nbhkdz.com冰点文库

2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 平面向量的数量积


§5.3

平面向量的数量积

[高考调研 明确考向]
考纲解读 ?理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. ?了解平面向量的数量积与向量投影 的关系. ?平面向量数量积的几何运算与坐标 运算是高考考查的重点. ?应用平面向量数量积求平面向量的 是高考热点. ?题型多以选择题或填空题出现,难 度适中,但灵活多变. 考情分析

/>
?掌握数量积的坐标表达式,会进行 夹角、模及判断向量的垂直关系, 平面向量数量积的运算. ?能运用数量积表示两个向量的夹 角,会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系.

知识梳理 1.平面向量的数量积 1 若两个 □ __________向量a与b,它们的夹角为θ,则数 2 3 量 □ ______________叫做a与b的数量积(或内积),记作 □ ______________________. 4 规定:零向量与任一向量的数量积为□______.

5 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 □ __________, 两个非零向量a与b平行的充要条件是 ______________________________. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 ____________________的乘积. 7 □ 6 □

3.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· □__________________; e= 8 9 (2)非零向量a,b,a⊥b?□ __________________; (3)当a与b同向时,a· □__________; b= 10

当a与b反向时,a· b=

11 □

________,a· a=

12 □

13 ________,|a|=□____________; 14 (4)cosθ=□__________________; (5)|a· □______|a||b|. b| 15

4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· □____________(交换律); b= 16 (2)(λa)· b=(λa· □______________(λ为实数); b)= 17 (3)(a+b)· □__________________. c= 18

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= __________,由此得到: 20 21 (1)若a=(x,y),则|a|2= □ __________,或|a|= □ ____________. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|= → 22 |AB|=□______________. 19 □

(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b? __________.

23 □

1 答案: □ 非零

2 3 b=|a||b|cosθ □ 0 4 □|a||b|cosθ □a·

5 b=0 □ a· 6 b=± 7 8 9 b □ a· |a||b| □ |b|cosθ □ |a|cosθ □ a· =0 10 11 12 13 □|a||b| □-|a||b| □a2 □ a· b 14 □|a||b| a· a

15 16 a 17 (λb) 18 c+b· □≤ □b· □a· □a· c x2+y2

19 20 21 □x1x2+y1y2 □x2+y2 □ 22 □ ?x1-x2?2+?y1-y2?2

23 □x1x2+y1y2=0

名师微博 ●一个条件 两个向量垂直的充要条件:a⊥b?x1x2+y1y2=0. ●两个探究 若a· b>0,能否说明a和b的夹角为锐角? (2)若a· b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?

●三个防范 (1)若a,b,c是实数,则ab=ac,则b=c(a≠0);但对于 向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足a· b= a· c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个 向量,但可以同时乘以一个向量.

(2)数量积运算不适合结合律,即(a· b)c≠a(b· c),这是由 于(a· b)c表示一个与c共线的向量,a(b· c)表示一个与a共线的 向量,而a与c不一定共线,因此(a· b)c与a(b· c)不一定相等. → (3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,AB与 → BC的夹角应为120° ,而不是60° .

基础自测 1.下列四个命题中真命题的个数为( ①若a· b=0,则a⊥b; ②若a· b=b· c,且b≠0,则a=c; ③(a· c=a· c); b)· (b· ④(a· 2=a2·2. b) b A.4 B.2 C.0 D.3 )

解析:a· b=0时,a⊥b,或a=0,或b=0.故①命题错. ∵a· b=b· c,∴b· (a-c)=0. 又∵b≠0,∴a=c,或b⊥(a-c).故②命题错误. ∵a· b与b· c都是实数,故(a· c是与c共线的向量,a· c) b)· (b· 是与a共线的向量,

∴(a· c不一定与a· c)相等.故③命题不正确. b)· (b· ∵(a· 2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2· 2=a2·2.故④命 b) |b| b 题不正确.

答案:C

→ → 2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB · AC =( ) 3 A.-2 2 C.3 2 B.-3 3 D.2

解析:在△ABC中, AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos∠BAC= = = , 2AB· AC 2×3×2 4 1 3 → → → → ∴AB· =|AB||AC|cos∠BAC=3×2× = . AC 4 2

答案:D

3.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a 垂直,则λ=( A.-1 C.-2 ) B.1 D.2

解析:λa+b=(λ+4,-3λ-2). ∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)· a=10λ+10=0. ∴λ=-1.

答案:A

4.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( A. 13 65 C. 5 13 B. 5 D. 65

)

a· 2×?-4?+3×7 13 b 65 解析:|a|cosθ= |b| = = = 5 . 65 ?-4?2+72

答案:C

5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量a与b的夹角 是( ) π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2

解析:∵a· (b-a)=a· 2=2, b-a ∴a· b=2+a2=3. a· b 3 1 ∴cos〈a,b〉= = = , |a||b| 1×6 2 π ∴a与b的夹角为 . 3

答案:C

考点一

求两平面向量的数量积

[例1]

→ (2013· 合肥质检)在△ABC中,M是BC的中点,| AM |

→ → → → → =1,AP=2PM,则PA· +PC)=__________. (PB

→ → 解析:如图,因为M是BC的中点,所以 PB + PC = → → → → → → → → → 2PM,又AP=2PM,|AM|=1,所以PA· +PC)=PA· = (PB 2PM 4 → 2 4 4 → 2 -4|PM| =- |AM| =- ,故填- . 9 9 9

4 答案:-9

方法点睛

当向量表示平面图形中的一些有向线段时,

要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知 的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共 线向量定理和平面向量基本定理,以及解三角形等知识.

变式训练1 如图,在菱形ABCD中,若AC=4,则 → → CA· =__________. AB

→ → → → → → → → 解析: AB = AO + OB ,故 CA · = CA ·AO + OB )= AB ( 1→ → → → → → → → CA· +CA· .而AO=-2CA,CA⊥OB. AO OB 1→2 → → 所以CA· =-2CA =-8. AB

答案:-8

考点二

利用平面向量数量积求夹角与模

[例2]

已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61.

(1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|.

解析:(1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得a· b=-6, 1 2π a· -6 b ∴cosθ= = =- ,又0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 4×3 2 3 (2)|a+b|2=a2+2a· 2=13, b+b ∴|a+b|= 13,|a-b|2=a2-2a· 2=37, b+b ∴|a-b|= 37.

方法点睛

在数量积的基本运算中,经常用到数量积的

定义、模、夹角等公式,尤其对|a|= a· 要引起足够重视, a 是求距离常用的公式.

变式训练2 求:

1 1 已知|a|=1,a· 2 ,(a-b)· b= (a+b)= 2 ,

(1)a与b的夹角; (2)a-b与a+b的夹角的余弦值.

1 1 2 2 解析:(1)∵(a-b)· (a+b)=2,∴|a| -|b| =2. 又∵|a|=1,∴|b|= 1 2 |a| -2= 2 .
2

a· b 2 设a与b的夹角为θ,则cosθ=|a||b|= = . 2 2 1· 2 ∴θ=45° .

1 2

1 1 1 (2)∵(a-b) =a -2a· b+b =1-2×2+2=2,
2 2 2

2 1 1 5 2 2 2 ∴|a-b|= 2 ,(a+b) =a +2a· b+b =1+2×2+2=2. 10 ∴|a+b|= 2 .设a-b与a+b的夹角为α, ?a-b?· ?a+b? 5 则cosα= = = . |a-b||a+b| 2 10 5 × 2 2 1 2

考点三

平面向量的数量积与垂直问题

[例3] R).

已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈

(1)若a⊥b,求x的值; (2)若a∥b,求|a-b|.

解析:(1)若a⊥b,则a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x +3)+x(-x)=0. 整理,得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3. (2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0, 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= -22+02=2.

当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,- 4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2或2 5.

方法点睛

已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出

方程,通过解方程求出其中的参数值.在计算数量积时要注 意方法的选择:一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求 出来,再计算数量积;另一种方法是根据数量积的运算法则 进行整体计算,把这个数量积的计算化归为基本的向量数量 积的计算.

变式训练3

已知平面内A,B,C三点在同一条直线

→ → → → 上, OA =(-2,m), OB =(n,1), OC =(5,-1),且 OA ⊥ → OB,求实数m,n的值.

解析:由于A,B,C三点在同一条直线上,则

→ AC



→ → → → → → → AB ,AC =OC -OA =(7,-1-m),AB =OB -OA =(n+2,1 -m), ∴7(1-m)-(-1-m)(n+2)=0,即mn+n-5m+9= 0,① → → 又∵OA⊥OB,∴-2n+m=0.②

?m=6, ? 联立①②,解得? ?n=3 ?

?m=3, ? 或? 3 ?n=2. ?

易错矫正(十七) [试题]

忽视对直角的讨论致误

→ → (江苏模拟)已知△ABC中, AB =(1,1), AC =

(2,k),若在△ABC中有一个角为直角,求实数k的值. → → 错解:因为AB⊥AC,所以1×2+1×k=0.解得k=-2. 错因:不会活用公式,习惯了用单一思路去思考问题, 造成思维定势,自认为角A就是直角,忽略另外两种情况, 因此而漏解.

→ → 正解:(1)若∠A为直角,则AB⊥AC, 所以1×2+1×k=0.解得k=-2. → → → → → (2)若∠B为直角,则AB· C =0,又BC =AC -AB =(1, B k-1), 所以1+(k-1)=0.所以k=0.

→ → (3)若∠C为直角,则AC · =0,即2+k(k-1)=0,而k2 BC -k+2=0无实数解,所以不存在实数k使∠C为直角. 综上所述,当k=-2或k=0时,△ABC为直角三角形.

点评:有关向量垂直,要注意分情况进行讨论,不能思 维定势.在求解时不进行讨论而造成错解、漏解是同学们最 容易犯的错误,一定要多加注意,避免失误.


2014年高三一轮专题复习--平面向量的数量积(有详细答案)

2014年高三一轮专题复习--平面向量的数量积(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区...高三一轮复习课件(平面向... 13页 免费 高三C专题(三轮复习:平... 暂无评...

高三数学一轮复习平面向量的数量积

高三数学一轮复习 平面向量的数量积复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量积的有 关运算,利用数量...

高三数学一轮复习平面向量的数量积

高三数学一轮复习 平面向量的数量积复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平 面向量的数量积的有关运算,利用数量...

高三数学一轮复习平面向量的数量积

高三数学一轮复习 平面向量的数量积复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量 积的有关运算,利用数量...

2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的数量积

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的数量积 暂无评价|0人阅读|0次...

2014年高三一轮专题复习平面向量的应用(有详细答案)

2014年高三一轮专题复习平面向量的应用(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区。平面...平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平...

高三第一轮复习数学---平面向量的数量积

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高三一轮复习数学---平面向量的数量积_数学_高中...7 ,同理可得 ? d ? 13 而 c ? d ? (2a ...

高三一轮复习平面向量数量积和应用

高三一轮复习课件(平面向量... 13页 免费 2011届高三数学一轮复习巩... 5页...高三一轮复习平面向量数量积和应用 平面向量的数量积运算、垂直问题 一、同步知识...

2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的数量积与平面向量应用举例

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2014届高考数学一轮专题... 暂无评价 4页 免费 2014...A 平面向量的数量积与平面向量应用举例 (时间:35 ...