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【聚焦典型题】(人教B版)2014届高考一轮山东数学(理)《指数函数、对数函数、幂函数》


双 向 固 基 础 点 面 讲 考 点 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第9讲

指数函数、对数函数、 幂函数

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考试大纲
1.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌 握指数函数图象通过的特殊点. (3)知道指

数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数 (1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌 握对数函数图象通过的特殊点. (2)知道对数函数是一类重要的函数模型. (3)了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函 数(a>0,且 a≠1).
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考试大纲
3.幂函数 (1)了解幂函数的概念. 1 1 (2)结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2的图象, 了解它们的变化情况.
2 3

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

?

知 识 梳 理 —— 一、指数函数的概念、图象与性质
概念 底数 图象 定义域

? ——

指数 函数 y=ax(a>0,a≠1)叫做________ 函数
a>1 0<a<1

R ________

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指数函数、对数函数、幂函数

?

值域 性质

________ (0,+∞)
(0,1) 过定点________,即 x=0 时,y=1 增 在 R 上是____ 减 在 R 上是____函数 函数

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指数函数、对数函数、幂函数

二、对数函数的概念、图象与性质

概念 底数 图象 定义域 值域 性质

对数 函数 y=logax(a>0, a≠1)叫做________ 函数 a>1 0<a<1

(0,+∞) ________ R ________ (1,0) 过定点________,即 x=1 时,y=0 增 在 R 上是____函 减 在 R 上是____函数 数
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指数函数、对数函数、幂函数

三、幂函数的概念、图象与性质
xα 形如 y=______(α∈R)的函数

概念

称为幂函数,其中 α 为常数

1 图象(α=-1,2, 1,2,3)

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指数函数、对数函数、幂函数

所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, (1,1) 并且图象都过点________ α>0 时,幂函数的图象通过原点,并 (0,+∞) 且在区间________上是增函数 性 α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+ 质 ∞)上是____函数.在第一象限内,当 减 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右 方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 +∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴

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指数函数、对数函数、幂函数

四、反函数 1.概念 当一个函数的自变量和因变量成一一对应时,可以把 这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数 互为反函数. 2. 指数函数 y=ax(a>0, a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1)互为反函数,由于在反函数中是交换了 x,y 的位置, 故互为反函数的两个函数的定义域和值域互换,即原函数 的值域是其反函数的定义域,原函数的定义域是其反函数 的值域.

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指数函数、对数函数、幂函数

—— 疑 难 辨 析 ——

1.指数函数问题 (1)函数 y=2· x,y=2x+2 都是指数函数.( 3 ) (2)若函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则实数 a= 2.( ) (3)函数 f(x)=2x-2+3 的图象过点(3,3).( )

[答案] (1)×

(2)√

(3)×

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)根据指数函数的定义可知不对. (2)根据指数函数的定义,实数 a 应满足 a2-3a+3= 1,a>0,a≠1 这三个条件,解得 a=2. (3)当 x=3 时,y=5≠3,故函数 f(x)=2x-2+3 的图象 不过点(3,3).

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指数函数、对数函数、幂函数

2.对数函数问题 x (1)函数 y=2log2x,y=log5 是对数函数.( ) 5 (2)log20.3<log0.20.3.( ) 1 (3)函数 y=logax 与 y=log x(a>0,且 a≠1)的图象关 a 于 x 轴对称.( )

[答案] (1)×

(2)√

(3)√

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)根据对数函数的定义都不是对数函数,而 只能称其为对数型函数. (2)由于 log20.3<log21=0,而 log0.20.3>log0.21=0, ∴log20.3<log0.20.3. 1 (3)根据对数的换底公式和对数的运算性质 y=logax 1 =loga-1x=-logax,这样函数 y=logax 与 y=logax 的图 象上任意的相同自变量对应着互为相反数的 y 值,这样 的两个函数的图象关于 x 轴对称.

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指数函数、对数函数、幂函数

3.幂函数问题 (1)当 α=0 时函数 y=xα 的图象是一条直线.( ) (2)幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点.( ) (3)若幂函数 y=xα 是奇函数,则 y=xα 是定义域上的 增函数.( ) (4)幂函数的图象不可能出现在第四象限.( )

[答案] (1)×

(2)×

(3)×

(4)√

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)当 α=0 时函数 y=xα 的图象是一条直线(去 掉点(0,1)). (2)如幂函数 y=x-1 的图象不过点(0,0). (3)如幂函数 y=x-1 在定义域上不是增函数. (4)当 x>0 时,xα>0,故幂函数的图象不可能出现在 第四象限.

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指数函数、对数函数、幂函数

考点统计
点? 面 讲 考 点

题型示例(难 题型(考频) 度)
选择(3) 填空(1) 选择(1) 填空(2) 解答(1) 选择(1) 2012年福建 T9(A), 2012年浙江 T9(B) 2012年广东 T4(A), 2012年湖南 T8(C) 2012年陕西
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? ?

1.指数函数 的图象与 性质及应 用 2.对数函数 的图象与 性质及应 用 3.幂函数的 图象与性

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指数函数、对数函数、幂函数

1 例 1 (1)[2012· 指数函数的图象与性质及应 探究点一 四川卷] 函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的 点? ? 面 图象可能是( ) 讲 用
x

考 点

图 2-9-1

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指数函数、对数函数、幂函数

(2)[2012· 天津六校联考] 设 y=f(x)在(-∞,1]上有定 义, 对于给定的实数 K, 定义
点 面 讲 考 点
?f(x),f(x)≤K, fK(x)=? 给 ?K,f(x)>K,

出函数 f(x)=2x+1-4x, 若对于任意 x∈(-∞, 恒有 fK(x) 1], =f(x),则( ) A.K 的最大值为 0 B.K 的最小值为 0 C.K 的最大值为 1 D.K 的最小值为 1

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

思考流程 (1)分析:需要根据 a 的不同取值研究函数图 象的可能情况;推理:根据函数图象在 y 轴上的截距、指数 函数的单调性,分底数 a>1 和 0<a<1 分别判断函数图象的可 能形状;结论:结合选项作出答案. (2)分析:需要把新定义转化为熟悉的问题;推理:根据 新定义、指数函数的性质把问题转化为二次函数在一个区间 上的最值;结论:求出最值,结合选项作出答案.

[答案] (1)D

(2)D

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)若 a>1,则 f(x)为增函数,排除 C、D,而 0 1 <a<1,图象与 y 轴的交点应该在(0,1)内,A、B 也不符 合,故 a>1 不合题意. 1 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,排除 A、B,此时a>1, 故图象与 y 轴的交点应该在负半轴,排除 C,选 D. (2)根据给出的定义,fK(x)的含义是在函数 y=f(x),y =K 中取小.对任意的 x∈(-∞,1]恒有 fK(x)=f(x),等价 于对任意的 x∈(-∞, 1]恒有 f(x)≤K, 等价于函数 f(x)在(- ∞,1]上的最大值小于或者等于 K.令 t=2x∈(0,2],则函数 f(x)=2x+1-4x,即为函数 φ(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1, 故函数 f(x)在(-∞,1]上的最大值为 1,即 K≥1.所以 K 有 最小值 1.
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点 面 讲 考 点

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指数函数、对数函数、幂函数

[点评] (1)函数图象判断类试题的关键 点? 面 之一就是抓住函数图象上的特殊点,如本题 讲 考 点

中令y=0,解得x=-1,即无论a为何值,函 数图象过定点(-1,0),结合选项只有D中的 图象可能;(2)转化是解决数学问题的重要手 段,本题中的定义实际上就是对任意的 x∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,进一步转化为函 数f(x)在(-∞,1]上的最大值小于或者等于 K,然后通过换元法再次把问题转化为我们熟 悉的二次函数问题.
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指数函数、对数函数、幂函数

归纳总结 ①函数图象分析类试题要注意函数的性 点 面 质、 函数图象上特殊点的应用. 从函数的性质方面可以分 讲 析函数图象的变化趋势, 从特殊点的位置可以确定可能的 考 函数图象或者否定一些函数图象, 在函数图象分析中要注 点

意正反方法的使用. ②指数函数最重要的性质是它的单调性, 在底数确定 时直接使用指数函数的性质, 在底数不确定时要注意对底 数进行分类讨论.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

变式题 (1)设函数 f(x)定义在实数集上, 它的图象关于 直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有( ) ?1? ?3? ?2? A.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? B.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?3? C.f?3?<f?3?<f?2? ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? ?1? D.f?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ?

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指数函数、对数函数、幂函数
?b(a≤b), a*b=? 则函 ?a(a>b),

(2)[2012· 咸阳三模] 定义运算
点 面 讲 考 点

数 f(x)=e-x*ex 的图象是(

)

图 2-9-2

[答案] (1)B

(2)D

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)利用对称性,三点到直线 x=1 的距离越远 函数值越大.
点 面 讲 考 点
?e ,x≤0, (2)根据定义, f(x)=? x ?e ,x>0,
-x

故为选项 D 中的图

象.

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指数函数、对数函数、幂函数

例 2 (1)在同一平面直角坐标系中, 函数 y=f(x)的图象与 y=ex 的图象关于直线 y=x 对称.而函数 y=f(x)的图象与 y= ? ? 探究点二 对数函数的图象与性质及应 点 面 g(x)的图象关于 y 轴对称,若 g(m)=-1,则 m 的值是( ) 用 讲 1 1 考 A.e B. e C.-e D.-e 点 (2)[2012· 苏 卷 ] 函 数 f(x) = 1-2 log6x 的 定 义 域 为 江 ________.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

思考流程 (1)分析:需要求出函数 g(x)的解析式;推 理:根据函数图象的对称性可知函数 y=f(x),y=ex 互为反 函数,得出函数 y=f(x)的解析式,再根据函数图象的对称 关系得出函数 y=g(x)的解析式;结论:根据 g(m)=-1 得 出关于 m 的方程解之即得. (2)分析:需要解一个对数不等式;推理:根据二次根 式的性质、对数函数的性质得出关于 x 的不等式;结论: 不等式的解集即为所求.

[答案] (1)D

(2)(0,6]

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

[解析] (1)根据指数函数与对数函数互为反函数,得 f(x)= lnx,由于函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于 y 轴对称,可得 g(x) =f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即 ln(-m)=-1,解得 m=-e 1 -1 =- e. (2)根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
?x>0, ? ?1-2log6x≥0

?x>0, ?x>0, ? 0<x≤ 6. 1 ? 1 ?log6x≤2 ?x≤62= 6

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指数函数、对数函数、幂函数

[点评] (1)底数相同的指数函数、对数 点? 面 函数互为反函数,存在反函数的两个函数互 讲 考 点

为反函数的充要条件是其图象关于直线y=x 对称;(2)在解对数不等式时一定不要忽视了 对数的真数大于0,如果底数上含有自变量, 则底数大于0且不等于1(见变式(2)).

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指数函数、对数函数、幂函数

归纳总结
点? 面 讲 考 点

在解决与对数函数有关的问题时一定要

注意其定义域, 一是真数大于 0, 二是底数大于 0 且不等 于 1.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

变式题 (1)[2012· 商丘三模] 定义在 R 上的函数 f(x)满 足 f(x+1)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(2 012)-f(2 011)=( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 (2)函数 f(x)=log2x-1 3x-2的定义域是________

[答案] (1)A

?2 ? ? ,1?∪(1,+∞) (2)?3 ?

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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=-f(x+1) =f(x),2 是函数 f(x)的一个周期,故 f(2 012)-f(2 011)= f(0)-f(1)=0-1=-1.
点 面 讲 考 点

?2x-1>0, ? (2)由?2x-1≠1, ?3x-2>0, ? ∪(1,+∞).

?2 ? 2 ? ,1? 得 x>3, x≠1, 且 即定义域为?3 ?

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指数函数、对数函数、幂函数

点?

例 3 幂函数 ? 探究点三 f(x)的图象过点(3, 27),则 f(x)的解 幂函数的图象与性质及应用 析式是( ) A.f(x)= x 4
5

4

面 讲? 考 点

B.f(x)= x3
3

5

C.f(x)=- x

4

D.f(x)= x3

4

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指数函数、对数函数、幂函数

[思考流程] 分析:需要确定幂函数的幂指数;推理:把 已知点的坐标代入幂函数的解析式;结论:确定其幂指数 α 的 值.
点 面 讲 考 点

[答案] D

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

4 4 α [解析] 设 f(x)=x ,由图象过点(3, 27),得 3 = 27 3 3 =34,α=4.
α

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指数函数、对数函数、幂函数

归纳总结
点 面 讲 考 点

幂函数是底数是自变量、幂指数是常数的

函数,在涉及与指数有关的函数时要注意辨别这个函数是 不是幂函数,在此基础上使用幂函数的性质进行解题.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

变式题 [2013· 黄冈中学月考] 图 2-9-3 为幂函 数 y=xn 在第一象限的图象,则 c1、c2、c3、c4 的大小关系 为________________.

图 2-9-3
[答案] c3<c4<c2<c1
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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] 观察图形可知,c1>0,c2>0,且 c1>1,而 0<c2<1, c3<0,c4<0,且 c3<c4.
点 面 讲 考 点

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指数函数、对数函数、幂函数

例 4 (1)[2012· 全国卷] 已知 x=lnπ,y=log52,z 1 探究点四 三种函数的综合应用 点? ? =e-2,则( ) 面 讲 A.x<y<z B.z<x<y 考 C.z<y<x D.y<z<x 点 (2)若 a=0.80.5,b=0.90.5,c=0.9-0.5,则 a,b,c 的大小关系是______________.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

[思考流程] (1)分析:需要大致确定各个值的大小;推 理:根据对数函数、指数函数的性质得出 x,y,z 的大致范 围即可确定其大小关系;结论:结合选项作出答案. (2)分析:需要两两比较大小;推理:首先根据幂函数 性质比较 a,b 的大小,其次再根据指数函数性质比较 b,c; 结论:根据上述比较作出判断.

[答案] (1)D

(2)a<b<c

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

[解析] (1)本题主要考查对数与指数的大小比较, 解题的 突破口为寻找中间量作比较. 1 1 1 0 x=lnπ>lne=1,0<log52<log42=log442=2,1=e >e-2= 1 1 1 > = ,∴y<z<x,故选 D. e 4 2 (2)∵y=x0.5 在(0,+∞)上单调递增,且 0.8<0.9, ∴0.80.5<0.90.5, a<b; 即 再根据指数函数 y=0.9x 在(-∞, +∞)上单调递减,得 0.90.5<0.9-0.5,即 b<c.所以 a<b<c.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

[点评] 使用函数性质比较一些数值的大小要解决两个 问题.(1)构造指数函数、对数函数、幂函数,如果是指数 式时,若底数相同则构造指数函数、若指数相同则构造幂 函数;(2)善于把所求的数值通过逐步缩小范围的方法把其 限定在某个区间之内,通过不同区间内数值大小关系判断 所要解决的数值大小问题.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 点

归纳总结 使用指数函数、对数函数、幂函数的性质比 较数值大小时要会根据实际情况构造函数、寻找中间值.

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指数函数、对数函数、幂函数

变式题
?1? c=?3?3,则 ? ?
1

(1)[2013· 安徽示范高中联考] 设 a,b,c 的大小关系是( )

?2? ?1? ? ?3,b=? ?3, a=?3? ?3?

1

2

点 面 讲 考 点

A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a (2)[2011· 天津卷] 已知 a=5 则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b [答案] (1)A
log23.4

,b=5

log43.6

?1?log30.3 ,c=?5? , ? ?

(2)C
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指数函数、对数函数、幂函数
?1?x y=?3? 在 ? ?

[解析] (1)由于指数函数
点 面 讲 考 点

R 是单调减函数,所

1 以 b<c;由于幂函数 y=x3在 R 是单调增函数,所以 a>c.综 合上述结论可得 a>c>b. 10 (2)令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 3 ,在同一坐标系 下作出三个函数的图象,由图象可得 m>l>n,

又∵y=5x 为单调递增函数,∴a>c>b.
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指数函数、对数函数、幂函数

易错究源5


函数的性质使用不当致误

多 元 提 能 力

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x- 1 x 2)=f(x+2),且当 x∈(-1,0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220) 5 =( ) 4 A.1 B.5 4 C.-1 D.-5

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指数函数、对数函数、幂函数

错解 A f(x-2)=f(x+2)?f(x)=f(x-4), 所以f(log220)=f(log220-4)=f(4-log220)① ? 4? log24 1 =f?log25?=2 5+5=1.选A. ? ?
多 元 提 能 力

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[错因] ①处忽视了4<log220<5(对数函数性质),并误 用函数的奇偶性.

多 元 提 能 力

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指数函数、对数函数、幂函数

[正解] C f(x-2)=f(x+2)?f(x)=f(x-4), 4<log220<5,所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220) 4 ? 4? 1 log2 ?log2 ?=-(2 =-f 5+5)=-1.正确选项为C. 5? ?
多 元 提 能 力

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指数函数、对数函数、幂函数

多 元 提 能 力

(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ? 3 ? 其最小正周期为 3,且 x∈?-2,0?时,f(x)=log1(1-x),则 ? ? 2 f(2 013)+f(2 014)=( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 (2)已知 a=log0.70.9,b=log1.10.7,c=1.10.9,则 a,b, c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

自我检评

[答案]

(1)A

(2)C
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指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1)=-f(-1)=1. (2)以 0,1 为标准进行比较即可. b=log1.10.7<log1.11=0,0 =log0.71<log0.70.9<log0.70.7=1,故 0<a<1,c=1.10.9>1.10= 1.所以 b<a<c.
多 元 提 能 力

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指数函数、对数函数、幂函数

【备选理由】 高考中指数函数、对数函数、幂函数往往是与函数 的奇偶性、不等式的解、函数与方程、不等式等问题综合 进行考查的,在正文中为突出各个探究点的主体,我们没 有过多综合,下面的例1是函数奇偶性与对数函数的综合, 例2从函数方程的观点考查指数函数与对数函数,例3从函 数图象入手,看似对数函数问题最后要化为指数函数进行 解决,这三个题目都具有一定的综合性,可以作为本讲相 应探究点的补充,也可作为本讲总结之用.
教 师 备 用 题
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指数函数、对数函数、幂函数

例 1 已知奇函数 f(x)的定义域为 R,当 x>0 时,f(x) =lgx,则不等式 xf(x)≤0 的解集为( ) A.[-1,0)∪(0,1] B.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞)

教 师 备 用 题
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指数函数、对数函数、幂函数

[解析]B 当 x>0 时,由 xf(x)≤0 得 f(x)≤0,即 lgx≤0=lg1,即 0<x≤1;当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-lg(-x),由 xf(x)≤0 得 f(x)≥0, 即-lg(-x)≥0,即 lg(-x)≤0=lg1,即 0<-x≤1,即-1≤x<0; 由于函数是奇函数,定义在 R 上,故 x=0 时,f(x)=0,故 x =0 也适合不等式. 综上知不等式的解集是[-1,1].正确选项是 B.

教 师 备 用 题
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指数函数、对数函数、幂函数

例 2 已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+ 10x=3 的根,那么 x1+x2 的值为( ) A.6 B.3 C.2 D.1

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析]B ∵lgx=3-x,10x=3-x,令 y1=lgx,y2=3-x,y3 =10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图.

教 师 备 用 题

∵x1 是方程 x+lgx=3 的解,2 是方程 x+10x=3 的解, 1, x ∴x x2 分别对应图中 B,A 两点的横坐标. ∵函数 y=lgx 与 y=10x 的图象关于 y=x 对称,∴线段 AB 的中点 C 在直线 y=x 上.
?y=x, ∴由? ?y=3-x,

3 解得 x=2.∴x1+x2=3,故选 B.
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

例 3 [2012· 湖南卷] 已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y 8 = (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交 2m+1 于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. b 当 m 变化时,a的最小值为( ) A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析]B 考查函数的图象变换、基本不等式和对数方程, 以及数形结合和函数与方程思想,综合程度高,难度也较大, 关键是转化为关于 m 的代数式最值问题. 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,由已知可 求出 ABCD 四点的横坐标得 a=|xA-xC|= b ,所以 a = , , b=|xB

-xD| =



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指数函数、对数函数、幂函数

1? 1? 4 ? ? 8 4 1 ?m+ ?+ ?m+ ? 令 t=m+ = ? 2? 2? 1-2≥2 1- 2m+1 ? m+2 m+2 1 1 =4-2, 2 8 1 b =2m+ ≥24-2=8 2,所以最小值为 8 2. a 2m+1

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