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高中数学必修5基本不等式知识点总结


高中数学必修5基本不等式知识点总结
一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设 a 、 b 是两个正数,则 2.几何平均数

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数 2

ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数
二基本不等式 1.基本不等式: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即

2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

a?b ? ab 2

s2 4

若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1) a ? b ? 2ab ? a, b ? R ?
2 2

(2) ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? 2
2

? a?b ? (3) ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ? 2 ?
(4)

a 2 ? b2 ? a ? b ? ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
)

2

三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A. y ? x ? C. y ?

1 x

B. y ? sin x ? D. y ? x ?

1 ? , x ? (0, ) sin x 2

x2 ? 3 x2 ? 2

2 ?1 x
)。

2.当 0 ? x ?

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 的最小值是( sin 2 x

A. 1

B. 2

C. 4

D.

5 2

3. x >0,当 x 取什么值, x +

1 的值最小?最小值是多少? x

4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折?

5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽 各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?

6.设 x ? 0, y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值是多少? x y

7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把 ? ABC沿AC向 ? ADC折叠,A B折过去后交CD与点P,设AB= x ,求 ? ADP的面积最大值及相应 x 的值


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