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北京市朝阳区2013年1月高三期末考试理科数学试题


北京市朝阳区 2013 年 1 月高三期末考试理科试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 1 1 A. 2 B. C. ? D. ?2 2 2 2.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交”的


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 F1 (? 5,0) , 点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则 此双曲线的方程是
开始

输入 x

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 ? ?1 C. 2 3
A.

y2 ?1 4 x2 y2 ? ?1 D. 3 2
B. x ?
2

x ? 23?
是 输出 k

5.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动, 若选出的 4 人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 A. 140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种[ 6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形, 其正视图与俯视图如 图所 示,则其侧视图的面积为 A.



3

结束

1
正视图

3 4 3 C. 4

B.

3 2

D. 1

正 视 图

2 2 7.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若

?

?

?

?

俯视图

A ? B 中恰含有一个整数,则实数 a 的取值范围是 ?3 4 ? ? 3? ?3 ? A. ? 0, ? B. ? , ? C. ? , ?? ? D. ?1, ?? ? ?4 3 ? ? 4? ?4 ? 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,点 P , P 分别是线段 AB , BD1 (不包括端 1 2 1
点)上的动点,且线段 P 1 P2 平行于平面 A ADD1 ,则四面体 PP AB1 的体积的最大值是 1 2 1

1 1 1 B. C. 24 12 6 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
A.

D.

1 2
.

b2 的值为 a1 ? a2 10. 如图, AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P . 2a 若 PD ? , ?OAP ? 30? ,则 AB = , CP ? (用 a 表示). 3
9. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则
O P C

A D

1

B

? x …0, ? 11.若关于 x , y 的不等式组 ? y …x, ( k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直 ? kx ? y ? 1 …0 ?
角三角形,则 k ? . 12. 在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

13.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分 点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? . 14. 将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递 增数列,则第三列各数之和的最小值为 ,最大值为 .

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2 ? ?? ] 上的最小值. ? ?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

16. (本小题满分 14 分) 在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, AA=AD=2 ,点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD . 1 1 (Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ? 若存在,求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长.
D1 17. (本小题满分 13 分) C1 某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这 次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学 B1 生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行 A1 统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决 下列问题: D E C

1 3

30 ,求棱 AB 的 6

A

B

频率分布表
频率分布直方图 频率 组距
0.040 x

组别 第1组 第2组 第3组 第4组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

频数 8

频率 0.16 ▓ 0.40 0.08
2

a
20 ▓

▓ ▓
0.008 y 50 60 70 80 90 100

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 合计 ▓ ▓ 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名 同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列 及其数学期望. 18. (本小题满分 13 分) 1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) . x (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取 x 值范围. 第5组 [90,100] 2

b

19.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点, 直线 l : x ? my ? 1(m ?R) 与椭圆 C 相交于 9 t 16 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是否 经过点 B ?并请说明理由.
已知点 A 是椭圆 C : 20. (本小题满分 13 分) 将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各
2

列中的任意两个数 a , b( a ? b ) 的比值

(Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n ,1 ? j ? n ) (Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 ,且满足

a , 称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ,并由此归纳此类 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
数表的“特征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表,记其“特征值”为 ? ,求证:
2

??

n ?1 . n

3

答案 一、选择题: (1) 题号 答案 A 二、填空题: 题号 (9) 答案 (2) A (10) (3) C (11) (4) B (5) D (12) (6) C (7) B (13) (8) A (14)

3 10

3a ;

9a 8

?1 或 0

? cos? ? 2

4

45 ; 85

(注:两空的填空,第一空 3 分,第一空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分)

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? ????????????????2 分 2 2 2 2 ? 1 ?????????????????4 分 ? sin( x ? ) ? . 2 4 2 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? . ????????????????6 分 ? ? 3? ? 5? 由 2k ? ? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] , k ? Z . ?????????9 分 函数 f ( x ) 单调递减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? 4 4 ? ?? ? ? 7? (Ⅱ)由 ? x ? ,得 ? x ? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4 ? 3? 5? 2 ?1 则当 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ???????13 分 4 2 4 2
解: (Ⅰ) f ( x) ? sin (16) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, 1 因为 A1B1 ? 面 A D1DA , 1 所以 A B1 ? AD1 . 1 所以 AD1 ? A D . 1 所以 AD1 ? 面 ????????2 分
A B D E C

在矩形 A D1DA 中,因为 AA=AD=2 , 1 1

A1B1D . ?????????????????
???????4 分 (Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A B1C1D1 中,以 D1 1 为原点建立空间直角坐标系 D1 ? xyz . 依题意可知, D1 (0,0,0), A (2,0,0), D(0,0, 2) , 1
A1

D1 C1

z D
B1

E C

A(2,0, 2) , 设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x,0), B1 (2, x,0) ,

A

B

D1

y C1

4
A1 x B1

2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3 假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE . ??? ? 设点 P (2,0, y) ,则 DP ? (2,0, y - 2) , ??? ? AP ? (0,0, y - 2) . ???? ??? ? 1 2 易知 B1 E=(-2, - x, 2), AE ? (-2, x, 0) . 3 3 设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,

1 ? ???? ?-2a - 3 xb ? 2c = 0 ? B1 E ? n = 0 ? ? 则 ? ??? ,即 ? .??????????????????7 分 ? ? AE ? n = 0 ? -2a + 2 xb = 0 ? ? 3 ? 3 3 令 b ? 3 得, a ? x, c ? x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE . 3 2 得 2 x + ( y - 2) ? x ? 0 ,所以 y ? . 2 3 ??? ? ??? 4 ? 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? ,所以 AP 的长为 .????????????9 分 3 3 3 (Ⅲ)因为 CD ∥ A1B1 ,且点 E ? CD ,
所以平面 A B1E 、平面 A1B1D 与面 A B1CD 是同一个平面. 1 1 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1B1D , 所以 D1 A ? (2,0, 2) 是平面 A B1E 的一个法向量. 1 由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3, 因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为

???? ?

????????????11 分

3 x) . 2

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n

30 , 6
2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

,解得 x ? 3 2 .

故 AB 的长为 3 2 . ??????????????????????14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ??????4 分 (Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

????????????????????????6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则

P( A) ?

2 2 C4 ? C2 7 ? . 2 C6 15

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

7 . ??????????8 分 15

5

P(? ? 0) ?

所以, ? 的分布列为

2 C4 C1C1 8 C2 1 6 2 ? ? , P(? ? 1) ? 4 2 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? . 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

?
P
所以, E? ? 0 ?

0

1

2

????????????????12 分

2 5

8 15

1 15

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ??????????????13 分 5 15 15 3

(18) (本小题满分 13 分)

解:函数的定义域为 ? 0,??? ,

f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a . )? ? x2 x x2

???????????????????1 分

1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????3 分
(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ?????4 分 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 ,
2

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????5 分 a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 由f .?????????6 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) 和( , ??) , a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为 ( , ) . ??????????????7 分 a a (ⅱ)若 a ? 1 ,h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. ????????????????????????8 分
由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ? (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ? 令 F ( x) ?

2 ln x0 .???????????????????9 分 x0

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x 2(1 ? ln x) 对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ? . ?????????????????10 分 x2 因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????12 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . ????????????????13 分
另解: 设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0,??? ,
6

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x
???????????????9 分

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, 则不满足题意.

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
??????????????????????????10 分 (2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 a ? 2 .

2 , e

??????????????????????????11 分

2 2 (ⅱ)当 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e 在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,
所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????????????12 分 e 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
由a ? 0得0 ? a ? 所以,

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .

2 ?a?2. e

???????????????13 分

(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 2 2t 2 2t ? 1, 4 2t ? ? ), F (1, ? ) ,所以 EF ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ? 1 4 2t 16 ? ,解得 t ? 2 . 因为△ AEF 的面积为 ? 4 ? 2 3 3 2 2 x y ? ?1. 所以椭圆 C 的方程为 ???????????????????4 分 9 2

7

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R .???????5 分 2 ? x ? my ? 1 ? 设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , ?4m ?16 , y1 y2 ? 则 y1 ? y2 ? ,??????????????????6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .

y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ? ???? ? 6 y1 ???? 6 y2 6 y2 同理得 N (3, ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,????????9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 ???? ??? ? ? 6 y1 6 y2 又因为 BM ? BN ? (2, ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3 36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4) 4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 ? m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16
?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9) ?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .??????????13 分 ? 9 ???? ??? ? ? 所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ?????????????14 分 ?
(20) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变. 可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能, 2, 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是

(Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为

3 4 或 . 2 3
7 5 3 1 8 6 4 2 9

????????????3 分

此时,数表的“特征值”为 . 当 n ? 4 时,数表为 13 10 7 4 1 14 11 8

4 3

????????????????????4 分 5 2 15 12 9 6 3 16

此时,数表的“特征值”为

5 . 4
1 22 18

?????????????????????5 分 6 2 23 11 7 3 16 12 8
8

21 17 13

9 5 当 n ? 5 时,数表为

14 10

19 15

24 20

4 25

此时,数表的“特征值”为 猜想“特征值”为

n ?1 . n

6 . ??????????????????????6 分 5
???????????????????????7 分

(Ⅲ)对于一个数表而言, n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数中,要么至少有两个数 在一个数表的同一行(或同一列)中,要么这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.
2 2 2

①当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数,至少有两个数在数表的同一行 (或同一列)
2 2 2

中时,设 a , b ( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 , b n ? n ?1

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 因为 2 ? ? ?? ? 0, 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1) n2 n ?1 n ?1 ? . ????????????????10 分 所以 2 ,从而 ? ? n n ? n ?1 n 2 2 2 ②当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时, 当它们中的一个数与 n2 ? n 在同行(或列)中,设 a 为与 n2 ? n 在同行、同列中的两个最大 a n2 ? 1 n ? 1 ? ? 数中的较小的一个.则有 ? ? 2 . n ? n n2 ? n n n ?1 综上可得 ? ? . ????????????????????????13 分 n

9


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