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广东省10大市2013届高三数学(文)一模试题分类汇编11:圆锥曲线

时间:2013-07-12


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广东省 10 大市 2013 届高三数学(文)一模试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题 (一) 直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? 1 )

?

?

2

? y2 ? 1

的位置关系是 A.相离 B.相切 C.直线与圆相交且过圆心 D.直线与圆相交但不过圆心 答案:A 2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)以 ( 1 , 0 ) 为圆心,且与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切的圆的方程是 A. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

B. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 答案:A

D. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟) 已知抛物线 C:x ? 4 y 的焦点为 F , 直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与
2

C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB 的值为 A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

答案:D 4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是 A、 ( x ? 3) ? ( y ? ) =1
2 2

7 3

B、 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 =1 D、 ( x ? ) ? ( y ? 1) =1
2 2

C、 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 =1 答案:B

3 2

5、 深 市 ( 圳 2013届 三 第 次 研 已知抛物线 y2= 2p x ( p > 0)与双曲线 高 2月 一 调 )

x2 y2 ? ? 1 (a > 0, b > 0)的一条渐 a2 b2

近线交于一点 M ( 1 , m),点 M 到抛物线焦点的距离为 3,则双曲线的离心率等于 A. 3 答案:A 6、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)若圆心在直线 y ? x 上、半径为 2 的圆 M 与直线 x ? y ? 4 相 切,则圆 M 的方程是__▲__. 答案: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 或 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2
2 2 2 2

B. 4

C.

1 3

D.

1 4

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7、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心 率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

答案:D 8、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟)已知双曲线 的离心率为( ) A.6 答案:C 9、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )椭圆 B.

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的右焦点 F(3,o),则此双曲线 m 5

3 2 2

C.

3 2

D.

3 4

x2 y 2 ? =1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 4 3

P 是椭圆上任一点则 A、 (0,4] 答案:D 二、解答题

的取值范围是 D、 [3,4]

B、 (0,3] C、 [3,4)

1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为

F1 (?2, 0) , F2 ? 2,0 ? ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 交于 B,C 两点,
抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 ,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的 坐标); 若不存在,说明理由. (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?a 2 ? 16, ? ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b 2 解得: ?a 2 ? b 2 ? 4. ?

……………2 分

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∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

……………3 分

x2 y 2 解法 2:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b
根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , ∵ c ? 2 , ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . ……………1 分 ……………2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

……………3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 2 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

……………4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 . ( 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?



……………5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 4 2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

即y?

x1 1 x ? x12 . 2 4



……………7 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

③ ……………8 分

设点 P ( x, y ) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x 2 , 2 4 2 4
……………9 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

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代入②得 y ?

1 x1 x 2 , 4

……………10 分

则 2 x ? x1 ? x 2 , 4 y ? x1 x 2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为

y ? x ? 3.
若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

……………11 分 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ……………12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. ……………13 分 ……………14 分

解法 2:设点 B ( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

……………4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

……………5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



……………6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

……………7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

……8 分

x x0 ? y , 2
∴ y 0 ? x0 ? 3 .

……………9 分 ……………10 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上,

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∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

……………11 分

,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,…12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. ……………13 分 ……………14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

……………4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8k ? 12 . 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

……………5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

……………7 分

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
……………8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x1 x? ?y ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x1 ? x2 1 2 x1 , ? 2k , ?x ? ? 4 2 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? 4 ? 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

……………10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12

……………11 分

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? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

2

? 1.
……………12 分 ……………13 分 ……………14 分
2

化简得 7 k

? 12k ? 3 ? 0 .(*)

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 , 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. 2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)如图,椭圆 ? :
2

? ?

x y 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? , 2 2 a b y 椭圆的顶点 A 、 B 、 C 、 D 围成的菱形 ABCD 的面积 S ? 4 . D
⑴求椭圆的方程; ⑵设直线 2 2 x ? y ? 0 与椭圆 ? 相交于 M 、 N 两点, 在椭圆是是否存在点 P 、 Q ,使四边形 PMQN 为菱形? 若存在,求 PQ 的长;若不存在,简要说明理由. 解: ⑴依题意 e ?

A

C O
B

x

a2 ? b2 3 c 3 ……1 分, 从而 ,a ? 2b …… 2分 ? ? a 2 a 2 1 1 S ? ? AC ? BD ? ? (2a) ? (2b) ,即 ab ? 2 ……3 分,解得 a ? 2 , b ? 1 ……4 分,椭圆的标准 2 2
x2 ? y 2 ? 1 ……5 分 4

方程为

⑵存在……6 分

k MN ? ?2 2 ,根据椭圆的对称性,当直线 PQ 是线段 MN 的垂直平分线时, PMQN为菱形,
k PQ ? ? 1 k MN ? 1 2 2
……8 分, PQ 所在直线的方程为 y ?

1 2 2

x ……9 分

? ? x2 2 6 ? 2 6 ? y 2 ? 1 ?x ? ?x ? ? ? ?4 ? 3 ,? 3 ……11 分 解? 得? ? ?y ? 1 x ?y ? 3 ?y ? ? 3 ? ? ? 2 2 ? 3 3 ? ?
所以, P(

2 6 3 2 6 3 , ? ) , PQ ? 2 3 ……12 分。 , ) , Q(? 3 3 3 3

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)如图(5) ,设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 a uuu uuu r r 的左、 右焦点,P 为椭圆 C 上任意一点, PF1 ? PF2 最 且 (1)求椭圆 C 的方程; C:
(2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n ,若 l1 、l2

小值为 0 .
y

均与椭圆
x F1 o F2

C 相切,证明: m ? n ? 0 ;

图(5)

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(3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在, 请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y ) -------------1 分

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? -----------------2 分 a2 uuu uuu r r 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 ,-------------------3 分
∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .---------------------------------------------4 分 2

(2)把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4mkx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2 ------------------------------------------------------------------------------------7 分
同理可得: n 2 ? 1 ? 2k 2 ---------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意, ∴ m ? ? n ,即 m ? n ? 0 -------------------------------------------------------------------9 分 (3)设在 x 轴上存在点 B (t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m 2 |? k 2 ? 1 ,--------------------------------------11 分 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ? 1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;----------------------------------------------------------------------13 分 综上所述,满足题意的定点 B 存在,其坐标为 (?1, 0) 或 (1, 0) ---------------------------14 分

4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知 F1,F2 分别是椭圆 C:
2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦 a 2 b2
5 。 3

点,其中 F1 也是抛物线 C1: x ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |?

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知 A(b,0) ,B(0,a) ,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相交于点 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值。

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5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)已知椭圆 C1:
焦点分别为 F1、F2 ,右顶点为 A ,离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a2 b2

1 2

(1)设抛物线 C 2 :y 2 =4x 的准线与 x 轴 交 于 F 1 , 求 椭 圆 的 方 程 ; (2)设已知双曲线 C3 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点,b 是双曲线 C3 在第一象限上任意—点, 问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

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6、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
( 且点 1, 3 ) 在该椭圆上. 2

3 , 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,椭圆 C 的长轴为 AB ,设 P 是椭圆上异 任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,点 Q 满足

y
Q

M
N

P A
O

于 A、B的 ???? ???? PQ ? HP ,
x

H

B

(第 20 题图)

???? ? ???? 直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M , BM ? 4 BN .求证: ?OQN 为锐角.

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20.解: (1)设椭圆 C 的方程为 又 a ? b ? c ,∴4b ? a .
2 2 2
2 2

x2 y 2 c 3 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? 2 a b a 2
…………………………………………2 分

,

3 ∵ 椭圆 C 经过 (1, ) ,代入椭圆方程有 2
解得 b ? 1 .
2

3 1 ? 42 ? 1 , 2 4b b
…………………………………………5 分

∴a ? 4 ,
2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………………………6 分 …………………………………………7 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? (?2 ? x0 ? 2) , ∵A ? ?2,0? , ∵ PQ ? HP , ∴ Q ? x0 , 2 y0 ? , ∴直线 AQ 的方程为 y ?
2 y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

…………………………………………9 分

? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ?. ? x0 ? 2 ?

∵B ? 2,0 ? , BM ? 4BN ,

???? ?

??? ?

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∴N ? 2,

? ?

y0 ? ?. x0 ? 2 ?

???? ? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) ? ∴QO ? ? ? x0 , ?2 y0 ? , QN ? ? 2 ? x0 , ?. x0 ? 2 ? ?

???? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) 4 y 2 (1 ? x0 ) ∴QO ? QN ? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? (?2 y0 ) ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2



x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

2 ∴4 y02 ? 4 ? x0

∴QO ? QN ? 2 ? x0 ∵?2 ? x0 ? 2 , ∴QO ? QN ? 2 ? x0 ? 0 . 又 O 、 Q 、 N 不在同一条直线, ∴?OQN 为锐角.

??? ???? ?

…………………………………………12 分

??? ???? ?

…………………………………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析 问题、解决问题的能力. 7、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 7 ? 0 ,圆心 C 关于原点对称
2 2

的点为 A,P 是圆上任一点,线段 AP 的垂直平分线交 PC 于点 Q . (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 L 方程; (2)过点 B(1,

1 )能否作出直线 l2 ,使 l2 与轨迹 L 交于 M、N 两点,且点 B 是线段 MN 的中点, 2

若这样的直线 l2 存在,请求出它的方程和 M、N 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)如图,由已知可得圆心 C (?1, 0) ,半径 r ? 2 2 ,点 A(1,0) (1 分) ∵点 Q 是线段 AP 的垂直平分线与 CP 的交点,∴ | QP |? QA | 又∵ | PQ | ? | QC |? 2 2 ,∴ | QA | ? | QC |? 2 2 ? AC ? 2 ∴点 Q 的轨迹是以 O 为中心, C , A 为焦点的椭圆, ∵ c ? 1, a ? (2 分) (3 分)

2 ,∴ b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,

(4 分)

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∴点 Q 的轨迹 L 的方程

x2 ? y 2 ? 1. 2

(5 分)

x2 (2)假设直线 l2 存在,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,分别代入 ? y2 ? 1得 2

? x12 2 ? ? y1 ? 1 ?2 , ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ?2 ?
两式相减得

(6 分)

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) y ?y 1 x ?x ? ?( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 1 2 ? ? ? 1 2 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2
(8 分)

(7 分)

由题意,得 x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 1 , ∴

y1 ? y2 ? ?1 ,即 kMN ? ?1 x1 ? x2
3 2

(9 分)

∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?

(10 分)

? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? 由? 得 6 x 2 ? 12 x ? 5 ? 0 ? y ? ?x ? 3 ? ? 2
∵点 B 在椭圆 L 内, ∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?

(11 分)

3 ,它与轨迹 L 存在两个交点, 2

解方程 6 x 2 ? 12 x ? 5 ? 0 得 x ? 1 ?

6 6

(12 分)

当 x ? 1?

6 1 6 6 1 6 时, y ? ? ;当 x ? 1 ? 时, y ? ? 6 2 6 6 2 6

(13 分)

所以,两交点坐标分别为 ? 1 ?

? ? ?

6 1 6? ? 6 1 6? , ? , ? ? 和 ?1 ? ? ? ? 6 2 6 ? ? 6 2 6 ? ?

(14 分)

8、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )已知 A(?2, 0) , B(2, 0) , C (m, n) . (1)若 m ? 1 , n ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C (异于点 A, B ) ,直线 x ? 2 交直线 AC 于点 R ,线段 BR 的

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中点为 D ,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论. 解析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 4 ? 2D ? F ? 0 ? 由题意可得 ? 4 ? 2 D ? F ? 0 ,解得 D ? E ? 0, F ? ?4 , ? ?1 ? 3 ? D ? 3E ? F ? 0
∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 2:线段 AC 的中点为 (? ,

1 3 3 , ) ,直线 AC 的斜率为 k1 ? 2 2 3 3 1 ? ? 3( x ? ) , 2 2

∴线段 AC 的中垂线的方程为 y ? 线段 AB 的中垂线方程为 x ? 0 ,

∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (0, 0) ,半径为 r ? 2 , ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 3:?| OC |?

(1 ? 0) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 2 ,而 | OA |?| OB |? 2 ,

∴ ?ABC 的外接圆是以 O 为圆心, 2 为半径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 4:直线 AC 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 BC 的斜率为 k2 ? ? 3 , 3

∴ k1 ? k2 ? ?1 ,即 AC ? BC , ∴ ?ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 (2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ) ,-----------------10 分 m?2 m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

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∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ? ? ,-----------------12 分 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

4 m ?n
2 2

?

4 ?2?r, 4

x2 y 2 9、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 A(0, 2) 且它 a b 3 的离心率为 。 3 (1)求椭圆 C1 的方程;
(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于 1 1 点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)已知动直线 l 过点 Q (4, 0) ,交轨迹 C2 于 R、S 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 RQ 为 直径的圆 O1 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果说不存在说明理由.

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10、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )已知双曲线

x2 y 2 。 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F(c,0) a 2 b2

(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A,过 A 作圆的切线,斜 率为- 3 ,求双曲线的离心率。

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