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乳山一中2013届高三12月份检测试题(数学理)


山东省乳山市第一中学高三数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x x ? 7 x ? 10 ? 0 ,则 ? ( A ? B) ? U

?

?

?

?

A. ?? ?,3? ? ?5,???

B. ?? ?,3? ? ?5,???

C. ?? ?,3? ? ?5,???

D. ?? ?,3? ? ?5,???

2.在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ tan A ? tan B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a,b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ”; ②“若 a,b,c,d ? R,则复数a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出“若 a,b,c,d ? Q, 则 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ”; ③“若 a,b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a,b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ”; 其中类比结论正确的个数是 (A).0 ( ) (B).1

(C).2
*

(D).3

4.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n?1 ? a , n ? N ,则实数 a 的值是 B. 3 C. ?1 D. 1 ? ? ? ? ? ?2 5.已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? (ax ? b) (x ? R) 是 A. ?3 A. 既是奇函数又是偶函数 6.已知函数 f ( x ) ? A. ? B. 非奇非偶函数 C. 偶函数 D. 奇函数

2

?

1 ? cos x ,则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2 3 1 B. C. ?

?

?

D. ?

3

?

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? A.

?

3 0

(1 ? 2 x)dx ,则 a5 ? a6 ?
D.

12 5

B. 12

C. 6

8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 析式为 A.f ( x) ? sin(2 x ? C. f ( x ) ? sin(2 x ?

?
2

6 5

)的图象如图所示,则函数 f ( x) 的解

?
3

)

B.f ( x ) ? sin(2 x ? D. f ( x ) ? sin(4 x ?

?
6

)

?
3

)

?
6

)

9 . 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , D 为 BC 边 中 点 , 且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 则 A. AO ? 2OD

??? ??? ??? ? ? ? ????

?

????

????

B. AO ? OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

10.若函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. a ?

1 5

B. a ?

1 或 a ? ?1 5

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. a ? ?1

11.已知函数 f (n) ? n2 cos(n? ) ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? A. 0 B. ?100 C. 100 D. 10200

12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f ( x? 4 )? ? f ( x, 且 x ? ?0 , ? 时 , ) 2 甲: 乙: f ( x)? l o g x( ,1 )乙、 丁四位同学有下列结论: f ? 3? ? 1 ; 函数 f ( x) 在 ??6, ?2? ? 甲、 丙、 2 上是减函数; 函数 f ( x) 关于直线 x ? 4 对称; 若 m? ? 0,1? , 丙: 丁: 则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ?8,8? 上所有根之和为 ?8 ,其中正确的是 A.甲、乙、丁 B.乙、丙 C.甲、乙、丙 D.甲、丙

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 1 ? i , i 为虚数 单位,则复数 z ? . ;

? 1 x ?( ) , x ? 4 14.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 4 ?
15 . 设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ?
的体积为


2 2

16. 已知某棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥
1
1 2

.
2

正 2视 图

侧 视 图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分, 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , 已 知

1

俯 视 图

(Ⅰ)若 sin B ? 2 cosC ,求 tan C 的大小; 3(b2 ? c2 ) ? 3a2 ? 2bc . (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积 S ? 18. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 10 .
2

2 ,且 b ? c ,求 b, c . 2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求
2

1 2

数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 19. (本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (cos2 ? x ? sin 2 ? x,sin ? x) , b ? ( 3, 2cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)若将 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的

?

?

? ?

?
2

对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

1 ? ,再将所得图象向右平移 个单位,纵 6 3

坐标不变,得到 y ? h( x) 的图象, 若关于 x 的方程 h( x) ? k ? 0 在区间 [0, 实数解,求实数 k 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

?

2

] 上有且只有一个

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. (Ⅰ)求实数 a 的值; x2
2

(Ⅱ)记集合 E ? { y y ? f ( x), x ?{?1,1, 2}}, ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 关系; (Ⅲ)当 x? [

1 ,判断 ? 与 E 的 4

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n

21. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD;

(2)平面 BEF⊥平面 PAD

.

22. (本小题满分 14 分)

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 2 4 f ( x) ? ? . 已知函数 ,当 x ? 时,函数 f ( x) 有极大值 3 27 ?a ln x, x ? 1
(Ⅰ)求实数 b 、 c 的值; (Ⅱ)若存在 x0 ? [?1, 2] ,使得 f ( x0 ) ? 3a ? 7 成立,求实数 a 的取值范围. 23.附加题(见答题纸,不计总分)

高三数学答案

13.

1 ? 3i 16.2 5

即 2 ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 3

由直线 x ?

?
2



y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 2sin(?? ? ) ? ?2 , 3 1 ? ? 所以 ?? ? ? k? ? (k ? z ) ,即 ? ? k ? (k ? z ) . 6 3 2 1 又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ? . 6

?

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f (x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ?

( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? x2 x2

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1

………………………………………4 分

x2 ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ? x2
当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

3 ? 3? ? E ? ?0, ? , ………………6 分 4 ? 4?

21. (本小题满分 13 分) (1)在△PAD 中,因为 E, F 分别为 AP,AD 的中点,

所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的 中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

① 当 ?1 ? x ? 1

2 时, f ?( x) ? ?3 x ? 2 x ? ?3 x( x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0或x ?

2 3

2 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)
f (x)

(?1,0)
单调递减

0
0
极小值

2 (0, ) 3
+ 单调递增

2 3
0
极大值

2 ( ,1) 3
单调递减

根据表格,又 f (?1) ? 2 , f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0 27

23.

1 BC ,所以 GE // DF . ? 2 ? 由(Ⅰ)知 FD⊥平面 PDC, DG ? 面 PDC,所以 FD⊥DG。 所以四边形 FEGD 为矩形,因为 G 为等腰 Rt△RPD 斜边 PC 的中点,所以 DG⊥PC, 又 DG⊥GE,PC∩EG=E, 所以 DG⊥平面 PBC. 因为 DG//EF,所以 EF⊥平面 PBC。 1 1 1 1 1 3 a (Ⅱ) VB ? AEF ? VE ? ABF ? S ?ABF ? OE ? ? a 2 ? a ? 3 3 4 2 24

(Ⅰ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG //


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