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2015届山西省太原市第五中学高三五月月考试卷 数学(文)

时间:2016-01-15


2015 届山西省太原市第五中学高三五月月考试卷

数学(文)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 选项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? ?1,2, ? , B ? y | y ? x 2 , x ? A , 则 A ? B ? (

? ?

1? 2?

?

?



A.

?1 ? ? ? ?2?

B.

?2?

C. ?? 1

D.

?
)

2. 在复平面内,复数 z ? 2 A.- 5 2 B. 5

2i 的共轭复数的虚部为( ? 1 ? 2i
2 D.- 5 i

2 C.5 i

3.将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移

? 个 8

单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取

? ? ? C. 0 D. 4 4 4.阅读程序框图,若输入 m ? 4, n ? 6 ,则输出 a , i 分别( ) A. a ? 12, i ? 3 B. a ? 12, i ? 4 C. a ? 8, i ? 3 D. a ? 8, i ? 4 2 2 x y 5. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆 a b 与 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 相 交 于 O, A 两 点 , 且 | OA |? 2 | AF | , 则 双 曲 线 的 离 心 率 等 于
值为( )A.

3? 4

B.

5 2 6.已知 {an } 是由正数组成的等比数列, S n 表示 {an } 的前 n 项的和.若 a1 ? 3
( )A.

3

B.

5

C.

3 2

D.

a2 a4 ? 144,则 S10 的值是(

)

A.511 B.1023 C. 1533 D. 3069 7.下列说法正确的是( ) A.命题“若 x ? 1 , 则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? 1 , 则 x ? ?1 或 x ? 1 ”; B.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”;
x x

C.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? (ax ? 1) x

在区间 ( ??,0) 上单调递减”的充要条件;
3 2

D.已知命题 p : ?x ? R, ln x ? lg x ;命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 1 ? x0 为真命题”. 8. 某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图 都是边长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为( )

, 则 “ (?p ) ? (?q )

侧视图

俯视图

A.

4? 3

B.

3? 2

C. ?

D. 3?

9. 已知点 M 是 A. 3

ABC 的重心,若 A=60°, AB ? AC ? 3 ,则 | AM | 的最小值为( ) B. 2 C.

2 6 3

D.2

10.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀” “合格” “不合格”.若学生甲 的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙 成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、 数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 B.3 人 C.4 人 ) D.5 人

x 11. 设 x1 , x 2 分别是方程 x ? a ? 1 和 x ? loga x ? 1的根(其中 a ? 1 ), 则 x1 ? 2 x2 的取值范围

是( A.

)

(3,??) B. [3,??) C. (2 2 ,??) D. [2 2 ,??) 2 12.已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点,点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧,且
,则 ?ABO 与 ?AOF 面积之和的最小值为( OA ? OB ? 6 (O 为坐标原点) A. 4 B. 3 13 2 C. 17 2 4 D. 10 )

二.填空题(本题共 4 个小题,每小 5 分,满分 20 分)

?y ?1 ? 13.若 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?

.

14. 若样本数据 x1 , x2 , x3 ,?, x10 的平均数是 10,方差是 2,则数据 2 x1 ? 1,2 x2 ? 1,

2 x3 ? 1, ?,2 x10 ? 1 的平均数与方差分别是____
15. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 满足 S n 则 Sn ?

?

1 2 ? 2 ? a n ( n ? 2), a1 ? ? , Sn 3

x ?1 ?ln x, ? 16. 已知函数 f ( x) ? ? 1 ( a 为常数, e 为自然对数的底数)的图象在 ( x ? 2)( x ? a ), x ? 1 ? ?e
点 A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? c .已知

BA ? BC ? 2 , cos B ?

1 , b ? 3求 3

(1) a , c 的值; (2) cos(B ? C ) 的值. 18. ( 本小题满分 12 分) )设不等式 x 2 ? y 2 ? 2 确定的平面区域为 U , | x | ? | y |? 1 确定 的平面区域为 V (Ⅰ)定义坐标为整数的点为整点 (1)在区域 U 内任取 1 个整点 P( x, y ) ,求满足 x ? y ? 0 的概率 (2)在区域 U 内任取 2 个整点,求这两个整点中恰有 1 个整点在区域 V 内的概率 (Ⅱ) 在区域 U 内任取一个点,求此点在区域 V 的概率. P 19.(本题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,

AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC .
(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求点 C 到平面 APB 的距离. D A B

C 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到两焦点的距离和为 a2 b2

2 1 ,短轴长为 ,直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. 3 2
(Ⅰ)求椭圆 C 方程; (Ⅱ)若直线 MN 与圆 O : x ? y ?
2 2

1 相切,证明: 25

?MON 为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 | OM || ON | 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 3 ax (a ? 0), x ? R 3

(1) 求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值 范围 选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答 时,请涂明题号. E 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 F B 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , A
O C D

P

E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (I)求 PF 的长度. (II)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

4 (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 |, g ( x) ? ? | x ? 3 | ?m.
(1) 解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0(a ? R) ; (2) 若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

? ? ? 2 cos(? ? ) .(1)求圆心 C 的直角坐标;

2015 届山西省太原市第五中学高三五月月考试卷参考答案 数学(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D D D D B B A B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 1 14、 21__8_ 15、 (n+1 ) n+2 16、 ? ?,?3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2,

?

?

? ?

2? ? 3?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 18. (1)满足 x ? y ? 2 的区域 U 的整点
2 2

有:(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1)(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0)(1,1)共 9 个. (1)满足 | x | ? | y |? 1 区域为 V 的整点有(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)共 5 个

(1) 满足 x ? y ? 0 的整点有: (-1,1) , (0,0) , (0,1) (1,-1) , (1,0) (1,1) 共 6 个,所求的概率 p ?

6 2 ? 9 3
8分

4分

(2)在区域内任取 2 个整点,有 36 个,2 个整点中恰有 1 个整点在区域 V 内有:20 个,则 所求概率为 p ?

20 5 ? 36 9

(3)区域 U 的面积为 ? ? 2 ? 2? ,区域 V 的面积为 ( 2 ) 2 ? 2 在区域 U 内任取一点,该点在区域 V 内的概率为 p ?

2 1 ? 2? ?

12 分

19.详解: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,? PD ? AB . AC ? BC , ? CD ? AB . PD CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

P

PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD , ? 平面 APB ? 平面 PCD . 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . 平面 APB 平面 PCD ? PD , ? CH ? 平面 APB . ? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB AC ? A , ? PC ? 平面 ABC . CD ? 平面 ABC ,
? PC ? CD .在 Rt△PCD 中, CD ?

E

B

C

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 .

CH ? 2 3 . 3

PC ? CD 2 3 ? . PD 3
12 分

? 点 C 到平面 APB 的距离为

20.试题分析:(1)利用椭圆的定义进行求解;(2)利用圆心到直线的距离,求出直线的
斜率与截距的关系,再利用平面向量的数量积求证角为定值; (3)利用三角换元进行求解.

试题解析:(Ⅰ)由椭圆 C:

上点到两焦点的距离和为 ,

得 2a= ,即

;由短轴长为 ,得 2b= ,即
4分

所以椭圆 C 方程:

(Ⅱ)当直线 MN

轴时,因为直线 MN 与圆 O:

相切,所以直线 MN 方程:x=

或 x=- ,当直线方程为 x= ,得两点分别为( , )和( ,- ),故 可证 = ;同理可证当 x=- , = ;

=0,

当直线 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN:y=kx+b,直线 MN 与圆 O: M ,N

的交点

由直线 MN 与圆 O 相切得:d= 联立 y=kx+b, ,得

,即 25

①; ,

因此 由

, = +

== +



=



=(1+k )

+kb(

)+b =

②;

由①②得

=0,即

=



综上

=

(定值).

8分

(Ⅲ)不妨设

,则 cos , 上,

, sin ),N( sin , cos )

由三角函数定义可知:M( 因为点 M、N 都在

所以

=



=

= =( =9 16+(9-16)
2

)(



=9 16+(9-16)



又 因此

[0,1],故( [ ].



[9 16,( 12 分

) ]

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与圆的位置关系;3.直线与椭圆的位置关系. 21.
E A C F O B D P

解(1)由已知有 f ?( x) ? 2x ? 2ax2 (a ? 0). 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ?

1 ,列表如下: a

x
f ?( x)

(??,0)
?

0 0 0

1 (0, ) a

1 a
0

1 ( , ??) a
?

?

f ( x)

1 3a 2

15. 【2014 高考广东卷文第 21 题】已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? R ? 22. 解: (I)连 3

结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得

?CDE ? ?AOC , F B O 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP , A P D 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO , C PF PD ? ∴ , ????4 分 PC PO PC ? PD 12 ? ?3. 由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? ????6 分 PO 4 (II)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2
2

E

????10 分

23. 解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2

???(2 分) ????(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .????(5 分) 2 2 2 2 (II) :直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ????(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 ???(10 分) (

24.解:(1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ,即 x ? 2 ? a ?1 ? 0 。 当 a ? 1 时,不等式的解集是 (??, 2) 当 a ? 1 时,不等式的解集为 R ; 当 a ? 1 时,即 x ? 2 ? 1 ? a ,即 x ? 2 ? a ? 1 或 x ? 2 ? 1 ? a , 即 x ? a ? 1 或者 x ? 3 ? a ,解集为 (??,1 ? a)

(2, ??) ;

(3 ? a, ??) 。????????5 分

(Ⅱ) 函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即 x ? 2 ? ? x ? 3 ? m 对任意实数 x 恒 成立。即 x ? 2 ? x ? 3 ? m 对任意实数 x 恒成立。 由于 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 ,故只要 m ? 5 . 所以 m 的取值范围是 ( ??,5) . ????????10 分


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