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【获奖公开课课件】人教版高中数学选修2-2:3.1.1数系的扩充和复数的概念


3.1.1数系的扩充和复数的概念 知识回顾 数的概念是从实践中产生 和发展起来的。随着生产和 科学的发展,数的概念也不 断的被扩大充实 从小学到现在,大家都依次学过哪些数集呢? 自然数集 整数集 有理数集 实数集 我们可以用下面一组方程来形象的说明 数系的发展变化过程: (1)在自然数集中求方程 x+1=0的解? (2)在整数集中求方程 2x-1=0的解? (

3)在有理数集中求方程 x2-2=0的解? (4)在实数集中求方程 x2+1=0的解? R Q Z N 自然数集 整数集 有理数集 实数集 知识引入 我们已经知道: 对于一元二次方程 2 x ? 1 ? 0 没有实数根. 2 x ? ?1 思考? 我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢? 引入一个新数: i 满足 i ? ?1 2 现在我们就引入这样一个数 i ,并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C表示 . 讲解新课 1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 实部 练一 练 虚部 其中 i 称为虚数单位。 说出下列复数的实部和虚部 0, 2 1 , -2+ i , 2 3 2 ? i , ? 3i , i 2.复数的分类: ? 实数 b ? 0 ? 复数z ? a ? bi ? ? 0, ?0 a b 纯虚数 ? ? (a, b ? R) ? 虚数 b ? 0 ? b?0 ? 非纯虚数 a ? 0, R? C ? 讨论? 虚数集 复数集 实数集 纯虚数集 复数集C和实数集R之间有什么关系? 整数集 有理数集 实数集 复数集 自然数集 3.规定:如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等. 若a, b, c, d ? R, ?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0 2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小. 注:1) 1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部. 2 ? 7, 0.618, i , 2 i 1? 3 , ? ? 2 i, 7 0 5i ? 8 3 ? 9 2i, 2、判断下列命题是否正确: (1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数 例题讲解 例1.实数 m 取什么数值时,复数z=m +1+(m-1)i是: (1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数? 解:复数z=m+1+(m-1)i 中,因为m∈R,所以m+1, m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部, ∴(1)m=1时,z是实数; (2)m≠1时,z是虚数; ?m ? 1 ? 0 (3)当 ? 时,即m=-1时,z是纯虚数; ?m ? 1 ? 0 练习:当m为何实数时,复数 Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 2 2 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y

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