nbhkdz.com冰点文库

湖北省黄石市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


湖北省黄石市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 tanα、tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)=() A.﹣3 B. 3 C.﹣1 D.1 2.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},集合 B

={y|y=( ) },x<1},则 A∩B=() A.{y|y> } B.{y|{0<y< } C.{y|y>1} D.{y| <y<1}
x 2

3.等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3=() A.±2 B. 2 C.﹣2

D.±

4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α.则 m∥n B. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 5.把函数 y=sin(2x﹣ A.y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位,所得图象的函数解析式是() ) D.y=sin(2x+ )

) B.y=sin(2x﹣

) C.y=sin(2x﹣

6.在△ ABC 中,AB=6,O 为△ ABC 的外心,则 A. 7.函数 f(x)=log A.(﹣∞,1) 8.若 0<α< () A. B. ﹣ C. ,﹣ B.18
2

等于() D.6

C.12

(x ﹣4x+3)的递增区间是() B.(3,+∞) <β<0,cos( C.(2,+∞) +α)= ,cos( ﹣ D.(﹣∞,2) )= ,则 cos(α+ )=

D.﹣

9.直线 xcosθ+y﹣m=0(θ∈R)的倾斜角 α 的范围是()

A.[0,π] ( , ]

B. [

]

C.[0,

]∪[

,π) D. [



)∪

10. 已知直线 l: Ax+By+C=0 (A, B 不全为 0) , 两点 P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , 若 (Ax1+By1+C) ( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l() A.与直线 P1P2 不相交 B. 与线段 P2P1 的延长线相交 C. 与线段 P1P2 的延长线相交 D.与线段 P1P2 相交 11.偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1,则关于 x 的 方程 f(x)=lg(x+1) ,在 x∈[0,9]上解的个数是() A.7 B. 8 C. 9 D.10 12.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 平面 BED 的距离为() A.1 B. C. ,E 为 CC1 的中点,则点 C 到 D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角 形,则该几何体的外接球体积为.

14.已知单位向量



的夹角为 α,且 cosα= ,若向量 =3

﹣2

,则| |=.

15.函数

,等比数列{an}中,a2?a5?a8=8,则 f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=.

16.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|﹣3≤x≤8,且 x≠5},值域为{y|﹣1≤y≤2,且 y≠0}.下列 关于函数 y=f(x)的说法:①当 x=﹣3 时,y=﹣1;②点(5,0)不在函数 y=f(x)的图 象上;③将 y=f(x)的图象补上点(5,0) ,得到的图象必定是一条连续的曲线;④y=f(x) 是[﹣3,5)上的单调函数.⑤y=f(x)的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说 法的序号为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)= sin2x﹣cos x+ ,x∈R.
2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[0,π]时,求函数 f(x)的单调递增区间. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos2C+2cos(A+B)+ =0,a+b=5, c= . (1)求角 C 的大小; (2)求△ ABC 的面积. 19.某人准备租一辆车从黄石出发去武汉,已知从出发点到目的地的距离为 100km,按交通 法规定,这段公路车速限制在 60≤x≤120(单位:km/h)之间.假设目前油价为 7.0(单位: 元/L) ,汽车的耗油率为 3+ (单位:L/hH) ,其中 x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,

耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为 141 元,不考虑其它费用, 这次租车的总费用最少是多少?此时的车速 x 是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的 工资) 20.如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

21. 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 a14 恰好是等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N , (T 数 k 的取值范围.
*

且 a2, a5,

)k≥3n﹣6 恒成立,求实

22.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一 次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需

配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元. 该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数, 可得最大利润,最大利润是多少元?

湖北省黄石市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 tanα、tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)=() A.﹣3 B. 3 C.﹣1 D.1 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanα, tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, 利用根与系数的关系分别求出 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值,然后将 tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值代入即可求出值. 2 解答: 解:∵tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, ∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2, 则 tan(α+β)= = =﹣3.
2 2

故选:A. 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式, 以及根与系数的关系, 利用了整体代入的 思想,熟练掌握公式是解本题的关键.
x

2.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},集合 B={y|y=( ) },x<1},则 A∩B=() A.{y|y> } B.{y|{0<y< } C.{y|y>1} D.{y| <y<1}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解对数函数和指数函数的值域化简集合 A 与 B,取交集得答案. 解答: 解:∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, B={y|y=( ) },x<1}={y|y 则 A∩B={y|y> }. 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了指数函数和对数函数的值域,是基础题. 3.等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3=()
x

},

A.±2

B. 2

C.﹣2

D.±

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质进行求解即可. 2 解答: 解:在等比数列中,a1a5=(a3) =4, 2 2 ∵a3=a1q =q >0, ∴a3=2, 故选:B. 点评: 本题主要考查等比数列项的求解, 根据等比数列的性质是解决本题的关键. 注意等 比数列的符号问题. 4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是() A.若 m∥α,n∥α.则 m∥n B. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 空间中直线与直线之间的位置关系; 平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A 根据线面平行的性质判断.B 利用线面垂直的性质判断.C 利用线面平行和面面 平行的判定定理判断.D 利用面面垂直的性质定理判断. 解答: 解:A.平行于同一平面的两条直线不一定平行,可能相交,可能异面,∴A 错误. B.垂直于同一平面的两条直线平行,∴B 正确. C.平行于同一条直线的两个平面的不一定平行,可能相交,∴C 错误. D.垂直于同一平面的两个平面不一定平行,可能相交,∴D 错误. 故选:B. 点评: 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断, 要求熟练掌握相应的 判定定理和性质定理.

5.把函数 y=sin(2x﹣ A.y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位,所得图象的函数解析式是() ) D.y=sin(2x+ )

) B.y=sin(2x﹣

) C.y=sin(2x﹣

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数图象平移的法则,写出函数图象向左平移 数解析式即可. 解答: 解:函数 y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 )﹣ ) , 个单位, 个单位,图象对应的函

所得图象的函数解析式是 y=sin(2(x+

即 y=sin(2x+



)=sin(2x+

) .

故选:D. 点评: 本题考查了三角函数图象平移的问题, 解题时应明确图象平移的方法是什么 (即左 +右﹣) ,是基础题.

6.在△ ABC 中,AB=6,O 为△ ABC 的外心,则 A. B.18 C.12

等于() D.6

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用三角形外心的性质以及向量的数量积,得 算可得. 解答: 解:∵AB=6,O 为△ ABC 的外心, ∴ = = × × = ×36=18; = ,计

故选 B. 点评: 熟练掌握三角形外心的性质、 线段的垂直平分线的性质、 向量的运算法则是解题的 关键. 7.函数 f(x)=log A.(﹣∞,1) (x ﹣4x+3)的递增区间是() B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(﹣∞,2)
2

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 采用换元法求函数的值域, 即先令 t=x ﹣4x+3, 按照复合函数单调区间的求法进行 即可,得到答案. 解答: 解:令 t=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1, 2 2 2 由 x ﹣4x+3>0 得 x<1 或 x>3,因为函数 t=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1 的对称轴为 x=2,开 口向上, 所以 t=t=x ﹣4x+3 在(﹣∞,1)上递减,在(3,+∞)递增,又函数 y=
2 2 2

是定义域内

的减函数. 所以原函数在(﹣∞,1)上递増. 故选:A. 点评: 本题考查了复合函数单调区间的求法, 一般的先求函数的定义域, 然后确定内外函 数并研究各自的单调性,再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调性. 8.若 0<α< () ,﹣ <β<0,cos( +α)= ,cos( ﹣ )= ,则 cos(α+ )=

A.

B. ﹣

C.

D.﹣

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin( 而利用 cos(α+ )=cos[( ,﹣ < = ﹣ +α)﹣( <β<0, < ﹣ ﹣ )= )]=cos( = +α)cos( ﹣ )+sin( +α) ﹣ +α)和 sin( ﹣ )的值,进

)]通过余弦的两角和公式求得答案.

解答: 解:∵0<α< ∴ < + α< +α)= )=cos[( )= ,

∴sin(

,sin( +α)﹣(

∴cos(α+ sin( 故选 C ﹣

点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.关键是根据 cos(α+ =cos[( +α)﹣( ﹣ )],巧妙利用两角和公式进行求解.



9.直线 xcosθ+y﹣m=0(θ∈R)的倾斜角 α 的范围是() A.[0,π] ( , ] B. [ ] C.[0, ]∪[ ,π) D. [ , )∪

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线 xcosθ+y﹣m=0 的斜率 k=﹣cosθ∈[﹣1,1],得﹣1≤tanα<0 或 0≤tanα≤1,由 此能求出直线 xcosθ+y﹣m=0 的倾斜角范围. 解答: 解:直线 xcosθ+y+m=0 的斜率 k=﹣cosθ∈[﹣1,1], ∴﹣1≤tanα<0 或 0≤tanα≤1, ∴ ≤α<π 或 0≤α≤ . ]∪[ ,π) .

∴直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是[0,

故选:C. 点评: 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法, 是基础题, 解题时要注意直线的斜率的 合理运用.

10. 已知直线 l: Ax+By+C=0 (A, B 不全为 0) , 两点 P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , 若 (Ax1+By1+C) ( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l() A.与直线 P1P2 不相交 B. 与线段 P2P1 的延长线相交 C. 与线段 P1P2 的延长线相交 D.与线段 P1P2 相交 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用题中条件: (1) (Ax1+By1+C) (Ax1+By1+C)>0 的含义:点在直线的同侧; (2)|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|的含义:点到直线的距离的大小关系.即可得出答案. 解答: 解: :∵(Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)>0,表示两点在直线的同一旁, 又∵|Ax1+By1+C|<|Ax1+By1+C|表示 P1 到直线的距离小于 P2 到直线的距离, 所以 P1P2 直线不会与直线平行(否则距离相等) , 并且 P1 到直线的距离小,所以在线段 P2P1 方向的延长线上会与直线相交, 故选 B. 点评: 本题就是考查线性规划问题、点到直线的距离公式、二元一次不等式(组)与平面 区域等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 11.偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1,则关于 x 的 方程 f(x)=lg(x+1) ,在 x∈[0,9]上解的个数是() A.7 B. 8 C. 9 D.10 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 首先有已知条件推导函数 f(x)的性质,再利用函数与方程思想把问题转化,数 形结合,即可得解 解答: 解:设 y1=f(x) ,y2=lg(x+1) 方程 f(x)=lg(x+1)在 x∈[0,9]上解的个数,即为函数 y1=f(x) ,y2=lg(x+1)的图象在 x∈[0,9]上交点的个数 ∵f(x﹣1)=f(x+1) ∴f(x)=f(x+2) ∴原函数的周期 T=2 又∵x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1 由以上条件,可画出 y1=f(x) ,y2=lg(x+1)在 x∈[0,9]的图象: 又因为当 x=9 时,y1≤1,y2=1 ∴结合图象可知,在[0,9]上 y1=f(x) ,y2=lg(x+1)的图象共有 9 个交点 ∴在[0,9]上,原方程有 9 个根 故选 C

点评: 本题主要考查了函数的性质, 同时考查了转化的思想和函数与方程思想, 数形结合 思想,属较难题 12.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 平面 BED 的距离为() A.1 B. C. ,E 为 CC1 的中点,则点 C 到 D.2

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用等体积法求点面距离,即可求出点 C 到平面 BED 的距离. 解答: 解:设点 C 到平面 BED 的距离为 h,则 △ BDE 中,BD=2 ,BE= ,DE= , ∴S△ EBD= ×2 × =2 =

在三棱锥 C﹣BDE 中,

∴h=1 故选:A. 点评: 本题主要考查了三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角 形,则该几何体的外接球体积为 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的一个侧面与底面垂直,画出其直观图,根 据正视图、 侧视图和俯视图都是等腰直角三角形求得外接球的半径, 代入球的体积公式计算. 解答: 解: 由三视图知几何体为三棱锥, 且三棱锥的一个侧面与底面垂直, 其直观图如图:

O 为 BD 的中点, ∵正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形, ∴OA=OB=OC=OD,∴几何体的外接球的半径为 1, ∴外接球的体积 V= 故答案为: . ×1 =
3



点评: 本题考查了由三视图求几何体外接球的体积, 解题的关键是根据三视图判断几何体 的性质,求得外接球的半径.

14.已知单位向量



的夹角为 α,且 cosα= ,若向量 =3

﹣2

,则| |=3.

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义求出 解答: 解: ∴| |=3, 故答案为:3. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题. =9 的值,从而得到| |的值. =9,

15.函数 ﹣9.

,等比数列{an}中,a2?a5?a8=8,则 f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=

考点: 等比数列的性质. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质求出 a5=2,然后根据对数的运算法则进行化简计算即可得到 结论.

解答: 解:等比数列{an}中,a2?a5?a8=8, 3 ∴(a5) =8,即 a5=2, ∵函数 =log2x﹣2,

∴f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=(log? 2a1+…+log? 2a9)﹣2×9 = =9﹣18=﹣9,

故答案为:﹣9. 点评: 本题主要考查等比数列的性质以及对数的运算法则, 要求熟练掌握相应的运算公式 和性质. 16.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|﹣3≤x≤8,且 x≠5},值域为{y|﹣1≤y≤2,且 y≠0}.下列 关于函数 y=f(x)的说法:①当 x=﹣3 时,y=﹣1;②点(5,0)不在函数 y=f(x)的图 象上;③将 y=f(x)的图象补上点(5,0) ,得到的图象必定是一条连续的曲线;④y=f(x) 是[﹣3,5)上的单调函数.⑤y=f(x)的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说 法的序号为②③. 考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的概念和性质分别进行判断即可. 解答: 解:①当 x=﹣3 时,y=﹣1,不一定正确; ②点(5,0)不在函数 y=f(x)的图象上,正确; ③将 y=f(x)的图象补上点(5,0) ,得到的图象必定是一条连续的曲线,正确; ④y=f(x)不一定是[﹣3,5)上的单调函数,因此不正确; ⑤y=f(x)的图象与坐标轴交点个数不确定. 综上可知:②③正确, 故答案为:②③ 点评: 本题考查了函数的图象与性质, 结合函数定义域和值域之间的关系是解决本题的关 键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)= sin2x﹣cos x+ ,x∈R.
2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[0,π]时,求函数 f(x)的单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2x﹣ ) ,

利用三角函数的周期性及其求法即可得解. (2)根据(1)中函数的解析式及 x∈[0,π],求出相位角的范围,结合正弦函数的单调性, 可得 f(x)的单调递增区间.

解答: 解: (1)∵f(x)= = = sin2x﹣ sin2x﹣ cos2x ) , +

sin2x﹣cos x+

2

=sin(2x﹣

∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)当 x∈[0,π]时,2x﹣ ∵2x﹣ 此时 x∈[ ∈[ , , ]和[ ∈[ , ,π], ,

. ]

]时,函数为增函数,

]或 x∈[

故当 x∈[0,π]时,f(x)的单调递增区间为[



] 和[

,π].

点评: 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的周期性及其求法, 三 角函数的图象和性质,属于基本知识的考查. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos2C+2cos(A+B)+ =0,a+b=5, c= . (1)求角 C 的大小; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1) 根据三角形的内角和, 得到 A+B=π﹣C, 然后结合二倍角公式化简 cos2C+2cos (A+B)+ =0,求出 cosC 的值,即可求出结果. (2)利用余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,结合条件 a+b=5,求出 a,b 的值,再由三角形的 面积公式计算可得. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,A+B=π﹣C, 由已知,得(2cos C﹣1)+2cos(π﹣C)+ =0, 整理,得 4cos C﹣4cosC+1=0 解得:cosC= , 又∵0<C<180° ∴C=60°; 2 2 2 (2)由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC, 2 2 2 即( ) =a +b ﹣2?abcos60°,①
2 2 2 2 2

a+b=5,② 解得 b=3,a=2 或 a=3,b=2. ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×2×3× = .

点评: 本题考查了余弦定理、 面积公式以及三角函数的化简, 考查运算能力, 属于中档题. 19.某人准备租一辆车从黄石出发去武汉,已知从出发点到目的地的距离为 100km,按交通 法规定,这段公路车速限制在 60≤x≤120(单位:km/h)之间.假设目前油价为 7.0(单位: 元/L) ,汽车的耗油率为 3+ (单位:L/hH) ,其中 x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,

耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为 141 元,不考虑其它费用, 这次租车的总费用最少是多少?此时的车速 x 是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的 工资) 考点: 专题: 分析: 解答: 函数模型的选择与应用. 函数的性质及应用. 根据题意列出总费用的表达式,利用基本不等式计算即得结论. 解:根据题意,设总费用为 f(x) ,则: +7? ?(3+ )= +2x,60≤x≤120, =2x 即 x=90 时取等号,

f(x)=141? ∵ +2x≥2

=360,当且仅当

∴当车速为 90 时,租车的总费用最少,为 360 元. 点评: 本题主要考查基本不等式在最值中的应用, 主要函数的定义域以及检验等号成立的 条件,属于中档题. 20.如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明:CD⊥平面 ABD,只需证明 AB⊥CD; (Ⅱ)利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ ABM?CD,即可求出三棱锥 A﹣MBC 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD,

∴AB⊥CD, ∵CD⊥BD,AB∩BD=B, ∴CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)解:∵AB⊥平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴AB⊥BD. ∵AB=BD=1, ∴S△ ABD= , ∵M 为 AD 中点, ∴S△ ABM= S△ ABD= , ∵CD⊥平面 ABD, ∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ ABM?CD= .

点评: 本题考查线面垂直,考查三棱锥 A﹣MBC 的体积,正确运用线面垂直的判定定理 是关键. 21. 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 a14 恰好是等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N , (T 数 k 的取值范围. 考点: 数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 得,当 n≥2 时, ,
*

且 a2, a5,

)k≥3n﹣6 恒成立,求实

两式相减并化简,得数列{an}为等差数列,再由题目中其他条件计算出{an}、{bn}的通项公 式. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 计算得到 Tn= , 再进行参数分离, 将题中不等式转化为:

对 n∈N 恒成立,令 cn= 解答: (Ⅰ)由题意, 当 n≥2 时, ∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=

*

,作差确定数列的单调性,求出数列的最小值即可.

, , , ,

又 an>0,∴an+1=an+2. ∴当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等差数列. 又 a2,a5,a14 构成等比数列, , ,解得 a2=3, 由条件可知, ,∴a1=1,

又 a2﹣a1=3﹣1=2, ∴{an}是首项 a1=1, 公差 d=2 的等差数列. 数列{an} 的通项公式为 an=2n ﹣1, 则 b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,且{bn}是等比数列, ∴数列{bn}的通项公式为 .

(Ⅱ)

=

=





对 n∈N 恒成立,

*



对 n∈N 恒成立,

*

令 cn=

,cn﹣cn﹣1=

=

,当 n≤3 时,cn>cn﹣1,当 n≥4

时,cn<cn﹣1, ∴ ∴ . ,

点评: 本题是对数列知识的考查, 其中“迭代”思想是数列中最常见的思想, 本题也不例外; 在第二问的处理中,对于数列 cn= 合性题型常用的方法. 22.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一 次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元. 该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数, 可得最大利润,最大利润是多少元? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. ,通过作差研究数列的单调性也是与数列相关的综

分析: 我们设派 x 辆甲卡车,y 辆乙卡车,利润为 z,根据题意中运输公司有 12 名驾驶员 和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车, 某天需送 往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需载满且只能送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡需配 1 名工人;没送一次可得利润 350 元,我们易构造出 x,y 满足的约束条件,及目标函数,画出满足条件的平面区域,利 用角点法即可得到答案. 解答: 解:设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,获得的利润为 z 元,z=450x+350y…

由题意,x、y 满足关系式

作出相应的平面区域如图阴影部分所示… z=450x+350y=50(9x+7y) 由 得交点(7,5)…

∴当 x=7,y=5 时,450x+350y 有最大值 4900 答:该公司派用甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,获得的利润最大,最大为 4900 元…

点评: 在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等 式组,即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系 ?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中.


湖北省黄石市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省黄石市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合...

湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,...

湖北省黄石市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

湖北省黄石市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合...

湖北省黄石市示范高中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

湖北省黄石市示范高中2014-2015学年高一学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育...(1)的条件下,求函数 g(x) ,在区间上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f...

湖北省襄阳市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省襄阳市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每小题只有一个选项符合题意) 2 1.不等式 x <x+...

湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。...湖北省黄石市2014-2015学... 暂无评价 16页 5下载券 湖北省荆门市2014-2015...

湖北省黄石市四校联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

湖北省黄石市四校联考 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷一.选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项...

湖北省黄石市示范高中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

湖北省黄石市示范高中2014-2015学年高一学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育...(1)的条件下,求函数 g(x) ,在区间上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f...

湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省部分重点中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1. (5 分)若 a<b<0,则下列不等式中不能成立的...

湖北省荆门市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

湖北省荆门市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。湖北省荆门市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,...