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【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练21 三角恒等变换


考点巩固训练 21 三角恒等变换 一、选择题 1.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( ). 1 2 A.2 B. 2 3 3 C. 3 D. 2 4 ?π ? 2.已知 tan α=-3,则 tan?4-α?的值为( ). ? ? 1 1 A.-7 B.7 C.-7 D.7 4 3.已知 sin θ=5,sin θ-cos θ>1,则 sin 2θ=( ). 24 12

A.-25 B.-25 4 24 C.-5 D.25 π? 1 π? 2 ? ? 4.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,则 tan?α+4?=( ). ? ? ? ? 13 13 3 1 A.18 B.22 C.22 D.6 π? ? 4π? ? ? ? 5.已知向量 a=?sin?α+6?,1?,b=(4,4cos α- 3),若 a⊥b,则 sin?α+ 3 ?= ? ? ? ? ? ? ( ). 3 1 3 1 A.- 4 B.-4 C. 4 D.4 6.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 θ 为( ). π A.kπ,(k∈Z) B.kπ+6,(k∈Z) π π C.kπ+3,(k∈Z) D.-kπ-3,(k∈Z) 7.(四川高考)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连 结 EC,ED,则 sin∠CED=( ).

3 10 A. 10 5 C. 10 二、填空题

10 B. 10 5 D. 15

2sin2α+1 8.已知 tan α=2,则 sin 2α =__________.
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π? ? 9.函数 f(x)=sin?2x-4?-2 2sin2x 的最小正周期是__________. ? ? π? 4 α ? 10.若 sin(π-α)=5,α∈?0,2?,则 sin 2α-cos22的值等于__________. ? ? 三、解答题 11.设函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x-1(x∈R) (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期; π? ? (2)若 x∈?0,2?,求函数 f(x)的最大值与最小值. ? ? α+β β? α? 5 4 π π ? ? 12.已知 cos?α-2?=-5,sin?β-2?=13,且2<α<π,0<β<2,求 cos 2 的 ? ? ? ? 值.

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参考答案 一、选择题 2 1.B 解析:1-2sin222.5° =cos 45° =2. π ? 4? tan4-tan α ?-3? 1 - ? ? ?π ? 2.A 解析:tan?4-α?= = =-7. π ? ? ? 4? 1+tan4·tan α 1+?-3? ? ? 3.A 解析:由题意知 cos θ<0, 4 3 又 sin θ=5,∴ cos θ=-5, 24 故 sin 2θ=2sin θcos θ=-25. π? π ? 4.C 解析:因为 α+4=(α+β)-?β-4?, ? ? π? ? 所以 tan?α+4? ? ? π?? ? ? =tan?(α+β)-?β-4?? ? ? ?? ? π? tan(α+β)-tan?β-4? ? ? 3 = =22. π ? ? 1+tan(α+β)tan?β-4? ? ? 故选 C. π? ? 5 . B 解析: a· b = 4sin ?α+6? + 4cos α- 3 = 2 3sin α+ 6cos α - 3 = 4 3 ? ? π? ? sin?α+3?- 3=0, ? ? π? 1 ? ∴ sin?α+3?=4. ? ? 4π? π? 1 ? ? ∴ sin?α+ 3 ?=-sin?α+3?=-4.故选 B. ? ? ? ? π? ? 6.D 解析:f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2cos?3x-θ+6?,由函数为奇函 ? ? π π π 数得-θ+6=kπ+2(k∈Z),解得 θ=-kπ-3(k∈Z),故选 D. π 7.B 解析:因为四边形 ABCD 是正方形,且 AE=AD=1,所以∠AED=4. 又因为在 Rt ? EBC 中,EB=2,BC=1, 5 2 5 所以 sin∠BEC= 5 ,cos∠BEC= 5 . ?π ? 于是 sin∠CED=sin?4-∠BEC? ? ? π π =sin4cos∠BEC-cos4sin∠BEC 2 2 5 2 5 10 = 2 × 5 - 2 × 5 = 10 .故选 B.
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二、填空题 2sin2α+1 3sin2α+cos2α 13 8. 4 解析: sin 2α = 2sin αcos α 3tan2α+1 3×22+1 13 = 2tan α = =4. 2×2 2 2 9. π 解析:f(x)= 2 (sin 2x-cos 2x)- 2(1-cos 2x)= 2 (sin 2x+cos 2x)- 2 π? 2π ? =sin?2x+4?- 2,故 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ? ? 4 4 10.25 解析:∵sin(π-α)=5, 4 ∴ sin α=5. π? ? 又∵α∈?0,2?, ? ? 3 ∴ cos α=5. 1+cos α α ∴ sin 2α-cos22=2sin αcos α- 2 3 1+5 4 3 4 =2×5×5- 2 =25. 三、解答题 π? ? 11.解:(1)∵f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x-1=cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+6?, ? ? ∴ 函数 f(x)的最小正周期 T=π. π π π 7π (2)∵0≤x≤2,∴ 6≤2x+6≤ 6 , π? 1 ? ∴ -2≤sin?2x+6?≤1, ? ? π? ? ∴ -1≤2sin?2x+6?≤2, ? ? π 7π ∴ 当 2x+6= 6 , π 即 x=2时,f(x)min=-1; π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=2. 6 2 6 π π 12.解:∵2<α<π,0<β<2, β ?π ? α ? π π? ∴ α-2∈?4,π?,β-2∈?-2,4?. ? ? ? ? β? β? 3 ? ? ∴ sin?α-2?= 1-cos2?α-2?=5, ? ? ? ? α? α? 12 ? ? cos?β-2?= 1-sin2?β-2?=13. ? ? ? ?

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β? ? α? α+β ? ∵?α-2?+?β-2?= 2 , ? ? ? ? α+β ∴ cos 2 β? ? α?? ?? =cos??α-2?+?β-2?? ?? ? ? ?? β α β? α? ? ? ? ? ? ? =cos?α-2?cos?β-2?-sin?α-2?·sin?β-2? ? ? ? ? ? ? ? ? 63 ? 4? 12 3 5 =?-5?×13-5×13=-65. ? ?

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