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2014届高考数学一轮复习 第33讲《等差、等比数列的综合应用》热点针对训练 理


第33讲

等差、等比数列的综合应用
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1.(2012· 三明市上学期联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 S n,a2、a4 是方程 x -x -2=0 的两个根,S5=( A ) 5 A. B.5 2 5 C.- D.-5 2 ? a1+a5? ×5 5 2 解析:a2、a4 是方程 x -x-2=0 的两个根,a2+

a4=1,S5= = ,故选 A. 2 2 2.(2013· 石 家 庄 市 质 检 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} , a1·a9 = 16 , 则 a2·a5·a8 的值( D ) A.16 B.32 C.48 D.64 2 解析: 等比数列{an}, 1·a9=a2·a8=a5=16, a 各项均为正数, 所以 a5=4, 所以 a2·a3·a8 3 3 =a5=4 =64,即 a2·a5·a8 的值为 6 4,故选 D. 3.(2012·山西省大同市 高三学情调研)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9, S6=36,则 a7+a8+a9=( D ) A.9 B.16 C.36 D.45 解析: 由等差数列的性质可知 a7+a8+a9=2(S6-S3)-S3=2×27-9=45,故选 D. 4.(2013·长春市调研测试)等差数列{an}的公差为 3,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 a4=( C ) A.8 B.10 C.12 D.16 解析:令首项为 a, 2 根据条件有(a+9) =(a+3)(a+21)? a=3, a4=3+3×3=12,故选 C. 5.(2013·湖南省长沙市第二 次模拟)在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则 a7+a8= 240 . 解析:由等比数 列性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列,由已知条件知公 比为 2, 3 3 所以 a7+a8=(a1+a2)·q =30×2 =240. 6.(2012·温州十校联合体期末联考)已知 1,a1,a2,9 成等差数列,1,b1,b2,b3,9 成等比数列 ,且 a1,a2,b1,b2,b3 都是实数, 则(a2-a1)b2= 8 . 8 解析:由 1,a1,a2,9 成等差数列,可得 a2-a1= , 3 由 1,b1,b2,b3,9 成等比数列, 可得 b2>0,且 b2=3,所以(a2-a1)b2=8. 1 7.(2012·浙江杭州市七校联考)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数 an+1 1 列,则 a11= . 2 1 1 1 解析:由等差数列的性质知 , , 成等差数列, a3+1 a7+1 a11+1 2 1 1 则 = + , a7+1 a3+1 a11+1 2 1 1 1 即 = + ,解得 a11= . 1+1 2+1 a11+1 2 8.(2012·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14, 且 a1,a3,a7 恰为等比数列{bn}的前三项.
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(1)分别求数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn; (2)记为数列{anbn}的前 n 项和为 Kn,设 cn=

SnTn * ,求证:cn+1>cn(n∈N ). Kn

?4a1+6d=14 ? 解析:(1)设公差为 d,则? , 2 ? ?? a1+2d? =a1? a1+6d? 解得 d=1 或 d=0(舍去),a1=2, n? n+3? n n+1 所以 an=n+1,Sn= ,bn=2 ,Tn=2 -2. 2 1 2 n (2)因为 Kn=2·2 +3·2 +…+(n+1)·2 ,① 2 3 n n+1 故 2Kn=2·2 +3·2 +…+n·2 +(n+1)·2 ,② ①-②,得 1 2 3 n n+1 -Kn=2·2 +2 +2 +…+2 -(n+1)·2 , SnTn ? n+3? ? 2n-1? n+1 所以 Kn=n·2 ,则 cn= = , n+1 Kn 2 n+1 n n+1 ? n+4? ? 2 -1? ? n+3? ? 2 -1? 2 +n+2 cn+1-cn= - = >0, n+2 n+1 n+2 2 2 2 * 所以 cn+1>cn(n∈N ). 2 9.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a5. (1)求数列{an}的通项公式; n2+n+1 (2)若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. an·an+1 解析:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0). 2 因为 a1,a3,a9 成等比数列,所以 a3=a1a9, 2 2 所以(a1+2d) =a1(a1+8d),所以 d =a1d. 因 为 d>0,所以 a1=d.① 5×4 2 2 因为 S5=a5,所以 5a1+ ·d=(a1+4d) .② 2 3 由①②解得 a1=d= . 5 3 3 3 * 所以 an= +(n-1) × = n(n∈N ). 5 5 5 n2+n+1 (2)bn= 3 3 n· ? n+1? 5 5 2 25 n +n+1 = · 9 n? n+1? 25 1 1 = (1+ - ). 9 n n+1 所以 b1+b2+b3+…+b99 25 1 1 1 1 1 1 1 = (1+1- +1+ - +1+ - +…+1+ - ) 9 2 2 3 3 4 99 100 25 1 = (99+1- ) 9 100 =275+2.75=277.75.

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