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高中数学必修1---必修5、选修1-1选修1-2知识点

时间:2011-02-02


高一数学必修 1---必修 5、选修 1-1 选修 1-2 知识点

必修 1
集合 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合(或集),构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或 成员)。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 Φ 。 一般地,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做 集合 B 的子集,记作 A ?
B或 B ? A

,读作“A 包含于 B”,或“B 包含于 A”。

如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A ? 含 A”。 一般地,如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素,那么我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B。 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合,叫做 A,B 的交集,记作 A ? B ,读作“A 交 B”。 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫 做 A 与 B 的并集,记作 A ? B ,读作“A 并 B”。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构成的 集合,叫做 A 在 U 中补集,记作 CuA ,读作“A 在 U 中的补集”。
B或 B ? A

,读作“A 真包含于 B”,或“B 真包

? ( 1) 元 素 与 集 合 的 关 系 : 属 于 ( ? ) 和 不 属 于 ( ? ) ? ? ? ( 2) 集 合 中 元 素 的 特 性 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性 ? ? 集合与元素 ? ? ( 3) 集 合 的 分 类 : 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 : 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集 ? ? ? ( 4) 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 ( 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ) 、 图 示 法 、 区 间 法 ? ? ? ? ? 子 集 : 若 x ? A ? x ? B, 则 A ? B, 即 A是 B的 子 集 。 ? ? ? ? n n ? 1、 若 集 合 A中 有 n 个 元 素 , 则 集 合 A的 子 集 有 2 个 , 真 子 集 有 ( 2 - 1) 个 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 2、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 , 即 A ? A ? ? 注 ? ? ? ?关 系 ? ? ? 3、 对 于 集 合 A , B , C , 如 果 A ? B , 且 B ? C , 那 么 A ? C . ? ? ? ? 4、 空 集 是 任 何 集 合 的 ( 真 ) 子 集 。 ? ? ? ? ? ? 真 子 集 : 若 A ? B 且 A ? B 即 至 少 存 在 x ? B 但 x ? A) , 则 A 是 B 的 真 子 集 。 ? ( 0 0 集合 ? ? ? ? ? ?集 合 相 等 : A ? B且 A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A且 x ? B ? ?集 合 与 集 合 ? ? ?交 集 ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A, A ? B ? A , A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A或 x ? B ? ? ? ? ? 并集 ? ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? B ? B ? A , A ? B ? A , A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运 算 ? ? ? C ard ( A ? B ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) - C ard ( A ? B ) ? ? ? ? ?定 义 : C U A ? ? x / x ? U 且 x ? A? ? A ? ? ? ? ? ? 补 集 ? 性 质 :C A ) ? A ? ? ,C A ) ? A ? U , C ( C A ) ? A, C ( A ? B ) ? ( C A ) ? ( C B ), ? ( U ( U U U U U U ? ? ? ? ? C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B ) ? ? ? ? ? ?

1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的―确定性、互异性、无序性‖。 如: 集合 A ? ? x | y ? lg x ? , B ? ? y | y ? lg x ? , C ? ? ( x , y ) | y ? lg x ? , A、 B 、 C 中元素各表示什么? 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 ? 的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 如:集合 A ?
? ? 1?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? x|

x ? 2 x? 3 ? ?, 0
2

B ? ?

x | a x? 1, 若 B ? A , 则 实 数 a 的 值 构 成 的 集 合 为 ?

0 答: ? ? 1,, ? 3?

3.注意下列性质: (1)集合 ? a 1, a 2, … … , a n ? 的所有子集的个数是 2 (2)若 A ? B ? A ? B ? A , A ? B ? B ; 4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于 x 的不等式
ax ? 5 x ? a
2

n

? 0 的 解 集 为 M , 若 3 ? M 且 5 ? M , 求 实数 a 的 取 值 范 围。

a 3?5 · ? ∵3 ? M , ∴ 2 ? 0 ? ? ? 5? 3 ? a ? a ? 1, ? ? ? 9 , 5 ? 2 ? ? 3 · ? ? ?∵ 5 ? M , ∴ a 5 ? 5 ? 0 2 ? 5 ? a ?

函数
函数是一种关系,在一个变化过程中,有两个变量

x 和 y,如果给定了一个 x 值,

相应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。 定义 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一 个元素 x,在 B 中有且仅有一个(唯一确定)元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。 这时, y 是 x 在映射 f 的作用下的象, 称 记作 f(x)。 于是 y=f(x), x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为:f:A→B, x→f(x).其中 A 叫做映射 f 的定义 域(函数定义域的推广),由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常叫作 f(A)。 注意: 1. “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; 2. 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x。 3. 集合 A 和 B 是有先后顺序的, 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的, A 其中 f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表示。 4. “有且仅有一个(唯一确定)”意思是:一是必有一个,二是只有一个,也 就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域。 ? 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称 这两个函数相等(或为同一函数)。

? 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变 量和函数值的字母无关。 区间的概念 ? 区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ? 无穷区间 ? 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任意一个元素, 在集合 A 中有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应 关系,并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则, 这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, (1)若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数。 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这 一区间上的单调函数。 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ? 任取 x1,x2 ? D,且 x1<x2; ? 作差 f(x1)-f(x2);

? 变形(通常是因式分解和配方); ? 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ? 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)。 取值→作差→变形→定号→下结论 设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x ? D,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。 设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x ? D,且 f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数。 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形; 反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函 数是奇函数。 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之, 如果一个函数的图像关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数。

函数

? 映 射 定 义 : 设 A, B 是 两 个 非 空 的 集 合 , 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 , 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 元 素 x, 在 集 合 B中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y与 之 对 应 , 那 么 就 称 对 应 f : ? B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 映 射 ? 传 统 定 义 : 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 x , y , 并 且 对 于 x在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 , ? ? 按 照 某 个 对 应 关 系 f , y 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 y 就 是 x的 函 数 。 记 作 y ? f ( x ?定义 ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? ? ?定 义 域 ?函 数 及 其 表 示 ?函 数 的 三 要 素 值 域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函 数 的 表 示 方 法 ?列 表 法 ? ? ?图 象 法 ? ? ? 传 统 定 义 : 在 区 间 ? a , b ? 上 , 若 a ? x1 ? x 2 ? b , 如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 增 , a , b ?是 ? ? ? ? 递 增 区 间 ; 如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 减 , a , b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ?单 调 性 ? 导 数 定 义 : 在 区 间 ? a , b ? 上 , 若 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 增 , a , b ?是 递 增 区 间 ; 如 f ( x ) ? 0 ? ? ? 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 减 , a , b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最 大 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 M 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x? I , 都 有 f ( x ) ? M ; ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? M 。 则 称 M 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 大 值 ? 函 数 的 基 本 性 质 ?最 值 ? ? ? ? 最 小 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 N 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x? I , 都 有 f ( x ) ? N ; ? ? ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? N 。 则 称 N 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 小 值 ? ? ? ? ( 1 ) f ( ? x ) ? ? f ( x ) , x? 定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。 ? ? ? 奇 偶 性 ? ( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ) , x? 定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周 期 性 : 在 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 上 恒 有 f ( x ? T ) ? f ( x )( T ? 0 的 常 数 ) 则 f ( x ) 叫 做 周 期 函 数 , T 为 周 期 ; ? ? T 的 最 小 正 值 叫 做 f ( x )的 最 小 正 周 期 , 简 称 周 期 ? ? ? ( 1) 描 点 连 线 法 : 列 表 、 描 点 、 连 线 ? ? ? ?向 左 平 移 ? 个 单 位 : y1 ? y , x1 ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向 右 平 移 a 个 单 位 : y ? y , x ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) 1 1 ? ?平 移 变 换 ? 向 上 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ?向 下 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? 横 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 横 坐 标 x1 缩 短 ( 当 w ? 1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0 ? w ? 1 时 ) ? ? ? ? 到 原 来 的 1 / w 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 即 x1 ? w x ? y ? f ( w x ) ? ?伸 缩 变 换 ? 纵 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 纵 坐 标 y1 伸 长 ( A ? 1 ) 或 缩 短 ( 0 ? A ? 1 ) 到 原 来 的 A 倍 ? ? ? ?函 数 图 象 的 画 法 ? ( 横 坐 标 不 变 ) , 即 y1 ? y / A ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ( 2) 变 换 法 ? ? ? ? ? x ? x11? 2 x 00 x11 ? 2 x 00 ? x ? 关 于 点 ( x 0 , y 0 ) 对 称 :y ? y ? 2 y ? ? y ? 2 y ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ? ? ? ? ?关 于 直 线 x ? x 对 称 : ? ? ? 0 ? xy ?? xy11? 2 x 0 ? ? xy11 ?? 2y x 0 ? x ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ?对 称 变 换 ? ? ? ? ? ?关 于 直 线 y ? y0 对 称 : ? ? xy1??x1y ? 2 y 0 ? ? xy11 ?? x2 y 0 ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? 关 于 直 线 y ? x对 称 : ? xy ?? xy11 ? y ? f ? 1 ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; 5、三角函数正切函数 y ?
ta n x

中x ?

k? ?

?
2

(k ? Z )

;余切函数 y

? cot x

中;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其 取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、 配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单 调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x ), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x ) ? g ( x ) 在这个区间上也为 增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x ) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同,则 y 性不同,则 y
? f [ g ( x )] ? f [ g ( x )]

是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调

是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等 式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f ( 0 ) ? 0 ,如果一个函数 y
? f (x)

既是

奇函数又是偶函数,则 f ( x ) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y
? f (u )

和u

? g (x)

复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,

那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5、若函数
f (x) ? 1 2
f (x)

的定义域关于原点对称,则

f (x)

可以表示为

[ f ( x ) ? f ( ? x )] ?

1 2

[ f ( x ) ? f ( ? x )]

,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶

函数的和。 函数 y=kx+b(k ? 0)叫做一次函数,它的定义域为 R,值域为 R。 一次函数 y=kx+b(k ? 0)的图象是直线,以后简写为直线 y=kx+b,其中 k 叫 做该直线的斜率,b 叫做该直线在 y 轴上的截距。 一次函数又叫做线性函数。 函数 y=ax2+bx+c(a ? 0)叫做二次函数,它的定义域是 R。 函数的应用

? ? ? 零 点 : 对 于 函 数 y ? f( x), 我 们 把 使 f ( x ) ? 0 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ? f ( x ) 的 零 点 。 ? ? ?定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x )在 区 间 [ a , b ]上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f ( a ) ? f (b ) ? 0 , ? ?零点与根的关系 ? 那 么 , 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 内 有 零 点 。 即 存 在 c ? ( a , b ), 使 得 f ( c ) ? 0 , 这 个 c 也 是 方 ? 程 f ( x ) ? 0的 根 。 ( 反 之 不 成 立 ) ? ? ? ? ? 关 系 : 方 程 f ( x ) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x ) 有 零 点 ? 函 数 y ? f ( x )的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? ? ? ( 1 ) 确 定 区 间 [ a , b ], 验 证 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , 给 定 精 确 度 ? ; ?函 数 与 方 程 ? ? ( 2 ) 求 区 间 ( a , b )的 中 点 c ; ? ? 函数的应用 ? ? ( 3 ) 计 算 f ( c ); ?二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 ? ① 若 f (c ) ? 0 , 则 c就 是 函 数 的 零 点 ; ? ? ? c ? ? ② 若 f ( a ) ? f ( c ) ? 0 , 则 令 b ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( a , b )) ; ? ? c ? ③ 若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0 , 则 令 a ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( c , b )) ; ? ? ? ( 4 ) 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ? : 即 若 a - b ? ? , 则 得 到 零 点 的 近 似 值 a ( 或 b ); 否 则 重 复 2 ? 4 。 ? ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函 数 模 型 及 其 应 用 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题 ? ? ?建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ?
基本初等函数 整数指数: an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数。并规定 a1=a。n 必须是正 整数,所以这样的幂叫做正整指数幂。正整指数幂的运算满足如下法则:
a
m

?a
m

n

? a ? a

m?n

(a

)

n

mn

( ab ) a a
m n

n

? a b
n m?n

n

? a

(m ? n, a ? 0)

分数指数: 正数的分数指数幂的意义 规定:
1

a a

n

? ?

n

a (a ? 0) a
m

m n n

(a ? 0, m , n ? N , 且
*

m n

为既约分数

)

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可以定义为:

?

m n

a

?

1
m

?
n

1 a
m

(a ? 0, m , n ? N , 且
*

m n

为既约分数

)

a

n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数 指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 有理数指数幂:

运算性质 (1) a ? a
r r

? a
rs

r?s

(a ? 0, r , s ? Q )



(2) ( a

r

)

s

? a

(a ? 0, r , s ? Q )
s



(3) ( ab )
根式的概念

r

? a a
r

(a ? 0, b ? 0, r ? Q )

一般地,如果 x

n

? a

,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *.

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此 时, a 的 n 次方根用符号 式子
n n

a

表示.

a

叫做根式(radical),这里 n 叫做根指数(radical exponent), a 叫做被

开方数(radicand). 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的 正的 n 次方根用符号
n

a

表示,负的 n 次方根用符号-
n

n

a

表示.正的 n 次方根与负

的 n 次方根可以合并成±

a

( a >0).
n

由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作

0 ? 0



表 1 定 义 域 值 域

指数函数 y ? a

x

?a

? 0, a ? 1?

对数数函数 y ? lo g a x

?a

? 0, a ? 1?

x? R

x ? ? 0, ?? ?

y ? ? 0, ?? ?

y? R

图 象

过定点 ( 0 ,1 ) 减函数
x ? ( ? ? , 0 )时 , y ? (1, ? ? ) x ? ( 0 , ? ? )时 , y ? ( 0 ,1)

过定点 (1, 0 ) 增函数 减函数
x ? ( 0 ,1)时 , y ? ( 0 , ? ? ) x ? (1, ? ? )时 , y ? ( ? ? , 0 )

增函数
x ? ( 0 ,1)时 , y ? ( ? ? , 0 ) x ? (1, ? ? )时 , y ? ( 0 , ? ? )

x ? ( ? ? , 0 )时 , y ? ( 0 ,1) x ? ( 0 , ? ? )时 , y ? (1, ? ? )

性 质

a ?b

a ?b

a ?b

a ?b

底数越小越接近坐标轴 表2
? ?
p q

底数越大越接近坐标 轴

底数越小越接近坐标轴
?

底数越大越接近坐标轴

幂函数 y ? x ( ? ? R )

? ? 0

0?? ?1

? ?1

? ?1

p为 奇 数 q为 奇 数

奇函数

p为 奇 数 q为 偶 数

p为 偶 数 q为 奇 数

偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点 0, ( 1)

? ? ?根 ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ?指 数 的 运 算 ? ? ? ? 指 数 函 数 ? 性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定 义 ? ? 指 数 函 数 ? ? ? ?性 质 ? ? ? ?对 ? ? ? ? ? ? ? 基 本 初 等 函 数 ? ? ? ? ? ? ? 对 数 的 运 算 ? ? ? ? ?性 ?对 数 函 数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定 义 ? ? 对 数 函 数 ? ? ? ?性 质 ? ? ? ? ?定 义 : 一 般 地 , ?幂 函 数 ? ? ?性 质 : 见 表 2 ?

n 式 : a , n为 根 指 数 , a为 被 开 方 数 ? n ? 数 指 数 幂

? ? ?

a

m

m ? a n

? a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q ) ? r s rs 质 ?(a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q ) ? r r s (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ?
: 一 般 地 把 函 数 y ? a : 见 表1 数 : x ? lo g a N , a 为 底 数 , N 为 真 数 x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫 做 指 数 函 数 。

? lo g a ? ? lo g a ? 质 ? lo g a ? ? ?换 底 ?

(M M N M

? N ) ? lo g a M ? lo g a M n

? lo g a N ;

? lo g a N ; ? 0, N ? 0)

.

? n l o g a M ; ( a ? 0 , a ? 1, M

公 式 :o g l

a

b ?

lo g lo g

c c

b a

( a , c ? 0 且 a , c ? 1, b ? 0 )

: 一 般 地 把 函 数 y ? l o g a x ( a ? 0 且 a ? 1 )叫 做 对 数 函 数 : 见 表1

函 数 y ? x

?

叫 做 幂 函 数 , x是 自 变 量 , ? 是 常 数 。

以 10 为底的对数叫做常用对数。 换底公式: log
b

N ?

log log

a a

N b

自然对数:以 e 为底的对数叫做自然对数。 积、商、幂的对数运算法则: (1)loga(MN)=logaM+logaN loga(N1 N2 N3?Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+?+logaNk 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 (2)loga(
M N

)=logaM-logaN

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。

(3)loga M = ? logaM
?

即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 幂函数定义:一般地,函数 y=xa 叫做幂函数,x 是自变量,a 是常数。

幂函数的性质: 1、 所有的幂函数在(0,+ ? )都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因:1x=1); 2、 在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低); 在(1,+ ? )上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴。 3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,值域是 否出现在第二、第三象限内,要看函数的奇偶性,幂函数的图象最多只能同 事出现在两个象限内,如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。 4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况,即:(1)? 为 0;(2)? 为正整数; (3) ? 为负整数;(4) ? 为正分数;(5) ? 为负分数。 5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,只要作出 幂函数在第一象限的图象, 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内

完整的图象。 6、 幂函数 y
? x (? ? R )
?

的图象主要分为以下几类:

(1) 当 ? =0 时,图象是过(1, 1)点平行于 x 轴但抠去(0, 1)点的一条“断” 直线; (2) 当 ? 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限及原点。 (3) 当 ? 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第三象限及原点。 (4) 当 ? 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。 (5) 当 ? 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。 7、 当 ? >0 时,幂函数 y
? x
?

图象一些性质:

(1) 图象都通过点(1,1),(0,0); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; (3) 在第一象限内, ? >1 时,图象是向下凸的;0< ? <1 时,图象是向上凸的。 8、 当 ? <0 时,幂函数 y (1) 图象都通过点(1,1); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图象是向下凸的。 反函数:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数 的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互 为反函数。
? x
?

图象一些性质:

高中数学必修 2 知识点 数轴上的基本公式 如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B,则说点在轴 上作了一次位移,点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量, 通常叫做位移向量,简称向量。

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。 平面直角坐标系中的基本公式 1、两点间距离公式:设 A ( x , y
1 1

), B x 2 , y 2) (

是平面直角坐标系中的两个点,

则 | A B |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2

2

。 ,M(x,y)是线段 AB 的中点, x
? x1 ? x 2 2 ,y ? y1 ? y 2 2

2、中点公式:设 A ( x , y
1

1

), B x 2 , y 2) (

直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0° ≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线 的斜率常用 k 表示。即 k 当? 当? 当?
? 0 , 90
? tan ?

。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

?

?

?

? 时, k
?

? 0;
? 0;

? 90 ,180

?

?

? 时, k

? 90

?

时, k 不存在。
? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 )

②过两点的直线的斜率公式: k 注意下面四点: (1)当 x
1

? x2

时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;

(2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程的几种形式 ①点斜式: y ?
y1 ? k ( x ? x1 )

直线斜率 k,且过点 ? x , y ?
1 1

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ③两点式:
? kx ? b

,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b (x
? x 2 , y1 ? y 2

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1
1

)直线两点 ? x , y ? , ? x
1 1

2

, y2 ?

x

④截矩式: a

?

y b

?1

其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a , 0 ) ,与 y 轴交于点 ( 0 , b ) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为
a,b


? By ? C ? 0

⑤一般式: Ax

(A,B 不全为 0)

注意:○各式的适用范围 1 ○特殊的方程如: 2 平行于 x 轴的直线: y 平行于 y 轴的直线: x
? b

(b 为常数); (a 为常数);

? a

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A
A0 x ? B 0 y ? C ? 0
0

x ? B0 y ? C 0 ? 0

(A

0

, B0

是不全为 0 的常数)的直线系:

(C 为常数)

(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? (ⅱ) 过两条直线 l
1

y 0 ? k ?x ? x 0

? ,直线过定点 ? x

0

, y0 ?



: A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

,l 2

: A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

的交点的直线系方程为

? A1 x

? B1 y ? C 1 ? ? ? ? A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? ? 0

( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系中。

(6)两直线平行与垂直 当l
1

: y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2

时, ;

两直线平行的充要条件: l 两直线垂直的充要条件: l

1

// l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ? l2 ? k1k 2 ? ? 1

1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 点到直线距离公式:一点 P ? x 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 (7)两条直线的交点
l 1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0
0

, y0

? 到直线 l 1 : Ax ? By ? C ? 0

的距离 d

?

Ax

0

? By A
2

0

? C
2

? B

l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

相交 的一组解。

交点坐标即方程组 ? A x ? ?
1

B1 y ? C 1 ? 0

? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ?

l1 // l 2


l1

方程组有无数解 ?

与 l 重合
2

圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定 长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ?
2

?

?y

? b?

2

? r

2

,圆心 ? a , b ? ,半径为 r;
2

特别的, 如果圆心在坐标原点, 这时 a=0, b=0, 圆的标准方程就是 x (2)一般方程 x 当D 当D
2
2

? y

2

? r

2



? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0
1 2
2

? E

2

? 4F ? 0

时,方程表示圆,此时圆心为 ?? ? D , ? E ?? ,半径为 r ?
? 2 2 ?

D

? E

2

? 4F

2

? E

2

? 4F ? 0

时,表示一个点;

当D

2

? E

2

? 4F ? 0

时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的 标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的 位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: (1)设直线 l : Ax
d ? Aa ? Bb ? C A
2

? By ? C ? 0

,圆 C

: ?x ? a ?

2

?

?y

? b?

2

? r

2

,圆心 C ? a , b ? 到 l 的距离为

,则有 ; ;

? B

2

d ? r ? l 与 C 相离
d ? r ? l 与 C 相切 d ? r ? l 与 C 相交

(2)设直线 l : Ax

? By ? C ? 0

,圆 C

: ?x ? a ? ?
2

?y

? b?

2

? r

2

,先将方程联立消元,得到一

个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有
? ? 0 ? l 与 C 相离

; ;

? ? 0 ? l 与 C 相切
? ? 0 ? l 与 C 相交

注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx 其中 ? x
0

0

? yy

0

? r

2

去解直线与圆相切的问题,

, y0

? 表示切点坐标,r 表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx
0

? yy

0

? r

2

(课本命

题). ② 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比 较来确定。 设圆 C
1

: ? x ? a 1 ? ? ? y ? b1 ?
2

2

? r

2

,C

2

: ?x ? a 2

?

2

?

?y

? b2

?

2

? R

2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确 定。 当d 当d
? R ? r
? R ? r

时两圆外离,此时有公切线四条; 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当R ? r 当d 当d 当d

? d ? R ? r

? R ? r ? R ? r

时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 时,两圆内含;

? 0

时,为同心圆。 空间直角坐标系

(1)定义:如图, O B C D ? D

,

A B C

,

,

,

是单位正方体.以 A 为原点,

分别以 OD,OA1,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴、y 轴、z 轴。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。 大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这

样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x , y , z ) 来表示,有序 实数组 ( x , y , z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x , y , z ) (x 叫做 点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) 空间两点的距离公式: 空间两点 A ( x
1

, y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 )

的距离公式为
2 2 2

d ( A , B ) ? AB ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 )

特别地,点 A ( x

1

, y1 , z1 )

到原点 O 的距离公式为
x ? y2 ? z
2 2 2

d ( O , A ) ? OA ?

立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE 柱 AD
'

? ABC D E
' ' ' '

'

或用对角线的端点字母,如五棱

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形; 侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P
? A B C D E
' ' ' ' '

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P
? A B C D E
' ' ' ' '

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 锥的顶点 (4)圆柱:

②侧面是梯形

③侧棱交于原棱

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④ 侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图 是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向 右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积
S 正棱台侧面积 ? 1 2

? ch
( c1 ? c 2 ) h '

S 圆柱侧

? 2 ? rh

S 正棱锥侧面积

?

1 2

ch '

S 圆锥侧面积

? ? rl

S 圆台侧面积

? ( r ? R )? l

S 圆柱表

? 2? r ?r ? l ?

S 圆锥表

? ? r ?r ? l ?

S 圆台表

? ? r

?

2

? rl ? Rl ? R

2

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V柱 ? Sh
V圆 柱 ? S h ? ?
2

r

h

V锥 ?

1 3

Sh

V 圆锥 ?

1 3

?r h
2

V台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h
'

V圆 台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h ?
'

1 3

? (r ? rR ? R )h
2

2

(4)球体的表面积和体积公式:V = 4 ? R ; S

3

球面

= 4? R

2

3

4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;

② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角 内); 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A? l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l? α 。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在 这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线)

应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ?
? l ??

(3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确 定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定: 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是 异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’ ∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的
A ? B ? l, P ? l

②它是证明平面重合的

角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直 角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明:(1)判定空间直线是异面直线方法: ①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 (3)求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊 的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等 或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α

a∩α =A

a∥α

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平 面平行。

线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平 行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行 →线线平行) 6、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直 线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和 这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂 直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线 垂直于另一个平面。 7、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 。
?

②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所 成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行 的直线 a ? ,
b? , 形成两条相交直线, 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两

条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。
?

②平面的垂线与平面所成的角:

规定为 90 。
?

③平面的斜线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2) 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条 直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于 .. ... 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如 果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平 面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线 所成的角为二面角的平面角

高一数学必修 3 公式总结 §1 算法初步
秦九韶算法是一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法。 一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过[n(n+1)]/2 次乘法和 n 次加法,

而秦九韶算法只需要 n 次乘法和 n 次加法。 对于一个 n 次多项式,至多做 n 次乘法和 n 次加法 表达式如下:
an x
n

? a n ?1 x

n ?1

? ... ? a 1 ?

???? a n x

? a n ? 1 ? x ? a n ? 2 ? x ? ... ? x ? a 2 ? x ? a 1

例题:秦九韶算法计算多项式
需要做几次加法和乘法
即 :

3x

6

? 4x

5

? 5x

4

? 6x

3

? 7x

2

? 8x ? 1 ,

当 x ? 0.4 时 ,

运算 ?

答案: 6 , 6

? ? ? ? ?3x

? 4 ?x ? 5 ?x ? 6 ?x ? 7 ?x ? 8 ?x ? 1

?

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为

算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌 的算法,空调说明书是空调使用的算法(algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代 码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出 可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器 在一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度 3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等② 控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构。

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算

法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:

1. 画流程图的时候一定要清晰, 用铅笔和直尺画, 要养成有开始和结束的好习惯。 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇 到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好 大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就 可以有几种书写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起, 一起终结到结束框。 ?算法结构: 顺序结构,
A

选择结构,
p

循环结构

Y A

N B

A

A

B

N

p Y

p Y N N

直到型循环 Ⅰ.顺序结构(sequence

当型循环

structure ):是一种最简单最基本的结构它不存在条件

判断、控制转移和重复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先 后顺序执行的。 Ⅱ.选择结构(selection structure ):或者称为分支结构。其中的判断框,书写时 主要是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语 句,不能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只 是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行 其它语句。 Ⅲ.循环结构(cycle structure):它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到

型(until)和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环 体时(即不知道循环次数时)用当型循环。

?基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo

code),且是使用 BASIC 语言

编写的,是介自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用 的好方法。伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意 符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值语句中可以用 x 表示两变量相乘时可以用“*”,也可以用“ ? ” Ⅰ. 赋值语句(assignment statement):用
?

? y

,也可以用 x

? y



表示, 如: x

? y

,表示将 y 的值

赋给 x,其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式。 一般格式:“ 变量
? 表达式

”,有时在伪代码的书写时也可以用“ x

? y

”,但此

时的“=”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量, 不能是常数或者表达式, 右边可以是常数或者表达式。 “= ”具有计算功能。 如:3=a,b+6=a,都是错误的,而 a=3*5–1,a=2a +3 都是正确的。 2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a=b=c=2,a,b,c =2 都是错误的,而 a=3 是正确的。 例题:将 x 和 y 的值交换
p ? x
p ? x x ? y y ? p

x ? y

同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值:y

? z

z ? p

Ⅱ.输入语句(input statement):Read a,b 表示输入的数一次送给 a,b 输出语句(out statement):Print x,y 表示一次输出运算结果 x,y

注: 1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开! 2.Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3.Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用“=” 4.Print 语句可以输出常量和表达式的值 5.有多个语句在一行书写时用“;”隔开 例题:当 x 等于 5 时,Print“x= ”;x 在屏幕上输出的结果是 x=5 Ⅲ.条件语句(conditional statement): 1.行 If 语句: 2.块 If 语句: 注: ①不要忘记结束语句 End 有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定, 即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后 面也要有 End If If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If,就必须要 If A Then B 注:没有 End If

③注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。 ④为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下:
If Else C End If A Then B If A Then B Else If C Then D End If

例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法。
Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then Print a Else

Read a , b , c If a≥b and a≥c Then Print a Else If b≥c Then Print b Else

或者

Print c End If

注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数 Ⅳ.循环语句(cycle statement): ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次数的循环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明: 1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一 般在解决有关问题时,可以写成 While 循环,较为简单,因为它的条件相对好判 断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写

3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

高中数学必修 4 知识点
角的概念
?正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? 1 、 任 意 角 ?负 角 : 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? ?零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角

各角和的旋转量等于各角旋转量的和。 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.
第一象限角的集合为 ? ? 第二象限角的集合为 ? ? 第三象限角的集合为 ? ? 第四象限角的集合为 ? ?
k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?
? ? ? ?

k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?
? ? ? ?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ??

? ? k ?1 8 0 , k ? ?
? ? ?

? ?

? ? k ?1 8 0 ? 9 0 , k ? ?
? ? k ? 90 , k ? ?
? ?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ?

? ?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定
?
n

? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
*

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴
?
n

的正半轴的上方起, 依次将各区域标上一、 二、 三、 四, ? 原来是第几象限对应的标号即为 则 终边所落在的区域。

弧度制和弧度制与角度制的换算 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ?

?

l r



7、弧度制与角度制的换算公式:
2? ? 3 6 0
?



1 ?

?

?
180

rad ? 0.01745 rad,

1

? 180 ? rad= ? ? ? ? ?

?

? 57 . 30

?

? 57 1 8 ?
?

180°= ? rad

?

rad= ? ?

180 ? ? ? ? ? ?

?

n

?

? n?

?
180

rad

8、若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则l ? r ? ,C
? 2r ? l

,S

?

1 2

lr ?

1 2

? r

2

任意角的三角函数 三角函数的定义
9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x , y ? ,它与原点的距离是
r r ?

?

x ? y
2

2

? 0

? ,则
? y r x r y x

y r x r y x

叫做角 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 s in ?



叫做角 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 c o s ?

?



叫做角 ? 的正切,记作 tan ? ,即 ta n ?

?

?x

? 0?

还有三个函数:

角 ? 的正割:sec ? =

1 cos ?

?

r x



角 ? 的余割:csc ? =

1 sin ?

?

r y



角 ? 的余切:cot ? =

1 tan ?

?

x y



这就是说,sec ? ,csc,cot 分别是 ? 的余弦、正弦和正切的倒数。 一般地,我们把半径为 1 的圆叫做单位圆。

角 ? 的余弦和正弦分别等于角 ? 的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正。
11、三角函数线: s in ? ? ? ? , c o s ? 12、同角三角函数的基本关系:
? ??

y

, ta n ?
2

? ??

P T v O
2

? 1 ? sin ?
2

? cos ? ? 1
2

? s in

2

? ? 1 ? c o s ? , c o s ? ? 1 ? s in ?
2

?

M A

x



?2?

s in ? cos ?

? ta n ?

, ? s in ?
?

?

? ta n ? c o s ? , c o s ? ?

s in ? ? ? ta n ? ?



13、三角函数的诱导公式:

? 1 ? sin ? 2 k ? ? 2 ? sin ? ?

??

? ? sin ? , c o s ? 2 k ?
? sin ?

??

??

cos ?

, ta n ? 2 k ?
??

??

??

ta n ? ? k ? ? ? .

??

??

, cos ??

??

??

? cos ?

, ta n ? ?

??

ta n ?



? 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 4 ? s in ? ?
??

? sin ?

, c o s ? ?? ? ? , cos ??
??

cos ?

, ta n ? ? ? ? ? , ta n ? ?

? ta n ? ??


? ta n ?

??

s in ?

??

? cos ?

??



口诀:函数名称不变,符号看象限.
? 5 ? s in ?
?? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ?

, cos ?

??

? ? ? ? ? s in ? ? 2 ? ??



? 6 ? s in ?

, cos ?

? ? ? ? ? ? s in ? ? 2 ?



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

? ? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? 2 ? ?

? ? ? , cot ? ? ? ? ? ? tan ? 2 ? ?

? ? ? tan ? ? ? ? ? ? cot ? 2 ? ?

? ? ? , cot ? ? ? ? ? ? tan ? 2 ? ?

角 ? 与 ? +(2k+1) ? (k ? Z)的三角函数间的关系

(7) cos[ ? +(2k+1) ? ]=-cos ? (8) sin[ ? +(2k+1) ? ]=-sin ? (9) tan[ ? +(2k+1) ? ]=tan ? 三角函数的图象与性质
14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ?函 ? y? ? y ? s in x 数 性


co s x

?

y ? ta n x

图象 ? ? ? 定 义 域 ? 值域 ? 当x ?
R

?
R

?

?

? ? ? ,k ? ?? ? x x ? k? ? 2 ? ?

? ? ? 1,1 ?
? 2k? ?

? ? ? 1,1 ?

?

R

?
2

?k ? ??

? 当x

? 2 k ? ? k ? ? ? 时,

时 , ? 最值

y m ax ? 1

; 当 ?

y m a x ? 1 ;当 x ? 2 k ? ? ? ? ?1 .

x ? 2k? ?

?
2

? ? k ? ? ? 时, y m in
? ?1 .

? 既无最大值也无最小 值

? ? k ? ? ? 时, y m in ? 周期 性 ? 奇偶 性 ? 单调 性
? ?

?

2?

?

2?

?

?

? 奇函数
?
2

? 偶函数
? ?
2 ? ?

? 奇函数

? 在 ?2k?

?

, 2k? ?

? 在 ?2k?

? ? , 2k?

??k ? ? ?

? 在? k?
?

?

?

?
2

, k? ?

? ?
? 2 ?

上 是 增 函 数 ; 在

? ? k ? ? ? 上是增函数; 在 ?
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? ?

?2k? , 2k?

??

?

? ? k ? ? ? 上是增函数.

? ? k ? ? ? 上是减函数.

? ? k ? ? ? 上是减函数. ? 对 ? 对称 性 称 中 心 ? 对 称
?





? 对







? k? , 0 ? ? k ? ? ?
? 对
x ? k? ?


?
2


? ??

? ? ,0 ??k ? ? ? ? k? ? 2 ? ?

? k? ? ,0 ??k ? ? ? ? ? 2 ?

?k

? 对称轴 x

? k? ? k ? ? ?

? 无对称轴

15、函数 y

? s in x

的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y (缩短) 到原来的 ? 的图象上所有点的横坐标伸长
? sin ? ? x ? ?
1

? sin ? x ? ?

? 的图

象; 再将函数 y 得到函数 y

? sin ? x ? ?

?

倍 (纵坐标不变) ,

? sin ? ? x ? ?

再将函数 y ? 的图象;

(缩短) ? 的图象上所有点的纵坐标伸长

到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y 函数 y
? s in x

? ? sin ? ? x ? ?

? 的图象.
1

的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
? s in ? x

?

倍(纵坐标不变),得到函数
? ?

y ? s in ? x

的图象;再将函数 y

的图象上所有点向左(右)平移
? sin ? ? x ? ?

个单位长度,得到函

数y

? sin ? ? x ? ?

? 的图象;再将函数 y

? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原 ? 的图象.

来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y 函数 y
? ? sin ? ? x ? ?

? ? sin ? ? x ? ?

???

? 0 , ? ? 0 ? 的性质:
2?

①振幅: ? ;②周期: ? ?

?

;③频率:

f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ;当 x
?
? x 2 时,取得最大值为 y m a x

函数 y 则?
?

? ? s in ? ? x ? ? ? ? ?
1 2

,当 x
1 2

? x 1 时,取得最小值为 y m in



? y m ax

? y m in

? ,?

?

? y m ax

? y m in

?,

? 2

? x 2 ? x1 ? x1 ? x 2

平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。零向量与任一向量平行。 相等向量:长度相等且方向相同的向量。 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连。 ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 . 等 式 :

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b

⑷运算性质: ①交换律: a ? b
?
? ? ? ? ? b ? a



②结合律: ? a ? b ? ? c ③a ? 0 ? 0 ? a
? ? ? ? ? ? a

?

?

? ? ? ? a ? b ?c

?

?;


?
? , y1 ? , b ? 1

⑸坐标运算:设 a ? ? x 18、向量减法运算:

? x 2 , y 2 ? ,则 a

?

? ?b ?

? x1 ?

x 2 , y1 ? y 2 ?

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量。 ⑵坐标运算:设 a ? ? x 设
?

?

? , y1 ? , b ? 1

? x 2 , y 2 ? ,则 a
1

?

? ?b ?

? x1 ?
2

x 2 , y1 ? y 2 ?


?

?



?

两 点 的 坐 标 分 别 为 ?x
2

, y1 ?

, ?x

, y2 ?

,则

AB ? ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 )



AB ?

( x 2 ? x1 )

? ( y 2 ? y1 )

2



19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a
? ? ? ? a
?
?



②当 ? 当? 当?
? 0

? 0

时, ? a 的方向与 a 的方向相同;
?
?

?

?

时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 时, ? a
? ? 0

?

? 0



⑵运算律: ①? ? ? a ? ? ??? ? a ; ②?? ? ? ? a
? ?

?

?

?

? ? ? ?a ? ?a
? ?



③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b (分配律). ⑶坐标运算:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a
? ? ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ?



向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算。 20、向量共线定理:向量 a ? a 设a ? ?x 共线。 21、平面向量基本定理:如果 e 、 e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于
1 2

? ?

? ? 0

? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b
? ? 0

?

?

? ? ?a



?

1

? , y1 ? , b ?

? x 2 , y 2 ? ,其中 b

?

,则当且仅当 x

1

y 2 ? x 2 y1 ? 0

时,向量 a 、 b ? b

?

?

?

? ? 0

?

??

?? ?

这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ? 、? ,使 a
1 2

?

?

?? ?? ? ? ? 1e1 ? ?2 e2

.(不共线的

向量 e 、 e 作为这一平面内所有向量的一组基底)
1 2

??

?? ?

22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ? 当?
???? ???? ? ? ? ?? 2 1

1

?2

? ? 上的一点, 、 的坐标分别是 ? x
1 2

1

, y1 ?

,x ?

2

, y2 ? ,

时,点 ? 的坐标是 ? ?
?

x1 ? ? x 2 1? ?

,

y1 ? ? y 2 ? ? 1? ? ?

23、平面向量的数量积: ⑴a ?b
? ? ? ? ? a b cos ?

?a
?

?

? ? ? ? ? ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则 ①a
? ? ? ? ? b ? a ?b ? 0

?


? ? ? ? ? a b

②当 a 与 b 同向时, a ? b

?

?



当 a 与 b 反向时, a ? b
? ? ?2 ? a ?a ? a ? a
2

?

?

? ?

? ? ? ? a b



或a .

?

?

? ? a ?a



③ a ?b

? ?

? ? ? a b

⑶运算律: ①a ?b
? ? ? ? ? b ?a



②?? a ? ?b
? ?

?

?

? ? ? ? ? ? a ?b ? a ? ?b

?

?

?

?;

③?a ? b ? ? c

?

? ? ? ? ? a ?c ? b ?c


?
? , y1 ? , b ? 1
x ? y
2 2

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x 若 a ? ? x , y ? ,则 a 设a ? ?x 设
? a

? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b

? ?

? x1 x 2 ? y 1 y 2 .

?

?

2

? x ? y
2

2

,或 a
?

?

?

. .
? a

?

? , y1 ? , b ? 1
? b

? x 2 , y 2 ? ,则 a

? ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
? a ?



都是非零向量,
x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

? x1 , y 1 ? ,

? b ?

? x2 , y2 ? , ? 是



? b

的夹角,则

? a cos ? ? ? a

? ?b ? ? b

x2 ? y2
2

2

.,夹角范围是[0, ? ]。 向量的应用 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ co s ? ? ⑵ co s ? ? ⑶ sin ? ? ⑷ sin ? ? ⑸ ta n ? ? ⑹ ta n ? ?
?? ?? ?? ??

?? ??

co s ? co s ? ? sin ? sin ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?

; ; ; ;
? tan ? ? tan ? ? ? ?

? ? sin ? ? ? sin ?
??

? ?

ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

( tan ? ( tan ?

? ? 1 ? tan ?

tan ?

? );

? ?

??

? tan ? ? tan ? ? ? ?

? ?1 ? tan ?

tan ?

? ).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴ sin 2? ⑵ c o s 2? ⑶ ta n 2 ?

? 2 sin ? co s ?
2 2


2 2

? c o s ? ? s in ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s in ?

( cos

2

? ?

c o s 2? ? 1 2

, s in

2

? ?

1 ? c o s 2? 2

).

?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2


? ? ? s in ? ? ? ?
2 2

26、 ? s in ?

? ? cos ? ?

? ,其中 ta n ?

?

? ?



高中数学必修 5 知识点
解三角形 1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外 接圆的半径,则有
a s in ? ? b s in ? ? c s in C ? 2R



2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R s in ? , b ? 2 R s in ? , c ? 2 R s in C ; ② s in ?
? a 2R

, s in ?

?

b 2R

, s in C

?

c 2R



③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
a ?b?c s in ? ? s in ? ? s in C ? a s in ? ? b s in ? ? 1 2 ? c s in C 1 2 a b s in C ? 1 2 a c s in ?

. .

3、三角形面积公式: S

???C

b c s in ? ?

4、余弦定理:在 ? ? ? C 中,有
a
2

? b ? c ? 2bc cos ?
2 2

, , .
2 2

b

2

? a ? c ? 2 ac cos ?
2 2

c
2

2

? a ? b ? 2 ab cos C
2 2
2 2 2

5、余弦定理的推论: c o s ?

?

b ? c ? a 2bc

,cos ?

?

a ? c ?b 2ac

, cos C

?

a ?b ?c
2 2

2

2ab

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ②若 a ③若 a
2

?b ?b ?b

2

? c ? c ? c

2

,则 C ,则 C ,则 C

? 90 ? 90 ? 90

?

; ; .

2

2

2

?

2

2

2

?

应用举例 数列 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。 8、数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项。 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? a ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.
n

16、数列的递推公式:表示任一项 a 与它的前一项 a (或前几项)间的关系的公
n n ?1

式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这 个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与
b

的等差中项.若 b ?

a ?c 2

,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.
1

19、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a n 20、通项公式的变形: ① an ? am ? ? n ? m ? d ; ② a1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ;

? a1 ? ? n ? 1 ? d



③d ? ④n
?

a n ? a1 n ?1
a n ? a1 d



?1;

⑤d ?

an ? am n?m
n


p?q

21、若 ? a ? 是等差数列,且 m ? n ? 若 ? a ? 是等差数列,且 2 n ?
n

( m 、 n 、 p 、 q ? ? ),则 a m
* *

? an ? a p ? aq



p ? q

( n 、 p 、 q ? ? ),则 2 a n

? a p ? aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式: ①Sn ②Sn
? n ? a1 ? a n ? 2
? n a1 ?


d

n ? n ? 1? 2



23、等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2 n ? n ? ? ? ,则 S 2 n ? n ? a n ? a n ? 1 ? ,且 S 偶 ? S 奇 ? n d ,
*

S奇 S偶

?

an a n ?1


n

② 若 项 数 为 2n ? 1?n ? ? ? , 则 S
*

2 n ?1

? ? 2 n ? 1? a n

,且 S



? S偶 ? a n



S奇 S偶

?

n ?1

(其中

S奇 ? nan

,S



?

? n ? 1 ? a n ).

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个 数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比。 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比 中项.若 G
2

? ab

,则称 G 为 a 与 b 的等比中项。
n
1
n

26、若等比数列 ? a ? 的首项是 a ,公比是 q ,则 a 27、通项公式的变形:
n?m ①an ? amq ;

? a1q

n ?1



② a1 ? a n q ③q ④q
n ?1

? ? n ?1?



?

an a1

; .
p?q

n?m

?

an am

28、若 ? a ? 是等比数列,且 m ? n ?
n

( m 、 n 、 p 、 q ? ? ),则 a
* *

m

?an ? a p ?aq

;若

? a n ? 是等比数列,且 2 n

? p ? q

( n 、 p 、 q ? ? ),则 a n

2

? a p ? aq

. .

29、等比数列 ? a ? 的前 n 项和的公式: S
n

n

? n a1 ? q ? 1 ? ? ? ? a ?1 ? q n ? a1 ? a n q 1 ? ? q ? 1? ? 1? q 1? q ?

30、等比数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2 n ? n ? ? ? ,则
*

S偶 S奇

? q



② S n?m
n

? Sn ? q
2n

n

?Sm
3n

. 成等比数列. 不等式

③S ,S

? Sn

,S

? S 2n

含有不等号的式子,叫做不等式。 31、
a?b ? 0 ? a ? b a?b ? 0 ? a ? b a?b ? 0 ? a ?b

; ; .

32、不等式的性质: ①a ? b ? ②a
b ? a

; ; ; ,a
? b, c ? 0 ? ac ? bc

? b, b ? c ? a ? c

③a ? b ? ④a ⑤a

a?c ? b?c

? b, c ? 0 ? ac ? bc



? b, c ? d ? a ? c ? b ? d



⑥a

? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd



⑦a ? b ? 0 ? ⑧a ? b ? 0 ? 均值不等式 均值定理

a
n

n

?b

n

?n ? ?,n

? 1? ;

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1?



如果 a , b ?

R

?

,那么

a ? b 2

?

ab

,当且仅当 a=b 时,等号成立。通常称

为均值不等式。 ? 对任意两个正实数 a 、 b ,数 几何平均值。 均值定理可以表述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。 规律: (1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; (2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值。 ? 常用的基本不等式: ? ①a
2

a ? b 2

叫做 a 、 b 的算术平均值,数

ab

叫做 a 、 b 的

? b ? 2ab ? a, b ? R ?
2



? ②ab ?

a ?b
2

2

2

?a,b ?

R

?;

a?b ? ③ ab ? ? ? ? ? 2 ?

2

?a

? 0, b ? 0 ?

; .



a ?b
2

2

2

?a ?b ? ? ? ? ? 2 ?

2

?a,b ?

R?

? 极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

⑴若 x ?

y ? s

(和为定值),则当 x ? y 时,积 x y 取得最大值

s 4

2


p

⑵若 x y ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2



不等式 33、一元二次不等式:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的 整式不等式,叫做一元二次不等式。 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
? 判别式 ? ? b ? 4 a c
2

?

? ? 0

?

? ? 0

?

? ? 0

? 二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?

?a

? 0 ? 的图象

? ? 有两个相异实 ? 一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0
2

? ? 有两个相等实

?

数根 ?
x1, 2 ? ?b ? 2a ?

数根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

? 没有实数 根

?

?a

? 0 ? 的根

? ? ? 一元 二次 不等 式的 解集 ? ?
ax ? bx ? c ? 0
2

? x1

? x2 ?

ax ? bx ? c ? 0
2

? ?

?x

x ? x 1或 x ? x 2 ?

?

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?

R

?a

? 0?

?

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

?

?

?

?a

? 0?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1,这样的不等式 叫做二元一次不等式。 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有 序数对 ? x , y ? ,所有这样的有序数对 ? x , y ? 构成的集合. 简单线性规划

38、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ①若 ? ②若 ?
? 0 , ? x0 ? ? y0 ? C ? 0 ? 0 , ? x0 ? ? y0 ? C ? 0

? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? .

,则点 ? ? x ,则点 ? ? x

0

, y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方.
? 0. ? 0

0

39、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ①若 ?
? 0 ,则 ? x ? ? y ? C ? 0

表示直线 ? x ? ? y ? C

上方的区域; ? x ? ? y ? C

? 0

表示

直线 ? x ? ? y ? C ②若 ?
? 0

? 0 下方的区域. ? 0

,则 ? x ? ? y ? C

表示直线 ? x ? ? y ? C

? 0

下方的区域; ? x ? ? y ? C

? 0

表示

直线 ? x ? ? y ? C

? 0 上方的区域.

40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线 性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

命题

四种命题 命题及其关系 充分条件与必要条件

常 用 逻 辑 用 语

或 简单的逻辑联接词 且 非 量词 全称量词与存在量词

并集 交集 补集 全称量词 存在量词 运算

含有一个量词的否定

1. 命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,能判断真假的语句 叫命题(proposition)。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假 命题。 2、命题的四种形式及其相互关系: 若原命题是“若 p 则 q”,则逆命题为“若 q 则 p”;否命题为“若﹁p 则﹁ q”;逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题 与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题 都不等价;当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
原命题 若p则q 互 互逆 否 为 逆 为 逆 互 逆否命题 若?q 则?p 互逆 否 逆否命题 若?q 则?p 逆命题 若q则p

互 否

互 否

由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题,因此这四种命题的真假之间的关系如

下: (1)两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性。 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。 四种命题的真假性:(真值表)
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

常见结论的否定形式
原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有 n 个 至多有( n ? 1 )个 至多有 n 个 至少有( n ? 1 )个 p 或q ?p 且?q p 且q ?p 或?q

3、充要条件: ① 若 A=>B 且 B 推不出 A,则 A 是 B 的充分非必要条件; ② 若 A 推不出 B 且 B=>A,则 A 是 B 的必要非充分条件 ③ 若 A=>B 且 B=>A,则 A 是 B 的充要条件 ④ 若 A 推不出 B 且 B 推不出 A,则 A 既不是 B 的充分条件,也不是 B 的必要 条件。 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4、逻辑联结词:或、且、非;含逻辑联结词的命题真假的判断; 5、全称量词与存在量词;全称命题与存在性命题;命题的否定。 全称命题 p : ? x ? M , P ( x ) ,它的否定┓ p : ? x ? M , ┓ P ( x ) 特称命题 p : ? x ? M , P ( x ) ,它的否定┓ p : ? x ? M , ┓ P ( x ) 圆锥曲线与方程

椭圆
第一定义:平面内与两个定点 F 1
、 F2

的距离和等于常数(大于

F1 F 2

)的点的轨迹叫做椭圆。
2

这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点的距离叫做椭圆的焦距,即

MF 1 ? MF

? 2 a ( 2 a ? F1 F 2 )



第二定义: 平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的点的轨迹叫做椭 圆。 定点 F 是椭圆的焦点, 定直线 l 是椭圆的准线, 常数 e 是椭圆的离心率。 即 ( d 为 M 到 l 得距离)。 标准方程及其性质: 焦点在 x 轴上 标准方 程
x a
2 2

MF d

? e ( 0 ? e ? 1)

焦点在 y 轴上
y a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

图形

c

2

? a

2

?b

2

c

2

? a

2

?b

2

焦点坐 标 顶点坐 标 范围

F1 ( ? c ,0 )

、 F 2 ( c ,0 )

F1 ( 0 , ? c )

、 F2 (0, c )

( ? a ,0 ) , ( 0 , ? b )

( ? b ,0 ) , ( 0 ,? a )

x ? a, y ? b
x

x ? b, y ? a
x

轴,长轴为 2 a ; 轴,短轴为 2 b 。
x ? ? a
2

轴,短轴为 2 b ; 轴,长轴为 2 a 。
y ? ? a
2

对称轴 准线方 程 离心率

y

y

c

c

e ?

c a

,0

? e ?1

(1)设点 P ( x 0 , 点,则

y0 )

为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上一点, F 1

、 F2

分别椭圆的左、右焦

焦半径 公式:

PF 1 ? a ? ex 0


y a
2 2

PF 2 ? a ? ex 0
x b
2 2

; 上一点, F 1 分别椭圆的下、上焦

(2)设点 P ( x 0 , 点,则

y0 )

为椭圆

?

? 1( a ? b ? 0 )

、 F2

PF 1 ? a ? ey

0



PF 2 ? a ? ey

0



双曲线
第一定义:平面内与两个定点 F 1
、 F2

的距离的差的绝对值是常数(小于

F1 F 2

)的点的轨迹叫

做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点的距离叫做椭圆的焦距,即
MF 1 ? MF
2

? 2 a ( 2 a ? F1 F 2 )


? 1 )的点的

第二定义:平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比等于常数 e ( e

轨迹叫做双曲线。定点 F 是双曲线的焦点,定直线 l 是椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。即
MF d ? e ( e ? 1)

( d 为 M 到 l 得距离)。

双曲线的标准方程及其几何性质: 焦点在 x 轴上 标准方程
x a
2 2

焦点在 y 轴上
y a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

图形

F1 ( ? c ,0 )

、 F 2 ( c ,0 )
2

F1 ( 0 , ? c )
2

、 F2 (0, c )
2

焦点坐标
c
2

? a

?b

2

c

? a

?b

2

顶点坐标 范围
x

( ? a ,0 )

(0 ,? a )

x ? a

y ? a
x

轴,实轴为 2 a ; 轴,虚轴为 2 b 。
x ? ? a
2

轴,虚轴为 2 b ; 轴,实轴为 2 a 。
y ? ? a
2

对称轴
y y

准线方程 离心率 渐近线方 程 等轴双曲 线

c

c

e ?

c a

,e
b a

?1
y ? ? a b

y ? ?

x

x

1、实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线; 2、等轴双曲线的离心率 e 设点 P ( x 0 ,
y0 )

?
2 2

2

,两条渐近线方程为 y
2 2

? ?x

为双曲线

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

上一点, F 1 ,

、 F2

分别为双曲线的 ;② P 在左支上

左、右焦点,则① P 在右支上时, 焦 半 径 公 时, 式
PF 1 ? ? ex
0

PF 1 ? ex 0 ? a

PF 2 ? ex 0 ? a

?a



PF 2 ? ? ex
y a
2 2

0

?a

; 上一点, F 1 分别为双曲线的
? ? ey ? a

设点 P ( x 0 ,

y0 )

为双曲线

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

、 F2

上、 下焦点, 则① P 在上支上时,PF 1
PF 2 ? ey
0

?

,PF 2

② ?; P

在下支上时,PF 1

0



? a

抛物线
定义(几何条件):平面上,到定直线与该定直线外一定点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 标准方程
y
2

? 2 px ( p ? 0 )

y

2

? ? 2 px ( p ? 0 )

x

2

? 2 py ( p ? 0 )

x

2

? ? 2 py ( p ? 0 )

图形

对称轴 顶点坐标

x



x



y



y



O ( 0 ,0 )

O ( 0 ,0 )

O ( 0 ,0 )

O ( 0 ,0 )

焦点坐标 离心率 准线方程

? p ? F? ,0 ? ? 2 ?

p ? ? F?? ,0 ? ? 2 ?
e ?1

p ? ? F ? 0, ? 2 ? ?
e ?1
y ? ? p 2

p ? ? F ? 0 ,? ? 2 ? ?

e ?1
x ? ? p 2
p 2

e ?1
y ? p 2

x ?

p 2

焦半径公式 范围

PF

? x0 ?

PF

? ?x0 ?

p 2

PF ? y 0 ?

p 2

PF

? ? y0 ?

p 2

x ? 0
? 2 px ( p ? 0 )

x ? 0

y ? 0

y ? 0

焦点弦(以抛物线) y 2

为例
y2 )

设 AB 是过焦点 F 的弦, A ( x 1 ,
2

y1 )

,B(x2 ,

,则

AB ? 2 p (1 ? k ), k ?
2

y 2 ? y1 x 2 ? x1



AB

min

? 2p



x1 ? x 2 ?

p 4

, y1

? y2 ? ? p

2



以 AB 为直径的圆与准线相切;以 AF 为直径的圆与 y 轴相切。


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