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上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三数学下学期学习能力诊断试卷 理(含解析)

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2015 学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊断卷 高三数学
一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是_____________. 2.若集合 A ? x 3x ? 1 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B =_______________. 3.若复数 z 满足

理科试卷

?

?

?

?

1? i ? ?i, 其中 i 为虚数单位,则 z ? ________________. z

3 2 4.求值: 3 arctan 3 arcsin
7

2
=________________弧度.

3

1? ? 5.试写出 ? x ? ? 展开式中系数最大的项________________. x? ?
il 6. 若函数 y ? 4 ? ? x2 ? 2x ? 3 的最小值为 a , 最大值为 b , 则m
7.在极坐标系中,点 (3,

a n ? 2b n =_________. n ?? 3a n ? 4b n

?
2

) 关于直线 ? ?

?
6

的对称点的坐标为________________.

8.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者,若用随机量 ? 表示选出的志愿 者中女生的人数,则数学期望 E? ? _______________. (结果用最简分数表示) 9 . 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=

3 ,| BC |= 5 , | CA |= 2 2 , 则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A B? B C ? B? C C? A C ? A AB
的值等于_______________. 10.从集合 A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10? 中任取两个数,欲使取到的一个数大于 k , 另一个数 小于 k (其中 k ? A) 的概率是 , 则 k ? __________________. 11.有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清,具体如下: “在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a ? 3, B ? 450 , ______________, 求角 A . ”经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示 A ? 60 , 试将条件补充完
0

2 5

整.

1

12.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3, 公差 d ? 2, 若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗 漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185,则此连续 10 项的和为__________________.

?log 1 ( x ? 1), x ? ? 0,1? , ? 2 13.定义在 R 上的奇函数 f ( x), 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ? ,
则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为________________ (结果用 a 表示) . 14.对于给定的正整数 n 和正数 R ,若等差数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足 a1 ? a2 n?1 ? R ,则
2 2

S ? a2n?1 ? a2n?2 ? a2n?3 ? ?? a4n?1 的最大值为__________________.
二. 选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15. 已知非零向量 a 、b , “函数 f ( x) ? (ax ? b)2 为偶函数” 是 “a ? b” 的---------( (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 16 . 函 数 (B) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

?

?

?

?

?

?



y=

?2 x, x ? 0, ? 2 ?? x , x ? 0







数 )



------------------------------------------------------------------(

?x ?x ? ? ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ,x ?0 ? ,x ?0 (A)y ? ? 2 (B)y ? ? 2 (C)y ? ? (D)y ? ? ? ? ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?
17.如图,圆锥形容器的高为 h, 圆锥内水面的高为 h1 , 且 h1 ?

1 h, 若将圆锥倒置,水面高为 3
等 于

h2 ,



h2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------( )

(A)

2 h 3

(B)

19 h 27

3

(C)

6 h 3

3

(D)

19 h 3

18 .设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 ? m x ? m2 ? m ? 0 的两个不相等的实数根,那么过两点

2

2 ) 的 直 线 与 圆 A( x1 , x12 ) 、 B( x2 , x2

? x ? 1?
)

2

? ? y ? 1? ? 1 的 位 置 关 系 是
2

----------------------------------------( (A)相离 (B)相切 (C)相交

(D)随 m 的变化而变化

三. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分;第(1)小题6分,第(2)小题 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x .
2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; ( 2 )将函数 y ? f ( x) 图像向右平移

? 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求方程 4

g ( x) ? 1 的解.

20. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分)
0 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,且异面直线 A1 B 与 B1C1 所

成的角等于 60 ,设 AA1 ? a . (1)求 a 的值; (2)求三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积.
0

A1 B1

C1

A B

C

21. (本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a. (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ? ?1,3? ,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在 x0 ? R, 使 f ( x0 ) ? t ? f (? x0 ) ,求 t 的取值范围.

3

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 7 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ?1,0 ? ,且点 P (1, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C1 :

x2 y2 4 ? ? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O : x 2 ? y 2 ? 的两条切 2 3 a b2 ? 5 3

线, 切点分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m , n, 证明:

1 1 ? 2 为定值; 2 3m n

(3)若 P 1, P 2 是椭圆 C2 :

x2 3 y 2 E 过P ? ? 1 上不同的两点, PP 1, P 2 , 且椭圆 1 2 ? x 轴,圆 a 2 b2

C2 上任意一点都不在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问:椭圆 C2 是否存在
过左焦点 F1 的内切圆?若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设集合 W 由满足下列两个条件的数列 ?an ? 构成:①

an ? an ? 2 ? an ?1 ; ②存在实数 a , b 使 2

a ? an ? b 对任意正整数 n 都成立.
(1) 现在给出只有 5 项的有限数列 ?an ? , ?bn ? , 其中 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 8, a4 ? 9, a5 ? 12 ;

bk ? log2 k (k ? 1, 2,3, 4,5). 试判断数列 ?an ? ,?bn ? 是否为集合 W 的元素;
( 2 ) 数 列 ?cn ? 的 前 n 项 和 为 Sn , c1 ? 1,且 对 任 意 正 整 数 n, 点 (cn?1 , Sn ) 在 直 线

2 x ? y ? 2? 0 上,证明:数列 ?Sn ? ?W , 并写出实数 a , b 的取值范围;
(3) 设数列 ?dn ? ?W , 且对满足条件②中的实数 b 的最小值 b0 , 都有 dn ? b0 (n ? N * ). 求证: 数列 ?dn ? 一定是单调递增数列.

4

2016 年松江区高考数学(理科)二模卷 一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】 (1, 0) 【试题分析】抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 (

p , 0) ,抛物线 y 2 ? 4x 中 p ? 2 ,所以焦点 2

为 (1, 0) ,故答案为 (1, 0) . 2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,并集,补集. 【参考答案】 ( ? , 3) 【试题分析】解 |x - 1| <2 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A ? {x | 3 x ? 1 ? 0} ? (? , ??) ,

1 3

1 3

1 1 B ? {x | |x ? 1| ? 2}=( - 1,3) ,所以 A ? B ? (? ,3) ,故答案为 A ? B ? (? ,3) . 3 3
3. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】 1 ? i 【试题分析】因为

1? i 1 ? i i(1 ? i) ? ?i ,所以 z ? ? ? 1+i ,所以 z ? 1 ? i ,故答案为 1 ? i . z ?i ?i 2

5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】

2π 3

3 2 【试题分析】 3 arctan 3 arcsin
35 x
7

2

π 3 ? π 3 6

2 3

2π π π 2π ,故答案为 . ? 3? ? 2 ? ? 3 3 6 3

5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】

1 r ? 1? r 7?r r r 7? 2 r 【试题分析】 ? x ? ? 展开式的第 r 项为 Tr ?1 ? C7 x ? (? ) ? (? 1) C7 x ,其系数为 x x? ? 35 4 ?1 r x ? ,故答案 (?1)r C7 (0≤r≤7) ,当其最大时,取 r ? 4 ,所以系数最大的项为 T5 =C7 x 35 为 . x
5

6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】

1 2

【试题分析】 因为 0≤? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4≤4 , 所以 2≤y ? 4 ? ? x 2 ? 2 x ? 3≤4 ,

2 ( )n ? 2 a n ? 2bn 2n ? 2 ? 3n 1 = lim ? lim 3 所以 a ? 2, b ? 4 , lim n ? . n n n n ?? 3a ? 4b n ?? 3 ? 2 ? 4 ? 3 n ?? 2 3 ? ( )n ? 4 2 3
7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标; 图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【参考答案】 (3, ? ) 【试题分析】直线 ? =

π 6

π π 3 化为普通方程为 y ? x ,点 (3, ) 对应直角坐标系中的点为 2 6 3 ?b ? 3 3 ? ? ?1, ? 3 ? a 3 (0, 3) , 设点 (0, 3)关于直线 y ? ,解得 x 的对称的点为 ( a, b) ,则 ? 3 3 a b ? 3 ? ? ? ? 2 ? 3 2

? 3 3 a? , ? ? 2 ,所以点的坐标为 ( 3 3 , ? 3 ) ,化为极坐标系中的点为 (3, ? π ) . ? 6 2 2 ?b ? ? 3 ? ? 2
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计 的基本知识. 【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】

4 7
2 1 C5 C1 10 10 5 C2 , ? P ( ? =1)= = , 2 2 C7 21 C7 21

【试题分析】根据题意, ? 的取值为 0,1,2, P(? =0)=

P(? =2)=

4 10 1 4 C2 1 2 = ,所以 E? ? 1? ? 2 ? ? ,故答案为 . 2 7 21 21 7 C7 21

9.【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积; 函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】 ?8

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 AB ? BC ? CA ??? ? ??? ? ??? ? 【试题分析】因为 AB ? 3, BC ? 5, CA ? 2 2 ,所以 cos ?B ? ??? ? ??? ? 2 ? AB BC

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3?5?8 10 ? 0 , AB ? BC ? ? AB BC cos ?B ? 0 ,同理,可求得 cos ?C ? , 4 2? 3 ? 5
6

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 ??? , CA ? AB ? ?3 ,所以 AB ? BC ? BC ? CA ? CA? AB ? ?8 ,故 BC ? CA ? ?5 , cos ?A ? 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 答案为 ?8 .(或 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? AB ? BC - AC ? ?8 )
10. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计 的基本知识. 【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率. 【参考答案】4 或 7
2 【试题分析】从集合 A 中任取两个数的取法有 C10 ? 45 种,因为取到的两个数中一个数大

于 k,另一个数小于 k 的概率是

解得 k ? 4 或 7,故答案为 4 或 7. 11. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】 c ?

2 5 , 所以事件的可能有 45 ? =18 种, 即 (k ? 1)(10 ? k ) ? 18 , 5 2

6+ 2 2
a ? b
得,即

3 = n i s A n i s B 3 2 a sin c 6+ 2 a sin B 所以 c ? ,若填入“ b ? 2 ”,由 sin A ? = ? sin A 2 b 6+ 2 6+ 2 120°,故只能填入 c ? ,故答案为 c ? . 2 2
【试题分析】 由 B=45°, A=60°, 得 C=75°, 由

b , 所以 b ? 2 , 2 2 3 得 A=60°或 2

12.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、 判断和论证的能力. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. 【参考答案】200 【试题分析】等差数列 {an } 中的连续 10 项为 ax , ax +1 , ax?2 ,…, ax?9 ,( x ? N* ) ,遗漏的项为

(ax ? ax ?9 ) ?10 (a ? ax ? 18) ?10 ? ax ? n ? x ? ( a x ? 2n) 2 2 ? 9(3 ? 2 x ? 2) ? 2n ? 185 ,化简得 44≤9 x ? 43 ? n≤52 ,所以 x ? 5 , a5 ? 11 ,则连续 (11 ? 11+18) ?10 =200 ,故答案为 200. 10 项的和为 2

ax +n , n ? N* 且 1≤n≤9, 则

13.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程. 【参考答案】 1 ? 2 【试题分析】函数 F ( x) ? f ( x) ? a 有零点,则函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有交点,它们
a

) 的图像如图所示,当 x ? [0,1 时,图像无交点,当 ?1≤x≤0 时, ? x ?[0,1] ,所以

f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ,因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以
2

f ( x) ? ? f (? x) ? ? log 1 (? x ? 1) ,令 f ( x) ? ? log 1 (? x ? 1) ? a ,得 x ? 1 ? 2a ,当
2 2

7

x ? [1, ??) 时,由 f ( x) ? a 得 1? | x ? 3 |? a , |x ? 3|=1- a , x1 ? x2 ? 6 ,同理,可得当 x ? (??, ?1) 时, x3 ? x4 ? ?6 ,所以函数 F ( x) 的所有零点之和为 ?6 ? 1 ? 2a ? 6 ? 1 ? 2a ,
故答案为 1 ? 2 .
a

第 13 题图 apto2 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列; 方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.

(2n ? 1) 10 R 2 【试题分析】因为数列 {an } 是等差数列,所以 a2n?1 ? a4n?1 ? a2n?2 ? a4n ? …=2a3n?1 ,所以
【参考答案】
2 2 2 2 S ? (2n ? 1)a3n?1 ,又因为 a12 ? a2 n?1 ? (a3n?1 ? 3nd ) ? (a3n?1 ? nd ) ≤R ,即 2an?1 ? 8da3n?1 2 ?10n2 d 2 ? R≥0 , 关 于 d 的 二 次 方 程 10n2d 2 ? 8da3n?1 ? 2an ≥0 有 解 , 则 ?1 ? R 2 2 2 2 ?=( - 8a3n?1 )2 ? 40n2 (2an ≥0 ,化简得 (64 ? 80n2 )a3 ?1 ? R) n?1≥- 40n R ,所以 a3n ?1≤

40n 2 R 1 32 5R 10 R 10 R (2n ? 1) 10 R ? R( ? )≤ , ? ,所以 S≤ , ≤a3n?1≤ 2 2 80n ? 64 2 80n ? 64 2 2 2 2 (2n ? 1) 10 R 故答案为 . 2
二、选择题 15.【测量目标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 图形与几何/平面向量的坐标表示/向量平行与垂直的坐标关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件,必要条件,充分必要条件. 【正确选项】C 【 试 题 分 析 】 函 数 f ( x) ? (ax ? b)2 ? a x 2 ? 2a ? bx ? b , 若 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 , 则

?

?

?2

? ?

?2

? ? ? ? ? ? f ( x) ? f (? x) ,所以 a ? b ? 0 , a ? b ,充分性成立;反之由 a ? b 可得函数 f ( x) 是偶函
数,必要性也成立,所以“函数 f ( x) ? (ax ? b)2 为偶函数”是“ a ? b ”的充要条件,故 答案为 C. 16. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数. 【正确选项】B 【试题分析】当 x≥0 时, y ? 2 x≥0, x ?

?

?

?

?

y x ?1 ,所以 f ( x) ? , x≥0 ;当 x ? 0 时, 2 2 2 ?1 y ? ?x ? 0, x ? ? ? y ,所以 f ( x) ? ? ? x , x ? 0 ,故答案为 B.

17. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.

8

【正确选项】D 【试题分析】 设圆锥底面半径为 r , 则根据题意有 πr ? h ?
2

1 3

1 2 2 1 h π ? ( r ) 2 ? h ? π( 2 r )2 h2 , 3 3 3 3 h

化简得

3 3 h2 19 19 ? h ,所以 h ? h ,故答案为 D. 2 2 h 27 3

18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质; 图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程; 图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离. 【正确选项】C
2 【试题分析】因为方程 x ? mx ? m ? m=0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,所以 x1 ? mx1 ?
2 2

m ? m2 ,且 ? ? m2 ? 4(m2 ? m) ? 0 ,解得 0 ? m ?


4 ,因为 x1≠x2 ,所以直线 AB 的斜率 3

2 x12 ? x2 ? x1 ? x 2 = - m ,所以直线 AB 的方程为 y ? x12 ? ?m( x ? x1 ) ,则圆 x1 ? x2

( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心 (1, ?1) 到直线的距离 d ?
2 2

? m(1 ? x1 ) ? x12 ? 1 m2 ? 1

?

m2 ? 1 m2 ? 1

25 4 4 m4 ? 1 ? 2m2 , f (t )=t + ? 4 ,易 = (m2 ? 1) ? 2 ? 4 ,令 t ? m2 +1, 1 ? t ? = 2 9 t m ?1 m +1 25 25 知其在 (1, 2] 上单调递减,在 (2, ) 上单调递增,且 f (1) ? 1, f (2) ? 0, f ( ) ? 1 ,所以 9 9 0≤f (t ) ? 1, 0≤d ? 1 ,又圆的半径为 1,所以直线 AB 与圆相交,故答案为 C.
三、解答题 19. (本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 【测量目标】 (1)运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. (2)运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】 (1)函数与分析/三角函数/函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质. (2)函数与分析/三角函数/函数 y ? A sin(? x ? ?) 的图像和性质.

π 2 sin(2 x ? ) ? 1 , --------------3 分 4 π π π 由 2kπ ? ≤2 x ? ≤2kπ ? (k ? Z) ,得 2 4 2 3π π? ? f ( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? , kπ ? ? (k ? Z) . --6 分 8 8? ? π? ? (2)由已知, g ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , -------------9 分 4? ? π? ? 由 g ( x) ? 1 ,得 2 sin ? 2 x ? ? ? 0 , 4? ? kπ π ?x ? ? , k ? Z . -----------------------12 分 2 8
【参考答案】 (1) f ( x) ? 20.(本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 【测量目标】 (1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.

9

(2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】 (1)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. (2)图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】 (1)如图建立空间直角坐标系,

XHLD1 第 20 题图 则由题意得, A 0,0, a ? , B ?1,0,0? , B1 ?1,0, a ? , C1 ? 0,1, a ? , 1? 所以 A1 B ? ?1,0, ?a ? , B1C1 ? ? ?1,1,0 ? .------------3 分
0 0 设向量 AB 所成角为 ? ,则 ? ? 60 ,或 ? ? 120 , , BC 1 1 1

????

???? ?

???? ???? ?

由于 cos ? ? 分

1 0 o s ? ?? , 所以 ? ? 120 , 得c 解得 a ? 1. --------------6 ?0, 2 1? a ? 2
2

?1

(2)连接 B1C , AC , 1 则三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积等于三棱锥 C ? A1 B1 B 的体积, VB1 ? A1BC ? VC ? A1B1B ,

1 3 3 ? , △A ,???11 分 ? ( 2)2 ? 1 BC 的面积 S ? 2 4 2 又 CA ? A1 A, CA ? AB,? CA ? 平面 A1 B1C , 1 1 1 1 所以 VC ? A1B1B ? ? ? 1 ? ,所以 V B1 ? A1BC ? . ???14 分 3 2 6 6

△A1B1B 的面积 S ?

21. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 【测量目标】 (1) 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. (2)逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理,能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和 观点. 【知识内容】 (1)方程与代数/不等式/含有绝对值不等式的解法. (2)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】 (1) f ( x) ? 2x ? a ? a ? 6, 即 2x ? a ? 6 ? a.

?6 ? a ? 0, ?? ??6 ? a ? 2 x ? a ? 6 ? a, ?a ? 6, -----------------------------------------3 分 ? ?a ? 3 ? x ? 3,



10

?a ? 6, ? ? ?a ? 3 ? ?1, 即a ? 2. ---------------------------------------------------------?3 ? 3, ?
------------6 分 (2) a ? 2 时, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2. 若存在 x0 ? R, 使 f ( x0 )≤t ? f (? x0 ), 即 t≥f ( x0 ) ? f (? x0 ), ---------------------8 分 则

t≥? f ( x) ? f (?x)?min . ----------------------------------------------------------------10 分

? f ( x) ? f (?x) ? 2x ? 2 ? 2x ? 2 ? 4 ≥ (2x ? 2) ? (2x ? 2) ? 4 ? 8,


x ???1,1?











? t≥8,



t ??8, ?? ? .----------------------------------------14 分
22. (本题满分 16 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 7 分) 【测量目标】 (1) 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正 确性. (3)逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理,能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和 观点. 【知识内容】 (1)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (2)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (3)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质. 【参考答案】 (1)由题意得, c ? 1. 所以 a ? b ? 1,
2 2

又点 P (1, ) 在椭圆 C 上,所以 所 以 椭 圆

3 2

1 9 ? 2 ? 1, 解得 a2 ? 4, b2 ? 3, 2 a 4b C 的 标 准







x2 y 2 ? ? 1. ----------------------------------------------3 分 4 3
(2)由(1)知, C1 :

x2 3 y 2 ? ? 1, 设点 Q( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ), 4 4
4 , 3
① 直线 QN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

则直线 QM 的方程为 x2 x ? y2 y ?

4 , ② 3 4 , 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? ? 3 , 把点 Q 的坐标代入①②得 ? ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?

所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ?

11

令 y ? 0, 得 m ? 所以 x1 ?

4 4 , , 令 x ? 0, 得 n ? 3 x1 3 y1

4 4 , y1 ? , 又点 Q 在椭圆 C1 上, 3m 3n 1 1 3 4 2 4 ) ? 3( ) 2 ? 4, 即 2 ? 2 ? , 为定值. -------------------------------9 所以 ( 3m n 4 3m 3n


E 在 x 轴上, (3)由椭圆的对称性,不妨设 P 1 (m, n), P 2 (m, ?n), 由题意知,点
设点 E (t , 0), 则圆 E 的方程为 ( x ? t )2 ? y 2 ? (m ? t )2 ? n2 . ----------------------11 分 由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点 E 的距离的最小值是 PE , 1
2 2 设点 M ( x, y ) 是椭圆 C2 上任意一点,则 ME ? ( x ? t ) ? y ? 2

3 2 x ? 2tx ? t 2 ? 1, 4

当 x ? m 时, ME 最小,所以 m ? ?

2

?2t 4t ? . 3 3 2



假设椭圆 C2 存在过左焦点 F 的内切圆,则 (? 3 ? t )2 ? (m ? t )2 ? n2 . 又点 P1 在椭圆 C2 上,所以 n ? 1 ?
2



m2 . 4

③------------------------------------14

分 由①②③得 t ? ?

3 或 t ? ? 3, 2 4t ?4 3 3 符合题意. ? ? ?2, 不合题意,舍去,且经验证, t ? ? 3 3 2

当 t ? ? 3 时, m ?

综上,椭圆 C2 存在过左焦点 F 的内切圆,圆心 E 的坐标是 (?

3 , 0). ---------16 分 2

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 【测量目标】 (1)分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识(概念、定 理、性质和方法等) ,并能初步应用. (2)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略,解决有关数学问题. (3)数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究, 寻求数学对象的规律和联系;能正确地表述探究过程和结果,并予以证明. 【知识内容】 (1)方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. (2)方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. (3)方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法.

12

【参考答案】 (1) 对于数列 ?an ? , ? 不是集合 W 中的元素. 对于数列 ?bn ? , ?

a3 ? a5 ? 10 ? a4 , 不满足集合 W 的条件①, ? 数列 ?an ? 2

b1 ? b3 b ?b ? log 2 3 ? log 2 2 ? b2 , 2 4 ? log 2 8 ? log 2 3 ? b3 , 2 2

b3 ? b5 ? log 2 15 ? log 2 4 ? b4 , 而且,当 n ??1,2,3,4,5? 时有 log2 1≤bn≤log2 5, 显然满 2
足集合 W 的条件①②,故数列 ?bn ? 是集合 W 中的元素. -------------------4 分 (2)因为点 (cn?1 , Sn ) 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 2cn?1 ? Sn ? 2 ? 0 当 n≥2 时,有 2cn ? Sn?1 ? 2 ? 0 ②, ① ? ②,得 2cn?1 ? 2cn ? cn ? 0(n≥2), 所以,当 n≥2 时,有 cn ?1 ? 又 2c2 ? S1 ? 2 ? 0, S1 ? c1 ? 1, 所以 c2 ? 因 此 , 对 任 意 正 整 数 n, 都 有 ①,

1 cn . 2

1 1 ? c1. 2 2

1 cn ?1 1 ? , 所 以 , 数 列 ?cn ? 是 公 比 为 的 等 比 数 列 , 故 2 cn 2

1 1 , S n ? 2 ? n ?1 ? n ? N? ? . n ?1 2 2 S ? Sn? 2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? Sn ?1 , 且 1≤Sn ? 2, 故 ?Sn ? ?W , 对任意正整数 n, 都有 n 2 2 2 2 cn ?
实数 a 的取值范围是 ? ??,1? , 实数 b 的取值范围是 ? 2, ??? . -------------------10 分 (3)假设数列 ?dn ? 不是单递增数列,则一定存在正整数 k0 , 使 dk0 ≥dk0 ?1. ------12 分 此时,我们用数学归纳法证明:对于任意的正整数 n, 当 n≥k0 时都有 dn≥dn?1 成立. ① n ? k0 时,显然有 dn≥dn?1 成立; ②假设 n ? m(m≥k0 ) 时, dm≥dm?1 , 则 当 n ? m ?1 时 , 由

d m ? d m? 2 ? d m?1 可 得 dm?2 ? 2dm?1 ? dm , 从 而 有 2

dm?1 ? dm?2 ? dm?( 2 1?
由 ①② 知

dm?1 ?? ) d dm 0, 所以 dm?1 ? dm?2 . m ? dm?1≥
, 对 任 意 的

n≥k0 ,





dn≥dn?1. -----------------------------------------16 分
显然 d1 , d2 ,?, dk0 这 k0 个值中一定有一个最大的,不妨记为 d n0 . 于是 dn0 ≥dn (n ? N ), 从
*

13

而 dn0 ? b0 , 与已知条件 dn ? b0 (n ? N* ) 相矛盾. 所以假设不成立,故命题得证.------------------------------------------18 分

14


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