ? 个单位长度得 y ? 2sin 2 ? x ? ? 的图象;④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 8? 8 ? π? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

说明:无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y ? sin 2 x 的图象向左平移

π 个单位长 8

π? π? π? ? ? ? 度得到的函数图象的解析式是 y ? sin 2 ? x ? ? 而不是 y ? sin ? 2x ? ? ,把 y ? sin ? x ? ? 的 8? 8? 4? ? ? ? π? 1 ? 图 象 的 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 , 得 到 的 函 数 图 象 的 解 析 式 是 y ? sin ? 2 x ? ? 而 不 是 4? 2 ? π? ? y ? sin 2 ? x ? ? . 4? ? 对于复杂的变换,可引进参数求解. π? ? 例 2 将 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? ? 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. π? ?π ? ? 解: y ? sin 2 x ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? , 2? ?2 ? ? π? π? π? ? ? ? 在 y ? cos ? 2 x ? ? 中以 x ? a 代 x ,有 y ? cos ? 2( x ? a) ? ? ? cos ? 2 x ? 2a ? ? . 2 2 2? ? ? ? ? ? π π π 根据题意,有 2 x ? 2a ? ? 2 x ? ,得 a ? ? . 8 2 4 π? π ? 所以将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? 8 ?

二、三角函数的图象及性质
【基础自测】 1. 【07 全国Ⅱ】2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( C ) A. ( ?

? ?

? 3? , ) B. ( , ) 4 4 4 4

C. (? , )

3? 2

D. (

3? , 2? ) 2

2. (08 天津理)要得到 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 有的点的( .C)

2 sin(2 x ?

?
4

) 的图象上所

? 1 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 ? 1 B、横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4
A、横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 8 ? D、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 4
C、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 3. 函 数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的

部分图象如图,则( C ) A. ? ? C. ? ?

? ?
2

,? ? ,? ?

? ?
4

4

4

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

B. ? ?

?

?

3

,? ?

?

点拨与提示:根据图象得出函数的周期与振幅,再将(1,1)坐标代入即可. π 4. 函数 f(x)=sin(πx- )-1 的奇偶性为___偶函数_____ 2 π π 5.若函数 f(x)=cos(?x- )(?>0)的最小正周期为 ,则?=_ 10 6 5 6 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 值,则函数 y ? f (

?
4

处取得最小

3? ? x) 是( D ) 4

(A)偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 (B)偶函数且它的图象关于点 ( (C)奇函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 (D)奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 2 7.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 ? 5? ( D ) x ? [0, ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为 3 2 3 3 1 1 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 2
8.函数 y = -x· cosx 的部分图象是( D )

3? ,0) 对称 2

9.(08浙江理)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? 线y?

x 2

3? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直 2

1 的交点个数是___2___ 2

10.【07 安徽】函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ①图象 C 关于直线 x ?

? ) 的图象为 C , ?


y

11 ? 对称; 12 ? 5? ②函数 f ( x) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 12 12
③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 以上三个论断中,正确论断的个数是 A.0 B.1 【题例分析】

1
π O 2π 3 3 x

? 个单位长度可以得到图象 C . 3
( C ) C.2 D.3

例 1.已知函数 y=

3 1 cos2x+ sinxcosx+1, x∈R, 2 2 (I)当函数 y 取最大值时,求自变量 x 的集合; (II)该函数的图象可由 y=sinx (x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(I) y=

1 1 3 3 1 cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 2 4 2 4 4 1 5 1 5 3 ? ? = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 4 6 6 5 ? 1 = sin(2x+ )+ . 2 4 6 ? ? ? 函数 y 取最大值必须且只需 2x+ =2kπ + , k∈Z, 即 x=kπ + . 6 2 6 ? ∴自变量 x 的集合是{x| x=kπ + ,k∈Z} 6 (II) 把 y=sinx 的图象依次进行如下的变换: ? ? ① 把 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin(x+ )的图象; 6 6 ? 1 ② 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x+ ) 2 6 的图象; ? 1 1 ③ 再把图象是各点的纵坐标缩小到原来的 倍(横坐标不变), 得到函数 y= sin(2x+ ) 2 2 6 的图象 5 5 ? 1 ④ 最后把函数的图象向上平移 个单位,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图象。 2 4 4 6
例 2:设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?

8

.

(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上 的图像. 思路点拨: 正弦 y=sinx 的图象的对称轴为直线 x ? k? ? 横坐标即是使函数取得最值的 x 值. 解: (Ⅰ)? x ?

?
2

其对称轴与 x 轴交点的 (k ? Z ) ,

?
8

是函数y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin(2 ?

?
8

? ? ) ? ?1,

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

? ?? ? ? ? 0, ? ? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ?

3? 3? ,因此y ? sin(2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 4 2 3? ? 5? 所以函数 y ? sin(2 x ? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8

3? . 4

(Ⅲ)由 y ? sin(2 x ? x y
?

3? )知 4

0
2 2

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

[0, ? ]上图像是 故函数 y ? f ( x)在区间

点评:本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力. π 3.设函数 f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的最小正周期为 π,并且当 x= 时,有最大值 f 12 π ( )=4. 12 (1)求 a、b、ω 的值; (2)若角?、β 的终边不共线,f(?)=f(β)=0,求 tan(?+β)的值. 2π 解: (1)由 =π,ω>0 得 ω=2. ∴f(x)=asin2x+bcos2x.

?

? a2 ? b2 ? 4 ? ? π ?a ? 2, ?? 由 x= 时,f(x)的最大值为 4,得 ? a 3 12 ? ? ? ?b ? 2 3. b?4 2 ?2 π π π (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ), 依题意 4sin(2α+ )=4sin(2β+ )=0. 3 3 3 π π π ∴sin(2α+ )-sin(2β+ )=0. ∴cos(α+β+ )sin(α-β)=0 3 3 3 ∵α、β 的终边不共线,即 α-β≠kπ(k∈Z) , 故 sin(α-β)≠0.

3 π (k∈Z).∴tan(α+β)= . 3 6 4.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x) ,

∴α+β=kπ+

2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin(x ? 从而得 2k? ? x ?

?

?
4

4

) ? 0,

? 2k? ? ? ,

∴函数的定义域为 (2k? ?

?
4

, 2k? ?

5? ) k ?Z , 4

1 ) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,??) 。 4 2 3? 5? (2)单调递增区间是 [2k? ? , 2k? ? ) k ?Z 4 4 ? 3? 单调递减区间是 (2k? ? , 2k? ? ) k ?Z , 4 4
∵ 0 ? sin(x ? (3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2? ) ? log 1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )] ? f ( x)
2

?

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 【巩固练习】 1.(08 北京文、理)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin(? x ? 期为π . (1) 求ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0, 解: (Ⅰ) f ( x) ?

?
2

)(? ? 0) 的最小正周

2? ]上的取值范围 3

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x = sin ? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

= sin(2? x ?

?

1 )? . 6 2

因为函数 f(x)的最小正周期为π ,且ω >0,所以 解得ω =1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin(2 x ? 以?

2? ?? 2?

?

1 ? ≤ (2 x ? ) ≤1. 2 6

1 2? 1 ? 7? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ .所 ) ? . 因为 0≤x≤ 3 6 6 2 6 2

1 3 3 ≤ ,即 f(x)的取值范围为[0, ] 2 6 2 2 ? 1 2 2.(07 湖南)已知函数 f ( x) ? cos ( x ? ), g ( x) ? 1 ? sin 2 x 12 2
因此 0≤ sin(2 x ?

?

)?

(1) 设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值 (2) 求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π π ? kπ ,即 2 x0 ? kπ ? 6 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ? ( k ?Z ) . 所以 g ( x0 ) ? 1 ?

1 1 π sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4

1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4
1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1 1? ? π? ? 3 1? 3 1 π? 3 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? ?? . ? ? 2 2 2? ? 6? 2 2 3 ? ? 2 ? 2 2? ? ?

当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12
1 π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ? ? ?? ,值域 A= ? ?5,1? ,求常 ? 2? ?

函数 h( x) ?

故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ?

3..已知函数 f(x)=2a cos x ? 2 3 sinxcosx-a+b(a ? 0),定义域 D= ?0,
2

数 a、b 的值。 分析:此题是一个逆向问题,是一个“齐次式” ,降次后可“收成”一个三角式:

? ? 1 ? f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ? b ,当 0 ? x ? 时, ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,要对 a 进行分 6 2 2 6
类讨论,通过解方程组求出 a、b 的值(a=2,b=-3 或 a=-2,b=-1) 4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) , x ? R ,(其中 ? ? 0 )的图象与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6, 0) ,又 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (0) ? 0 ,求这个函数的解析式. 解: ? f (2? x)? f (2? x) ∴ f ( x) 关于

x?2 对称, 又 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6,0)
? n? ( ? 得) : 将 N (6,0) 代 入 f ( x )? s i 8

2? ? T ∴ 4 ? 6 ? 2 ? 4 , 即 T ? 16 ? ? ? T ? 8

? ? 2k? ? ? 或 ? ? 2k? ? 5? ( k?Z ) s i n3? ( ? ? ?) 得: 0 4 4 4

5? 5? ? f (0)?0 ∴ ? ? 2 k? ? 4 (k?Z), 满 足 条 件 的 最 小 正 数 ? ? 4 ∴ 所 求 解 析 式
f ( x ) ? sin( ? x ? 5? ) 8 4


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