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2012高考真题分类汇编8:圆锥曲线

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2012 高考真题分类汇编:圆锥曲线
一、选择题
x y2 1.【2012 高考真题浙江理 8】如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)的左、 a b
右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直
2

平分线与 x 轴交与点 M,若

|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

【答案】B

b ? ? y ? c x ? b, b ? 【 解 析 】 由 题 意 知 直 线 F1B 的 方 程 为 : y ? x ? b , 联 立 方 程 组 ? 得点 c ?x ? y ? 0 ?a b ? b ? ? y ? c x ? b, ac bc ac bc ? , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 Q( 得点 P (? c?a c?a c?a c?a ?x ? y ? 0 ?a b ?
( a 2c c 2 c2 c a 2c , ) , 所 以 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : y ? ? ? ( x ? 2 ) , 令 y ? 0 , 得 b2 b b b b

a2 a2 x ? c(1 ? 2 ) , 所 以 c(1 ? 2 ) ? 3c , 所 以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 , 即 3a 2 ? 2c 2 , 所 以 b b

e?

6 。故选 B 2

2.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线
1

y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)
【答案】C



2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【解析】 设等轴双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) , 抛物线的准线为 x ? ?4 , AB ? 4 3 , 由 则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3) 代入双曲线方程得 m ? x 2 ? y 2 ? 16 ? 12 ? 4 , 所以双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C. 方程为 x ? y ? 4 ,即 4 4
2 2

3.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1F2 是椭圆 E : 为直线 x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P a 2 b2


3a ? 上一点, ?F2 PF 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 1 2 ? ? ( A) ( B) (C ) (D) 2 3 ? ?

【答案】C
? 【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 1

F2 F1 ? F2 P

,

, 因 为

?PF1 F2 ? 300 , 所 以

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2 3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 所以 2 a 4 4 4.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 【答案】B 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px ,则点 M (2, ?2 p ) Q 焦点 ?
2

) D、 2 5

B、 2 3

C、 4

?p ? , 0 ? ,点 M 到该抛物线 ?2 ?

焦点的距离为 3 ,? ? 2 ?

? ?

p? ? ? 4 P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2?
2

2

x2 y 2 3 5.【2012 高考真题山东理 10】已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲 a b 2
线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 8 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 6

(C)

x2 y 2 ? ?1 16 4

(D)

x2 y 2 ? ?1 20 5

【答案】D 【解析】因为椭圆的离心率为

3 2 3 2 c 3 3 2 2 2 2 ,所以 e ? ? ,c ? a ,c ? a ? a ? b , 4 4 a 2 2

2 所以 b ?

x2 x2 1 2 a ,即 a 2 ? 4b 2 ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,代入椭圆得 2 ? 2 ? 1 ,即 4 a b

x2 x 2 5x 2 4 2 2 4 ? 2 ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? b 2 , x ? ? b , y2 ? b2 , y ? ? b ,则第一象 2 5 5 4b b 4b 5 5
限的交点坐标为 (

2 5

b,

2 5

b) ,所以四边形的面积为 4 ?

2 5

b?

2 5

b?

16 2 b ? 16 ,所以 5

b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,选 D. 20 5

6.【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : 的渐近线上,则 C 的方程为

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C a2 b2

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【答案】A 【解析】设双曲线 C :

x2 y2 D. =1 20 80

x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2
b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又? C 的渐近线为 y ? ?

x2 y2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为 =1. 20 5
2 2 2

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型.

3

7. 2012 高考真题福建理 8】 【 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合, 4 b

则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A.

5

B. 4 2

C.3

D.5

【答案】A. 【解析】由抛物线方程 y 2 ? 12x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知

4 ? b 2 ? 32 ,所以 b ? 5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?

5 x ,即 ? 5x ? 2 y ? 0 ,所以 2

d?

| ? 5 ?3 ? 2? 0 | ? 5 ,故选A. 5? 4

8. 2012 高考真题安徽理 9】 【 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, O 点 是原点,若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为( )

( A)

2 2

( B)

2

(C )

3 2 2

( D) 2 2

【答案】C 【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? , 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? 。 ? 2 2 2 3 2
9.【2012 高考真题全国卷理 3】 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x=-4 ,则该椭 圆的方程为 A

x2 y 2 + =1 16 12

B

x2 y 2 x2 y 2 + =1C + =1 12 8 8 4

D

x2 y 2 + =1 12 4

【答案】C 【解析】 椭圆的焦距为 4, 所以 2c ? 4, c ? 2 因为准线为 x ? ?4 , 所以椭圆的焦点在 x 轴上,

a2 ? ?4 , 所 以 a 2 ? 4c ? 8 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8 ? 4 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为 且 ? c x2 y2 ? ? 1 ,选 C. 8 4
4

10.【2012 高考真题全国卷理 8】已知 F1、F2 为双曲线 C:x?-y?=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos∠F1PF2= (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【解析】双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a ? b ? 2, c ? 2 ,因为|PF1|=|2PF2|,所以点 2 2

P 在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ,|PF1|= 4 2 ,所以根 据余弦定理得 cos F1 PF2 ?

(2 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 14 2? 2 2 ? 4 2

?

3 ,选 C. 4

11.【2012 高考真题北京理 12】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与 该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面 积为 【答案】 3 【解析】由 y 2 ? 4 x 可求得焦点坐标 F(1,0),因为倾斜角为 60 ? ,所以直线的斜率为

k ? tan60? ? 3 , 利 用 点 斜 式 , 直 线 方 程 为 y ? 3x ? 3 , 将 直 线 和 曲 线 联 立
? A(3,2 3 ) ? y ? 3x ? 3 ? 1 1 ? ? ? 1 2 3 ,因此 S?OAF ? ? OF ? y A ? ? 1 ? 2 3 ? 3 . ? 2 2 2 ? y ? 4x ) ? B ( ,? ? 3 ? 3

二、填空题
x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴 a 2 b2 两端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别 为 A, B, C , D . 则
12.【2012 高考真题湖北理 14】如图,双曲线

5

(Ⅰ )双曲线的离心率 e ?



(Ⅱ )菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ? S2

.

【答案】 e ?

5 ? 1 S1 2 ? 5 ; ? 2 S2 2

【解析】 )由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到直线 F2 B2 的距离 (Ⅰ 为 a ,又由于虚轴两端点为 B1 , B 2 ,因此 OB2 的长为 b ,那么在 ?F2 OB2 中,由三角形的 面积公式知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 ,又由双曲线中存在关系 c 2 ? a 2 ? b 2 联 2 2 2
2 2

立可得出 (e ? 1) ? e ,根据 e ? (1,??) 解出 e ?
2

5 ?1 ; 2
2

(Ⅱ )设 ?F2 OB2 ? ? ,很显然知道 ?F2 A2 O ? ?AOB2 ? ? , 因此 S 2 ? 2a sin(2? ) .在

?F2 OB2 中求得 sin ? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出

S1 2 ? 5 . ? S2 2

13.【2012 高考真题四川理 15】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于 4 3

点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。 【答案】3 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、 ,考 查推理论证能力、基本运算能力,以及数形结合思想,难度适中. 【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 将 x ? 1 带入解得 y ? ?

3 1 3 ;所以 S ?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2

14.【2012 高考真题陕西理 13】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水

面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 【答案】 2 6 .



.

6

【解析】设水面与桥的一个交点为 A,如图

建立直角坐标系则,A

的坐标为(2,-2).设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py ,带入点 A 得 p ? 1 ,设水位下降 1 米后水 面与桥的交点坐标为 ( x0 ,?3) ,则 x0 ? ?2 ? ?3, x0 ? ? 6 ,所以水面宽度为 2 6 .
2

15.【2012 高考真题重庆理 14】过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若

AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF = 12

.

【答案】

5 6 1 2 1 ,设 A,B 的坐标分别为 2

2 【解析】抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为 ( ,0) ,准线方程为 x ? ?

1 1 p2 1 ? , AF ? m, BF ? n , x1 ? m ? , x 2 ? n ? , 的 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , x1 x 2 ? 则 设 则 2 2 4 4
1 1 1 ? ?(m ? 2 )(n ? 2 ) ? 4 5 5 5 ? 所以有 ? ,解得 m ? 或 n ? ,所以 AF ? . 6 4 6 ?m ? n ? 25 ? 12 ?
16.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分
2

别为 4,? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所 2

以 过 点 P , Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 立 方 程 组 解 得 联

x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法, 属于中档题。

7

曲线在切点处的导数即为切线的斜率, 从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起, 这是写出 切线方程的关键。 17.【2012 高考真题江西理 13】椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、 a2 b2

右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 。 若 AF , F1F2 , F B 成 等 比 数 列 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为 1 1 _______________. 【答案】

5 5

【命题立意】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。 【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B( A,0) , 焦 点 坐 标 为 F (?c,0), F2 (c,0) , 所 以 1

AF ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c ,又因为 AF , F1F2 , F1B 成等比数列,所以有 1 1
4c2 ? (a ? c)(a ? c) ? a2 ? c2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
18.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 (5 率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由

c 5 . ? a 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 a m

三、解答题
19.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

e 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , 0)
的离心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于
8

点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e ,由点 (1 , ) 在椭圆上,得 a


12 e2 1 c2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 2 =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 a2 b a a b
∴ c 2 =a 2 ? 1 。 由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ?1? 4 ? ? 1 ? 4 ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a a

∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) (2)由(1)得 F1 (?1 , , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0)
∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

9

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m 2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

1 2 = 。 m 2

( ii ) 证 明 : ∵

AF1 ∥

BF2 , ∴

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF 1 AF 1
∴ PF1 =

1

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 = 1

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2
2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。

20.【2012 高考真题浙江理 21】(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:

x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离 a 2 b2

1 心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两 2

10

点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的 基本思想方法和运算求解能力。 【答案】(Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a 2 ? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y 2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB
m2 ? 3 . 3

( xA ? xB )2 ? 4xA xB = 1 ? k AB
11

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为: d ?
m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



当|m+2|= 4 ?

m2 1 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 3 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2

21.【2012 高考真题辽宁理 20】(本小题满分 12 分) 如图, 椭圆 C0 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 , b 为常数), a, 动圆 C1 : x2 ? y 2 ? t1 , ? t1 ? a 。 b 2 a b

点 A , A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点。 1 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,

/

/

/

/

2 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值。

【答案】

12

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直 线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强,运算量较大。在 求解点 M 的轨迹方程时,要注意首先写出直线 AA1 和直线 A2 B 的方程,然后求解。属于中 档题,难度适中。 22.【2012 高考真题湖北理】 (本小题满分 13 分) 设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点, M 在直线 l 上, 点 且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动 时,记点 M 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ )求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ )过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴 上的射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的
k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】 )如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , (Ⅰ 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将① 式代入② 式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m ? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以 当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,
13

1 | y |. m

① ②

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ; 当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,

m2 ? 1) .

(Ⅱ )解法 1:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得

? x1 ? x2 ? ?

4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . m2 ? 4k 2 m ? 4k
2km 2 x1 . m 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

???? ??? ? 4k 2 x 2km 2 x1 ). 于是 PQ ? (?2x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 m ? 4k m ? 4k 2 ??? ???? 4(2 ? m 2 )k 2 x12 ? ? 0, 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? m 2 ? 4k 2

即 2 ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? y A

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

y H
M

y H

N
P
x
Q

N
D x
Q

P

O

O

O

x

图1

图 2 (0 ? m ? 1) 第 21 题解答图

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
?m2 x 2 ? y 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 1 2 1 2 两式相减可得 2 ?m x2 ? y2 ? m , ?
m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③ 式可得

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即



2y1 y1 ? y2 . ? x1 x1 ? x2

14

于是由④ 式可得 k PQ ? k PH ?

y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? ? ? ?? . x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

23.【2012 高考真题北京理 19】 (本小题共 14 分)

【答案】解: (1)原曲线方程可化简得:

x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ① xM xN ? 2 , ,② 2k 2 ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)

MB 方程为: y ?
????

? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? ,?, 1 xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

???? ???? G 欲证 A , ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线



3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G 将① 代入易知等式成立,则 A , ,N 三点共线得证。 ②

24.【2012 高考真题广东理 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 2 a b 3
15

C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由. 【答案】本题是一道综合性的题目,考查直线、圆与圆锥曲线的问题,涉及到最值与探索性 问题,意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

25.【2012 高考真题重庆理 20】 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 的中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

16

【答案】 【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以 及直线与圆锥曲线的综合问题.

17

26.【2012 高考真题四川理 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动 点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,

y

M

A


O

B x

| PR | 的取值范围。 | PQ |

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力, 逻辑推理能力,考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想

18

27.【2012 高考真题新课标理 20】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【答案】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

19

S?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 2 x0 x0 p 2 )? p? ? ? ? x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

(2)由对称性设 A( x0 ,

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3y ? ?0 ) ,直线 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

x2 x 3 3 3p p , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

28.【2012 高考真题福建理 19】如图,椭圆 E: 为 F2,离心率

的左焦点为 F1,右焦点

.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q.试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,说明理由.

20

21

29.【2012 高考真题上海理 22】 (4+6+6=16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 :

2 x 2 ? y 2 ? 1.
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的 三角形的面积;

OP ? OQ ; (2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、Q 两点, l 与圆 x ? y ? 1 相切, 若 求证:
2 2 2 2 (3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求

证: O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案】

过点 A 与渐近线 y ?

? 2? 2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ? x ? ? , 即y ? 2 x ? 1. ? 2 ? ? ?

22

ON ? 1 , OM ?

2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

设 O 到直线 MN 的距离为 d .

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆 的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊 的为等轴双曲线,它的离心率为 2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的 运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 . 30.【2012 高考真题陕西理 19】本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 【答案】

??? ?

??? ?

23

31.【2012 高考真题山东理 21】 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位 于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距 离为

3 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M , 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ) 若点 M 的横坐标为 2 , 直线 l : y ? kx ? 圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 【答案】

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,l 与 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

24

32.【2012 高考真题江西理 21】 (本题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) A ( -2,1 ) B ( 2,1 ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x , y ) 满 足 , , ,

??? ???? ???? ??? ??? ? ? ? ? MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 .
(1) 求曲线 C 的方程;
25

(2) 动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 【答案】

【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨 论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程, 离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问 题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相

26

关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合 起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容. 33.【2012 高考真题天津理 19】 (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B a 2 b2
1 ,求椭圆的离心率; 2

两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足 k ?

3.

【答案】

27

28


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