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2.2.3直线与平面平行的性质


高中数学必修 2

2015年1月17日星期六

复习回顾:
1.直线与直线的位置关系有

共面

相交
平行

异面
2.直线与平面平行的判定方法:

⑴定义法;
⑵判定定理.

直线与平面平行的

判定定理:
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.

a

图形

α
符号语言:

b

若a ? ? , b ? ? , a // b,则 a // ?

作用: 判定直线与平面平行的重要依据。
简记为: 线线平行,则线面平行。

新课引入:
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题(即所需条件);反之,在直 线与平面平行的条件下,会得到什么结论?

问题讨论:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条

直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a a

b

b α

α

平行

异面

(2)什么条件下,平面?内的直线与直线a平行呢?
若“共面”必平行,换 句话说,若过直线 a的某一 平面与平面?相交,则直线 a就和这条交线平行 .

解决问题:
已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b

在同一个 平面,无 公共点

证明: ?? ? ? ? b,? b ? ? 又 ? a // ? ? a与b无公共点 又? a ? ? , b ? ? ? a // b

讲授新课:
线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

l // ? l?? ? ?? ? m

β
l

l // m
m

简记为: “线面平行,则线线平行” 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。

α

例题讲解:
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开, 应怎样画线? 解: ⑴如图,在平面A'C'内,

过点P作直EF//B'C',分别交
棱A'B'、C'D'于点E、F, A'

D' E

F P
B'

C' C

连结BE、CF,
下面证明EF、BE、 A CF为应画的线.

D

B

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? 解: ⑴ D' BC//B'C' BC//EF EF//B'C' EF、BE、CF共面. A A' D E F

P
B'

C' C

则EF、BE、CF为应画的线.

B

例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?

解: 由⑴,得 EF//BC, ⑵ EF//BC
EF//面AC BE、CF都与面相交. 线面平行 线线平行 A

D' A' D E

F P
B'

C' C

B

线面平行

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b, 已知:直线a、b,平面?, a // ? , a,b ? ? , 求证: b//?

a
过a作辅助平面?, 提示: 且

b

? ?? ? c

?

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 求证: b//? 且 证明:过a作平面?, 性质定理 a // ? 且a//b, 已知:直线a、b,平面?, a // ? , a,b ? ? ,

? ?? ? c ?
?

a
c

b

a??

? ?? ? c

? a // c ? b // c
a // b
c ??
b ??

?b // ?

线面平行

线线平行

判定定理 线面平行

练习.ABCD是平行四边形,点P是平面
ABCD外一点,M是PC的中点,在DM 上取一点G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证:AP//GH 提示:连结AC 交BD于O,连 结OM 线线平行 线面平行
A G D H O B C P M

线线平行

例3. 求证:如果一条直线和两个相交平 面都平行,那么这条直线和它们的交线 平行.
已知:α∩β=l,a∥α,a∥β. 求证:a∥l.
l b

β
c

提示:过a作两个辅助平面

α

δ

γ

a

例4 : 在长方体ABC D -A1B1C1D1中, 点P ? BB (不与 B、B1重合) , PA ? BA1 ? M, 1 PC ? BC1 ? N, 求证 : MN//平面ABC D
D1 C1

提示 : 连结AC、 A1C1 A

1

B1 P M D N C

A

B

解 : 连结AC、 A1C1 长方体中A1 A //C1C ? A1C1 //AC ? AC ? 面A1C1B A1C1 ? 面A1C1B
A1

D1

C1

B1 P M D N C

A

B

? AC // MN MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 D1 A1 P . Q B1 C
1

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 解析: 连结AB1、AD1, ∵PQ//面AB1, ∴PQ//AB1, ∵点P是面AA1D1D的中心, ∴PQ是△AB1D1的中位线,
2 2

. Q B1 C
1

D1 A1 P

D
A B

C

课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 a∥ b. a b

性质定理的运用.
⑴判定定理. 线线平行 ⑵性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行

2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法:

3.要注意判定定理与性质定理的综合运用

1如图,已知AB∥平面α,AC∥BD, 且AC、BD与平面α相交于C、D,求 证:AC=BD.
A B β D

α

C

? 2:如图所示,四边形EFGH为空间四边形

ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
? 求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.

3已知异面直线AB、CD都平行 于平面 ? 且AB、CD在? 两侧,若AC、 BD与? 分别交于M、N两点, A AM BN B ? 求证: MC ND 方法1

?
C

P

M

N

D

? 变式训练1:如图,已知A?B?C?D四点不共面, 且AB∥平面α,CD∥平面 α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H, ? (1)求证:EFGH是一个平行四边形; ? (2)若AB=CD=a,试求 ? 四边形EFGH的周长.

? (1)证明:AB∥α,AB
ABC∩α=EH
(2)解:∵AB∥EH,∴

?

平面ABC,平面 EFGH是平行四边
EH CE EF AE ? .同理 ? , AB CA CD AC

AB∥EH,同理AB∥FG

EH∥FG,同理EF∥GH
形.

CE AE EH EF 又 ? ? 1,? ? ? 1. CA AC AB CD
∵AB=CD=a,∴EH+EF=a, ∴平行四边形EFGH的周长为2a.


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