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例谈-割补法-求空间几何体体积论文

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例谈”割补法”求空间几何体的体积 【摘要】 高中教材所学到的几何体, 大多都是比较特殊的几何体, 比如棱柱、棱锥等体积的求法,主要利用公式法或等体积换底面积 法就可以直接解决,但是在我们在平常做练习或高考当中,又经常 遇到一些难于直接计算的或是直接求,但过程非常复杂。如果能利 用”割”与”补”的方法来解决,就可以把一些不易直接计算的几 何体”分割”成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体,化难 为易,化繁为简,使思路清晰简单,这样就可以达到事半功倍的效 果。本文就通过具体的实例来谈谈如何利用”割补法”解决此类难 题。 【关键词】分割法 等体积变换底面法 补形法 高中教材所学到的几何体,大多都是比较特殊的几何体,比如棱 柱、棱锥等体积的求法,主要利用公式法或等体积换底面积法,就 可以直接解决,但是在我们在平常做练习或高考当中,又经常遇到 一些难于直接计算的或是直接求,但过程非常复杂的几何体。如果 能利用”割补法”来解决,把一些不易直接计算的几何体分解成几 个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体,化难为易,使复杂多变 的问题变得思路清晰简单,这样就可以达到事半功倍的效果。下面 就谈谈”割补法”解决难题具体做法。 一、分割法:就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于 计算的几何体,分别求出它们的体积,再将加,便得所求几何体的 体积。 例 1 如图, 在三棱锥 a-bcd 中, 若相对棱 ab⊥cd, ab=4, 且 cd=3, ef 是这两条异面直线 ab、 的公垂线, ef=6, cd 且 求该三棱锥 a-bcd 的体积. 分析:本题所给的条件,如果直接从正面利用公式直接去求是没 有办法的,但是从 ef 是这两条异面直线 ab、cd 的公垂线出发,易 知 ab⊥ef,ab⊥cd,ef∩cd=f,所以知道 ab⊥面 ecd,这样我们就 以⊿dce 为底面,高分别是 ae、be 的两个小的三棱锥 a-dce 和三棱 锥 b-dce 来计算就行,于是得下面的解答。 解:连结 ce、de ∵ef 为异面直线 ab 和 cd 的公垂线 ∴ef⊥ab ∵ab⊥cd ∴ab⊥面 ecd 在⊿dce 中,∵ef⊥cd ∴ 【方法提炼】本题利用”割”的思想将此三棱锥的体积转化为两 个同底的棱锥的体积之和,进而使本题简捷、巧妙获解。 例 2 如图,已知在正方体 abcd-a1b1c1d1 中,棱长为 a,m、n 分 别为 cc1、aa1 的中点,求四棱锥 a-mb1nd 的体积. 分析:由题目所给的条件,易知四边形 mb1nd 是菱形,但是点 a 到面 mb1nd 的距离难求, 如果我们把该棱锥分解成以⊿amn 为底面, d、b1 作为顶点的三棱锥,那么这些顶点到平面 amn 的距离为面的 对角线 bd 的一半, 解:连结 mn,∵a1b1=b1m=md=da1=,b1m//a1d ∴四边形 a1b1md 是菱形,ac=mn=bd= 又∵三棱锥 d-amn 与三棱锥 b1-amn 的高相等,且 ∵ 【方法提炼】本题体现的数学思想方法:①分割法:将此四棱锥 的体积转化为两个全等的三棱锥的体积之和;②等体积变换底面 法:分割后的三棱锥通过换底来求其体积。分割法是一种将复杂的 几何体分解成几个简单的几何体的方法,在应用时,要注意改变对 几何体的观察角度,寻找最佳的分割方法. 二、补形法:就是将一个难于直接计算的几何体补成一个易于计 算的几何体, 求出这个几何体的体积后, 再减去补上的部分的体积, 便得到所求几何体的体积. 例 3 如图,斜三棱柱的一个侧面 a

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