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2007年全国高中数学联赛加试题解答集锦


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灭  

胁 J 

2 0 年第1 期( 中 ) 、 07 2 高  

陕西 省数 学竞赛 委 员会  刘康 宁  陕 西 省西 安 市 铁一 中
( 本题 满 分 5 0分 ) 图 1 在 锐 角 AAB 中 , 如 , C   AB %AC, AD 是 边 B 上 的 高 , 是 线 段 AD 内 一  C P 点 . P作 P 过 E上AC, 足 为 E, PF上AB, 足 为  垂 作 垂 F O10 . 、 2分 别 是 / B X DF、 DE 的 外 心 . 证 : 1  △C 求 O、 0 、 F 四 点 共 圆 的 充 要 条 件 为 P 是 / AB 的  2 E、 X C


陈孝庚 



段 DC 上 , B D— BD. 且    

连结 AB 、 B ,   P   由对 称性 , 有  AB P一  AB .   P  从 而  AB P一  AC 所 以 A、 B 、 四 点    P, P、   C
共 圆.   由此 可 知 , P     B B一  P AC=9 。 O 一  AC . B 
。  PB C 一  PB  , . . B  
’ . . 

垂 心.   基 本 证 法 : 图 1 连 结  如 ,
BP、 CP、   、 E、 01 02 EF、 02 F01 .  

PBC+   A C   I B

一 ( 0 一  ACB) 9。 +  A C B一 9 。 O.  

’ PD LBC, : PFLAB,  

.B、 P、 四点 共 圆 , . D、 F . 且  B P为该 圆 的直径.   B   D   B ? C     又 。01 X DF 的外 心 , . 是/ B ‘   图1   . l BP上 , 0 是 B 的 中点 . - 在 o 且 1 P   同理可证 , D、 E 四点 共 圆 , O 是 该 圆直  C、 P、 且 2 径 C 的 中点 . P   从 而 01 2 BC 于是  P0 0 一  PC .   / 0 / . 2  B 


BP上AC 从而 B、 E三点 共线 . . P、   又点 P 在 边 B 的高 AD 上 , 以 P是 / AB   C 所 X C 的垂 心.   综上 所述 , 、 2 E、 四点 共 圆 的充 要 条 件 为  O1 O 、 F
’ . .

P 是 △ AB 的 垂 心 . C  

本 题 中充 分性 的证 明较 容易 , 面再 给 出必 要 性  下
的两 种证 法.   别 证 1 若 0 、 2 E、 四 点 共 圆 , : 1O 、 F 则  01 2     E O
+  EF — 1 0 . D1 8 。  





’ F ?A B — A P ?A D — A E ?A C . A  


B、 、 F 四点 共 圆. C E、   充分性 : P 是 / AB 的垂 心 , 若 X C 由于 P E上AC,   PF 上A 所 以 B、 、 E 四点共 线 , 0 、 F 四  B, 0  P、 C、   P、




‘ 、 2 别 是 BP、 P 的 中点 , B、 E、   O1 0 分 C 且 C、 F 四点共 圆 ,  
. ’ . . 



01 E 一  P02   O2 01+  P02 一  PC E B 
EF01— 1 0 8 。一  AFE 一  O1 FB 一 1 0   8。 AC   B

点共线 .  
从 而  F 2 1 0 0 一  FC B一  F B一  F   E EO .  

+ 2 ACP一  ACB+  ACP ,    
A CB 一  A B P.  
‘ . .

故 010 、 F 四点 共 圆. 、 2E、   必 要性 : 0 0 、 F 四点共 圆 , 若 、 2 E、 则 
01 E+  EFO1 1 0 .   0  — 8。  



 

( ACB +   

ACP ) +

(1 0 一  8 。



 

ABP) 1 0 , 一 8 。  

注 意 到  P   1   PC =  AC 02 一 O B- B一  AC 又  P, 因为 0 是 RtX E 2 / C P斜 边 C 的 中点 , P 也就 是/ C P X E   的外 心 , 以 P 2 所   0 E一2 AC .   P 

即  ABP一  ACP.  
’ .

’ PO1     F一 2 ABP, P02     E  2 ACP,    

’ . . 

PO1 F一  P02   E.

.O . 1是 R / BF 斜 边 B 的 中 点 , 就 是  ’ tX P P 也 △B FP的外 心 ,  


又 △O1 F和△  P P E均为 等腰 三角 形 ,  
? . .

- PF0l 9 。 .   一 O 一  BFO1 9 。 — O 一  ABP.  

/ ̄c 0E. 篇. XP- 2 筹一   OF/ P , o X
E02 , F  01   EO2

’ C、 F 四点共 圆 , B、 E、  
.  A FE=  ACB, PFE一 9 一  ACB. . .   O。  

如 图 2 连 结 O1 O2 由  , E、   F, O1 、O2 、E、F 四 点 共 圆 ,有 
E01 一  F
一  

于是 , 由  O1 2   E+  E O1 8 。得  O F —1 0 ,
( ACB一  A C ) 2 ACP + ( 0 一  ABP)   P +   9。   + ( 0 ~  A C 一 1 0 , 9。 B) 8 。  

0 F . 从 而  1 02

P 1     OE
B   D  C  

一  PO2   PEO1   F, =  PFO2 .  

即  ABP=  ACP.   又 AB< AC, AD上 BC,.BD< CD. . .  

于 是 , PO  △  1 E∽ / P 2   X 0 F,

图2  

设 B 是点 B 关 于 直线 AD 的 对称 点 , B 在 线    则  

或 O1P、 、 E且 0 、 F分 别三 点共线 .   P、   若 O1 P、 且 0  P、 分 别 三 点 共 线 , BE 、 E 、 F 则  

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上AC, F C 上AB, P是△ABC的垂 心. 故  

 ̄AP 1(△P 2 ,l 0E   oF ~ 8 0


1'

P 一而E P

. 

又 

一 

, 以 丽E一面F 所 , P P  

P E PF. 而 ,    



由 P、 A、 四点 共 圆 , E、 F 有  P AB: P ; : AC, 与    这
AB<AC矛 盾 .  

故 当 o 、 2 E、 四 点 共 圆 时 , 为 △ A 10 、 F P BC 的 
垂 心.  

别 证 2 若 o 、 2 E、 四 点 共 圆 , : 10 、 F 由别 证 1 得  ,
A B P 一   A CP.  

. 



‘ PF上 AB, PE上 AC,  
P B  P F 

. △ BFP∽ △ C . . EP,  


” PC  PE ’  

点 , 使得  AC 且 P=  B Q, B C   AQ=  C . 明 : AP 证   DE F一9 。 0的充 分必 要条件 为 Q是△ B DF的垂 心.   二 、本 题 满分 5 ( 0分 ) 图  如 5在 7 , ×8的长 方形 棋 盘 的每 个  小 方格 的 中心点 各 放一 个 棋 子.   如果 两 个 棋 子 所 在 的小 方 格 共  边 或共 顶点 , 么称 这两 个 棋 子  那 相 连. 从 这 5 现 6个 棋 子 中取 出  些 , 得棋盘上剩 下的棋子 , 使   没有 五个 在一 条直线 ( 、 、 方 向) 横 竖 斜 上依 次 相连 . 问  最少 取 出多少 个棋 子才 可能满 足要 求? 并说 明理 由.   基本 解法 : 最少 要 取 出 1 个 棋 子 , 可 能满足 要  1 才 求, 其原 因如下 :   如果一 个 方格在 第 i 行第  列 , 记 这 个 方格 为  则


(  )  , .  

如 图 3 设  ABP一  AC   , P
= 0  PAB一 口  PAC一 口 0 口   , , (、、
PB sn i   PCB sn ( i C一 )   PC sn   i   PBC  s n ( - 0 。 i B- ) 


图3  

p均为 锐角 ) 在 AP , BC中 , 由正 弦定理 , 得 




PF  APs n a sn 口 i   i  

PE AP snP sn 8    i    i  ’




sn ( i C一 ) sn 口   i   sn ( 一 ) sn 口’ i B   i  

即 sn a i B一  一sn i  C一 ) i sn( ) i  nB( .  

两边 分别 积化 和差 , 整理 得 
c s a B一 ) C S 口~ B+  ) C S  + C一 ) o( + 一 O ( 一 O (  

~ c s p C+  , o(- ) 
‘ . ‘

c s 口 B 一 )一 C S 9 。 o (+ O ( 0 一 ), O ( C S  + C一 )   ~ 

第 一 步 证 明若 任 取 1 0个 棋 子 , 余 下 的棋 子 必  则 有 一个 五子 连珠 , 五个 棋 子 在 一 条 直 线 ( 、 、 即 横 竖 斜  方 向) 上依次 相连 . 反证法 . 设 可取 出 1 棋子 , 用 假 0个   使 余下 的棋 子 没 有 一 个 五 子 连 珠 . 图 6 在 每一 行  如 , 的前五格 中必须各 取 出一个棋 子 , 三列 的前 五格 中  后 也 必须各 取 出一个 棋 子. 样 , 0个 被 取 出 的棋 子 不  这 1 会 分布在 右下 角 的阴影 部分 . 同理 , 由对 称性 , 不会  也 分 布在其 他 角上 的阴影 部分 . 1 2行必 在 每行 取 出  第 、 个 , 只能 分布在 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 且 1 4 、 1 5 、 2 4 、2 5 这些  方格 . 同理 ,6 4 、 6 5 、7 4 、 7 5 这 些方 格上 至  ( ,) ( , ) ( , ) ( , ) 少 要 取 出 2个棋 子. 第 1 2 3列 , 列 至少 要 取 出 在 、、 每   个 棋子 , 分布在 ( ,) ( , ) ( ,) ( ,) ( ,)  3 1 、 3 2 、3 3 、 4 1 、 4 2 、 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 在 区域 , 43 、5 1 、 5 2 、5 3 所 同理 , 3 6 、 ( , ) 
一 一

: c s9 。 o ( O 一 )   ,

( , ) ( 8 、 4, ) ( , ) ( 8 、 5 6 、 5, ) ( , 3 7 、 3, ) ( 6 、 4 7 、 4, ) ( , ) ( 7 、 5  

.c sa . o ( —B+  一c s p . ) o ( .C+  , ) 

即 c s 2 +  9 。 一 C S 2 + 一 9 。 , o ( a 一 0) O (  0 ) 
‘ .

. i 2 +  一 sn( 口 sn( a ) i 2 +  . ) 

。AB< AC,。 。 2 +  2 +  1 0 , . . . 0 < 口 < p < 8 。  .

8 所在 区域 内至少 要 取 出 3个 棋 子. ) 这样 , 这 些 区  在 域 内至少 已取 出 1 0个 棋子. 此 , 中心 阴影 区域 内 因 在   不 能取 出棋 子. 由于 ① 、 、 、 这 四个 棋 子 至 多 被  ② ③ ④ 取 出 2个 , 而 , 斜 的 方 向 看 必 有 五 子 连 珠 了. 从 从  
矛盾 1  
1  3 4  6  8  2    5  7   1  3  5   8  2  4  6 7   

.( 口 ) (  ) 1 0 , . 2 +  + 2 +  一 8 。即 +口 一 9 。 . +  0.  

+  B AC O , 而 BE =9 。从 上AC  . 又 AD上BC, P为△ABC的垂 心. 故   说 明 : 1 本题 中 的必要性 源 于 1 9 () 9 8年 国家 理科 
. . 



试 验班招 生考 试第 4题 , 原题 如下 :   如 图 4 在 锐 角 △AB 中 , , C   AB ≠AC, AD 是 B C边 上 的高 ,   H 为 AD 上 一 点 , 结 B 并  连 H 延 长交 AC于点 E, 结 C 并  连 H 延 长交 AB 于点 F. 已知 B、   C、 E、 四点 共 圆 , : 是否 一 定  F 问 H

图6  

图7  

图4  

是 △AB C的垂 心 ?证 明你 的结论 .   ( ) 面的 别证 2是受 2 0 2上 0 4年 泰 国数 学 奥 林 匹 

克 最后一 题 的启示 给 出的 , 题如下 : 原   已知 P是 AAB 内一 点 , P 作 B C AB C 过 C、 A、  
的垂 线 , 足分别 为 D、 F 又 Q是 AAB 内另 一  垂 E、 . C

第二 步构 造一 种取法 , 取 走 1 个 棋 子 , 下 的  共 1 余 棋 子没 有 五子 连 珠 . 图 7 只 要 取 出有 标 号 位 置 的  如 , 棋子 , 则余 下的棋 子不 可能 五子 连珠 .   综 上所 述 , 少取 出 1 最 1个棋 子 , 可能使 得余 下  才 的棋子 没有 五子连 珠.   别 解 : 少要 取 出 1 个 棋子 , 可能满 足要 求. 至 1 才   取走 1 1个 棋 子 是 可 以 的. 图 8 将 1 2 3 4 5 如 , , , , ,  依 次重复 地填 入 7 ×8的方格 表 中 , 每格 填一 个 数. 注  意 到 5 —5 1+ 1 则 1出现 了 1 6 ×1 , 2次 , , , , 各 出  23 4 5

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现了 1 1次 , 取走 全 部 同一 个 数 ,   剩下 的 数 都 不 会 出现 5个 无 间  隔 的( 、 、 方 向) 由于 取 出 横 竖 斜 .   的数 要最少 , 以可考 虑从 2 3  所 ,, 4 5中取 出 全 部 同一 个 数 , 妨  , 不 取 出 所 有 的 2 剩 下 的 数 满 足  ,
要求 .  

1  3 4 5 6  8  2      7  

综上所 述 , 设 不成 立 , 7 假 即 ×8矩形 表 中放 4  6 个点 , 一定存 在 五子 连珠 .   三 、 本题 满分 5 ( 0分 ) 集 合 P一 { , , , , } 设 12345.   对 任 意 k  P 和 正 整 数  , 记 f m,)  E ( 忌 
一  

图8  

"W] 中 ]示 大 n最  q T, [表 不 于 的 大    乜 T 其
+1I      ,  1 E N     " n

下 面证 明 : 当任 取 出 1 0个棋 子 时 , 下 的棋 子必  余 有一 个 五子连 珠 , 五个 棋 子在 一 条 直 线 ( 、 、 即 横 竖 斜  方 向) 上依 次相 连.   用 反证 法 . 假设 向 7 ×8矩 形方 格表 中放 入 7   ×8 1 —4 个 点 , 存在 五子 连珠 . 0 6 不   显然, 在这 8列 中, 每列 所放 点 数不 超过 6 . 个 事  实上 , 6个点 的 列数 不 少 于 6列 . 放 6个 点 的 列  放 若 数 不超 过 5列 , 所 放 点 的 总 数 N≤ 6 5 5× (  则 × + 8
— —

整数 .   求证 : 对任 意正 整 数  , 在 k   和 正整 数 1 , 存  P E n "  使得 f( 忌 一 . m, )  

基本 证 法 : 义 集 合 A一 {   定 1 " n k EP} 其 中 N ,  为正 整数 集.  

由于对任 意 k i _ kAi— ;1 ,EP B : , kt 是无 理数 则  . # - -


√z 1 十  

对 任意 的 k ,2   和正整 数 1112 1k  P E n "  ", . n
1 1 n "  


5 一4 < 4 , 盾 . ) 5 6矛  



一 12 "  n

当且 仅 当 11 12 k " — " ,1 n n  

下 面分两 种情况 讨论 .   1  3 4    7    2    5 6  8 情形 1 放 6个 点 的 列 数 为  : 7 . 列 易知放 6 点 的列 , 为 2 个 必   个 点放 在前两 格 , 2个 点在后  另 两格 , 余 2个 点放在 中间三 格  其 中 的某 两 格 ( 9 . 图 ) 又易 知 有 一  列 所放 的点 数是 4 — 6 —4  6 ×7 , 图9   这 列必是 第 4 或第 5列 ( 则  列 否 会 出现 五子连 珠) 不 妨设 为第 4列 . , 由于这 列 有 4个  点, 故这 列的 1 2 6 7格 中 必放 有一 个 点 , 点所 在  ,,, 该 的行将 出现五 子连珠 , 盾. 矛   情形 2 放 6个点 的列 数为 6列 , : 其余 两列 只能各  放 5个点 .   ( ) 放 5 点 的两 列 中有一 列 是 第 1列 或 第 8 1若 个   列( 不可能 第 1列 和 第 8列 都放 5个 点 , 则 第 1行  否 会 出现五子 连珠 ) 不妨 设设 在第 1列放 5个 点 , . 则放  5个点 的另 一列 只可 能 是第 4 5 6列 中的某 一 列 , ,, 根  据抽 屉原理 , 点必 在 第 1 2 6 7行 中的 某 一 格 , 该 ,,, 则  该点 所在 的行 出现五子 连珠 , 盾. 矛   () 2 若放 5个 点 的两列是 第 2 3 4 5 6 7列 中 的  , , , ,, 某两 列.   如果第 2列放 5 点 , 另一 个 放 5个 点 的列 无  个 则 论 在 哪一列 , 则这列 在第 1 2 6 7行 的格 必 有一 格 放  , ,, 有点 , 将会 出现五子 连珠 , 矛盾 .   同理 , 果 第 3列放 5个 点 , 另 一 个 放 5个 点  如 则 的列 无 论 放 在 第 4 5 6 7列 中 的 哪 一 列 , 得 到  ,,, 都
矛 盾.  

k2 .  

注 意 到 A 是 一个 无 穷 集 , 将 A 中 的元 素 按 从  现 小 到大 的顺序 排成 一个 无穷 数列 . 于 任意 的 正 整数  对
设此 数列 中第  项为 1 " n   间的关 系.  


+1 下 面确定  与 1 ,  , n "k

若  ^ _ <  v - T 则 ≤  —  ; / /   CC ,   -  ̄ ;1 /+ k
.  

√ z 1 十  

由 1  正整 数 知 , "是 n 对 一1 2 3 4 5 满足 这个 条  , ,, ,,

件 的数 V 1   个为    J z]   _I T  I.   从而 一   — VI L  1   z  _] T    J
1  

.  

因此 对任 意 EN 存 在 1EN k  , " n  , EP, 得  使
f m , )    ( 忌一 .

别证 : 引理  若 z, ER,   一[ ] z y 则[ ]   ≥[ — ] .  
证 明略.   先观察 开始 几项 :  
1   2   3   4   5   6  

1   2   3   4   5  

1   2   3   4   5  

6   7   8   1  O 11  

9   1  2 1  4 1  5 1  8

1  3 1  6 1  9 22   23  

17   21   25   2  7 31  

2  0 2  6 3  0 3  3 37  

故放 5 点 的两 列 只可能 是第 4 5列. 个 ,   若第 4 5两列 中 , 两个点 同时位 于 前 两格 或后  , 有 两格 , 由前 述讨论 可 知 , 定会 出现 五子 连珠 , 一 矛盾 .   因此 , 两 列 的 点 的分 布 情 况 为 : 两 格 和后 两  这 前 格 中各有 一个 点 , 其余 3个 点均 在 中 间三 格 . 考 查  再 第 3列 6个点 的 放法 , 论 哪一 种 放 法 , 无 都会 出 现 五 
子连珠 , 盾 . 矛  



猜想 : 1 当  、 () ? k中一 个 固定 时 , m, ) 着 另  f( 忌 随 个 的增 大而 增大 ;   ( )  。 k ) 2 ( ,。 一 , f m,) 的取值 中 , 超 过  ( 歹 不
( mEN ,∈ P Y     j  ̄ g)

椭数 [44 有"T      - U

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虫鬈 蕾鬈羞鬈塞壹
20 年 m1 07 2期《高 中 )  

… …

— — ~ — — — — — —   —   … … …… … . —— — ——— — — … … ,


灭  





● 
1  

阳  

怨  1 删 让 明 :   J  

当 m 固定 时 , ( 忌 ) ( 忌  f m, +1 一f m, )
一  

一 

确  

厕q+ 一 厕 ) kl) 卜 on厕    -  
]   屑
②   ],   +  . 1> ) 

5僭 卜     /X g] k  +   ̄ -

+确 ]) 一 (  +傈   [ 1
由① 、 ②知 , 想 ( ) 立. 猜 2成  



妾 匝   Nl i +

] 1  

+ ( H  ]   )   ≥( 一 ) [    ]     J   ]   ≥ [ 面  ] .  


下 面证 明 : ml k ) f( ,2 , 中 ml m2  f( , 1 ≠ m2 k ) 其 , , k , 2  , m tk ∈N 且  与 m2k 与 k 不 全相 等. 川 2   证 明 : ml 若 —m2 k ≠ k ,l 2若 ml m2 k =k ,   ≠ ,l 2 由 结论 ( ) , ( ,  ≠f m2 k ) 1 知 f m  k ) ( ,2.   若 m  m2 k ≠ k , 反 证 法 . 设 f( ,   ≠ ,  2 用 假   k) 一f mz k) t由结论 ( ) , m,  所 取 值 中 , ( ,z 一r , 2 知 f( k) 不 

若1 ≤ ≤ 6 由上表 知猜想 ( ) ̄r  , 1J ; /

若≥f  1  , [  7( +≥  (忌   , ) 即  ) m 一  ≥
1 , , 

]  

j fz)数[ t] 一一  ̄ =m忌 数  .+J , 的   … 超 n (,的有 / 1 个  过 f ) 有z  _ 不 t [ k :   t
,● ●● ●● (●● ●●【  

_ (,) 1    忌  J   个;  
—= .. .  .L . . . —. .. .. .. .L  一  

≥ 1 O  > .

>   O  当 k固定 时 , ( f m+l 忌 - f m,) ,) ( 忌 
,  O  

所取 值 中 不 超 过 7 2一 f (     ) 的 数 有  m ,k


一  

[ 厕 一  儒 ] c     5  



( 僭 卜  ] [ c   [ 腭 )   +  √ [ ] [  卜    c ≥ 1 一.- [+√  yr () +  2 ] ]> ≥o  .  
一   一  

孵  不 过 一 z 的 有 超     )数  u 有  [   z  
1 ● ●J   1● ●J  

k-1 lI   -

k-1 2I  -
?

. 

∈ P,  

故 

是无 理数,  

综上所 述 , 想 ( ) 猜 1 成立 .  
; f 奇相 f  的 证 明 . 2  




是理. 无数  






矾  

一 

『。 .   
L  

孵 ] ]  # j 僭 .    - 7 喜 -  ̄
即 


:= =

[ k1-1 ”      ] <  ’ z_ +… +J  糯    ^ 、 / 忌 而  ̄

o_. ]= 。-— ( ,1≠ f( ,2.   1 一I # ̄ o  l k) m2k )    奎 厢 ], i 7 j  [


从而 假设 不成立 , f mtk ) 故 ( ,1 ≠ ( ,z .  zk )   综上 所 述 , 当  与 m  k ,  与 k z不 全 相 等 时 ,  

] ≤  J . ) I, 巩

① 

令 f( 忌 一而 由结论 ( ) , ( 忌 所 有 取 值  m, ) , 2 知 f m, )

又 

矾  

] '  +  1一 ) 孵 ]、+  +N l 1i   J 1 /1 一] k   o +

中 不超过 数共有 ∑l ,  的  
J 1L =    

个 .又 由上 面 的最后 一 个结 论 知 , 这  个 数 互不  相等 , 则这  个 数 只可能 为 1 2 3 … ,. , ,, 7 2  
一  

又当 饥 一 ∞ 时 , ( k - , 由 7的任 意性 可  f m, )- 则 -  ̄ 2 知 , 任 意 一 个 7 N 存 在  ∈ N k∈P, 得  对 2  , ∈  , 使
f m, ) 7 ( 忌一 2 .  


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2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、 (本题满分 50 分) 如图, 在锐角△ABC 中, AB<AC, A AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点。过 ...

1987年全国高中数学联赛试题及解答

· 1987 年全国高中数学联赛解答试题 一.选择题(每个小题选对得 5 分,不选得 1 分;选错或选出的代号超过一个者得 0 分.本题满分 20 分): 1.对...

1993年全国高中数学联赛加试试题及解答

1993年全国高中数学联赛加试试题解答 隐藏>> 一九九三年全国高中数学联赛加试试题一. (本题满分 35 分)设一凸四边形 ABCD ,它的内角中仅有 ?D 是钝角,用...

2007全国联赛一试14题解答

2007全国联赛一试14题解答_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2007全国联赛一试14题解答_高三数学_数学_高中教育_教育专区。是...

1990年全国高中数学联赛试题及解答

1990年全国高中数学联赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8∶00—10∶00) 一.选择题(本题满分 30...

2006年全国高中数学联赛试题及解答

,a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2…a2006 的个数为 1 A...+- 2 1 1 1 2 ·6· 2006 年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分...

2008年全国高中数学联赛试题及解答

4, y0 ? ?2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. 2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分...