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2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 6.3《基本不等式》

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第六章 不等式、推理与证明 第 3讲 基本不等式 第六章 不等式、推理与证明 a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 a>0,b>0 . (1)基本不等式成立的条件:__________ a=b (2)等号成立的条件:当且仅当__________ 时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 a+b 2 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为__

________ ,几何 ab 平均数为__________ ,基本不等式可叙述为:两个正实数 的算术平均数不小于它们的几何平均数. 第六章 不等式、推理与证明 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 x= y (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当__________ 时,x+y 2 p 最小 有__________ 值是__________ .(简记:积定和最小) x=y (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当__________ 时,xy p2 最大 有__________ 值是__________ .(简记:和定积最大) 4 第六章 不等式、推理与证明 [做一做] 1.已知 a,b∈(0,+∞),若 ab=1,则 a+b 的最小值为 1 2 ________ ;若 a+b=1,则 ab 的最大值为________ . 4 解析:由基本不等式得 a+b≥2 ab=2,当且仅当 a=b=1 时 2 a + b 1 1 ? ? 取到等号;ab≤ ? 2 ? =4,当且仅当 a=b=2时取到等号. 第六章 不等式、推理与证明 1.辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值, “一正,二定、三相等”三个 条件缺一不可; (2) 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件 一致. 2.活用几个重要的不等式 b a 2 2 a +b ≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b 2 2 2 2 a + b a + b a + b ? (a,b∈R);? ?≤ ab≤? (a,b∈R). 2 ? 2 ? ? 2 ? 第六章 不等式、推理与证明 3.巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等 技巧, 使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 第六章 不等式、推理与证明 [做一做] a+b 2.“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( A ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 5 3.若 x>1,则 x+ 的最小值为________ . x-1 4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 第六章 不等式、推理与证明 考点一 考点二 考点三 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式解决实际问题 第六章 不等式、推理与证明 考点一 利用基本不等式证明不等式 已知 a>0,b>0,a+b=1, 1?? 1? ? 求证:?1+a??1+b?≥9. [证明] 法一:∵a>0,b>0,a+b=1, a+b b a 1 1 ∴1+ =1+ =2+ .同理,1+ =2+ . a a a b b 1?? 1? ? b?? a? ? ∴?1+a??1+b?=?2+a??2+b? b a? b a ? = 5+ 2?a+b?≥ 5+ 4= 9,当且仅当 = ,即 a= b 时取 a b “=”. 1?? 1? 1

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