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[名校联盟]浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练数学(文)试题

时间:2012-04-02


选择题: 一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A = {x | x + 1 < 0} , B = {x | x ? 3 < 0} ,则集合 (?U A) I B = (A) {x | x > 3} (C) {x | x < ?1} (B) {x | ?1 < x < 3} (D) {x | ?1 ≤ x < 3}
[来源:学科网]

? y ≤ x, ? 2.已知实数 x,y 满足线性约束条件 ? x + y ≤ 1, 则 z = 2 x + y 的最大值为 ? y ≥ ?1, ?
(A) -3 (B) ?

3 2

(C)

3 2

(D)3

3.设 x, y 是两个实数,则“ x, y 中至少有一个数大于 1”是“ x 2 + y 2 > 2 ”成立的 (A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 4.若数列 (B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件

1 为等差数列,且 a3 + a5 + a7 + a9 + a11 = 20 ,则 a8 ? a9 = 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合, 则称这些函数为“互为生成函数”. 给出下列函数: f ( x) = sin x ? cos x ; ①

{ an }

② f ( x) = 2(sin x + cos x) ;③ f ( x) = 2 sin x + 2 ;④ f ( x) = sin x .则其中属于“互为生成函数”的是 (A) ①② (B) ①③ (C) ③④ (D) ②④ )

6.已知直线 l ⊥ 平面α ,直线 m // 平面β ,下列命题中正确的是( (A) α ⊥ β ? l ⊥ m (C) l ⊥ m ? α // β (B) α ⊥ β ? l // m

(D) l // m ? α ⊥ β uuu r uuu r uuur r uuur uuu r 7.若 △ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA + 4OB + 5OC = 0 ,则 OC ? AB 的值为 (A) ?

1 5

(B)

1 5

(C) ?

6 5

(D)

6 5

8. 定义域为 R 的函数 f ( x) 对 任意 x ∈ R 都有 f ( x) = f (4 ? x) ,且其导函数 f ′( x) 满足 ( x ? 2) f ′( x) > 0 ,则当 2 < a < 4 时,有 (A) f (2a ) < f (2) < f (log 2 a ) (C) f (2) < f (log 2 a) < f (2a ) (B) f (2) < f (2a ) < f (log 2 a ) (D) f (log 2 a ) < f (2a ) < f (2)

1 3 9.设复数 ω = ? + i ,则下列各式错误的是 .. 2 2
(A) ω 3 = 1 10.设双曲线 C: (B) ω 2 + ω = ?1 (C) ω 2 ? ω = ?1 (D) ω 2 ? ω 是纯虚数

x2 y 2 ? = 1 ( b > a > 0 )的左、右焦点分别为 F1,F2.若在双曲线的右支上存在一点 P,使得 |PF1| a2 b2

=3|PF2|,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 (A) (1 ,2] (B) ( 2, 2] (C) ( 2, 2)
我们一起努力,一定能取得好成绩!

(D) (1,2)
1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 填空题: 11.设函数 f ( x) = ln(ax 2 + 1) .若 f ( x) = ln ax 有唯一的零点 x0 ( x0 ∈ R ) ,则实数 a= 12.若存在直线 l 平行于直线 3x ? ky + 6 = 0 ,且与直线 kx + y + 1 = 0 垂直,则实数 k= . .

13.假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形(如图所示) ,腰长为 1,则该四棱锥的体积 为 .
n ?1

14. an = 6n ? 4( n = 1, 2,3, 4,5, 6) 构成集合 A , bn = 2

(n = 1,

2,3, 4, 5, 6) 构成集合 B ,任取 x ∈ A U B ,则 x ∈ A I B 的概率是____ ___.
15.若 sin α + cos α = 16.设椭圆 C:

7 (0 < α < π ) ,则 tan α = 13



x2 y 2 + = 1 ,F 是右焦点, l 是过点 F 的一条直线(不与 y 轴平行) ,交椭圆 25 9 DF 于 A、B 两点, l ' 是 AB 的中垂线,交椭圆的长轴于一点 D,则 的值是 . AB

17.若不等式 x + 2 xy ≤ a ( x + y ) 对任意的实数 x > 0, y > 0 恒成立,则实数 a 的最 小值为 .
[来源:Zxxk.Com]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题:

r ?1 1 r ? 3 18. (本题满分 14 分)已知向量 a = ? , sin x + cos x ? 与 b = (1, y ) 共线,设函数 y = f ( x) 。 ?2 2 ? 2 ? ?
(1)求函数 f ( x) 的周期及最大值;

π? 21 ? (2) 已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、 C, B、 若有 f ? A ? ? = 3 , BC= 7 , B = 边 sin , △ABC 求 3? 7 ?
的面积.

19. (本题满分 14 分)如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA
我们一起努力,一定能取得好成绩! 2

⊥平面 ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1 . (I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BE F 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值. .

20.(本小题满分 14 分)数列 {a n } 满足 a n +1 + a n = 4n ? 3 (n ∈ N + ) . (Ⅰ)若 {a n } 是等差数列,求其通项公式; (Ⅱ)若 {a n } 满足 a1 = 2 , S n 为 {a n } 的前 n 项和,求 S 2 n +1 .

我们一起努力,一定能取得好成绩!

3

x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0 )的一个顶点与抛物线 C2: x 2 = 4 3 y 的焦点重合,F1, a2 b 2 1 F2 分别是 椭圆的 左、右焦点,离心率 e = ,过椭圆右焦点 F2 的直 线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. 2 (I)求椭圆 C 的方程; uuuu uuur r (II)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON = ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由; | AB |2 (III)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的 弦,MN//AB,求证: 为定值. | MN |
21. (本题满分 15 分)设椭圆 C1:

22. (本题满分 15 分)设 x1、x2( x1 ≠ x2 )是函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x ( a > 0 )的两个极值点. (I)若 x1 = ?1 , x2 = 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (II)若 | x1 | + | x2 |= 2 2 ,求 b 的最大值; (III)设函数 g ( x) = f ′( x) ? a ( x ? x1 ) , x ∈ ( x1 , x2 ) ,当 x2 = a 时,求 | g ( x) | 的最大值.

我们一起努力,一定能取得好成绩!

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2011-2012 台州中学 2011-2012 学 年第二学期第二次统 练答案 高三
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

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数学(文科) 数学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 答案 D D D B B D A
[来源:学,科,网]

C

C

A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

(2) 因为f(A-

π
3

) = 3,∴ 2sin( A ?

π
3

+

π
3

) = 3,∴ sin A =

3 2

因为0 < A <

π
2

∴A=

π
3

.由正弦定理得

BC AC 21 = , 又 sin B = sin A sin B 7

∴ AC =

BC sin B 3 21 = 2, 且 sin C = sin A 14 1 3 3 AC BC sin C = ┄┄┄┄┄┄┄┄14 分 2 2

∴ S ?ABC =

Q AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC = 90o . 又Q ∠BAC = 30° , AC = 4 , ∴ AB = 2 3 , BC = 2 , AM = 3, CM = 1 . FC GC 1 Q EA ⊥ 平面 ABC , FC // EA , = = , EA GA 3 ∴ FC ⊥ 平面 ABCD . ∴ ?EAM 与 ?FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA = ∠FMC = 45° . ∴∠EMF = 90° ,即 EM ⊥ MF (也可由勾股定理证得) . Q MF ∩ BM = M , ∴ EM ⊥ 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ∴ EM ⊥ BF . ………………………………………………………………………………6 分
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(2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ⊥ BG ,连结 FH . 由(1)知 FC ⊥ 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ∴ FC ⊥ BG . E 而 FC ∩ CH = C ,∴ BG ⊥ 平面 FCH . Q FH ? 平面 FCH , ∴ FH ⊥ BG , ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成 的 二面角的平面角. ……………………10 分 在 Rt ?ABC 中,Q ∠BAC = 30° , AC = 4 , O ? A o ∴ BM = AB ? sin 30 = 3 .

F M C H G

FC GC 1 由 = = ,得 GC = 2 . EA GA 3
Q BG = BM 2 + MG 2 = 2 3 .
又Q ?GCH ~ ?GBM ,

B



GC CH GC ? BM 2 × 3 = ,则 CH = = = 1 .[来源:学#科#网 Z#X#X#K] BG BM BG 2 3

∴?FCH 是等腰直角三角形, ∠FHC = 45o .[来源:Zxxk.Com] 2 ∴ 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 . ………………………14 分 2
20.(本小 题满分 14 分 解: (I)由题意得 a n+ 1 + a n = 4n ? 3 …①

a n+ 2 + a n+1 = 4n + 1 …②.
………….4 分

②-①得 a n+ 2 ? a n = 4 ,∵{ a n }是等差数列,设公差为 d,∴d=2, ∵ a1 + a 2 = 1 ∴ a1 + a 1 + d = 1 ,∴ a1 = ?

1 5 ,∴ a n = 2n ? …….……….…7 分 2 2

(Ⅱ)∵ a1 = 2 , a1 + a 2 = 1 ,∴ a 2 = ?1 ….……………………. ………8 分 又∵ a n + 2 ? a n = 4 ,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为 4 ∴ a 2 n ?1 = 4n ? 2 , a 2 n = 4n ? 5 ….………………………….……….……………………11 分

S 2 n +1 = ( a 1 + a 3 + L + a 2 n +1 ) + ( a 2 + a 4 + L + a 2 n )
= ( n + 1) × 2 +

( n + 1)n n( n ? 1) × 4 + n × ( ?1) + × 4 = 4n 2 + n + 2 ….….……….……14 分[来源:学科网 ZXXK] 2 2

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? x2 y 2 =1 ? + 由? 4 得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 , 3 ? y = k ( x ? 1) ?

8k 2 4k 2 ? 12 x1 + x2 = , x1 ? x2 = , 3 + 4k 2 3 + 4k 2 uuuu uuur r OM ? ON = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + k 2 [ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 + k2( ? + 1) = = ?2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 所以 k = ± 2 ,故直线 l 的方程为 y = 2( x ? 1) 或 y = ? 2( x ? 1) …………9 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 )
= 由(2)可得: |MN|= 1 + k 2 | x1 ? x2 |= (1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 ] = (1 + k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 + 1) ) ? 4( )] = . 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2

? x2 y 2 =1 12 ? + 由? 4 消去 y,并整理得: x 2 = , 3 3 + 4k 2 ? y = kx ? 48(1 + k 2 ) 2 2 3(1 + k ) | AB | 4 2 ,∴ |AB|= 1 + k 2 | x3 ? x4 |= 4 = 3 + 2 k = 4 为定值 … 15 分 2 3 + 4k | MN | 12(k + 1) 3 + 4k 2 22.(本题满分 15 分)解: (1)∵ f ( x) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x ( a > 0) ,
∴ f ′( x) = 3ax 2 + 2bx ? a 2 ( a > 0) 依题意有-1 和 2 是方程 3ax + 2bx ? a = 0 的两根
2 2

2b ? ?1 = ? 3a ∴? , ? a ?? 2 = ? ? 3 ?

解得 ?

?a = 6 , ?b = ?9

∴ f ( x ) = 6 x 3 ? 9 x 2 ? 36 x . (经检验,适合)——————————————3 分 (2)∵ f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx ? a 2 ( a > 0) ,依题意, x1 , x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两个根, ∵ x1 x 2 = ?

a < 0 且 | x1 | + | x2 |= 2 2 , 3

∴ ( x1 ? x 2 ) 2 = 8 . ∴ (? 2b ) 2 + 4a = 8 , 3a 3 ∴ b 2 = 3a 2 (6 ? a ) . ∵ b 2 ≥ 0 ∴0 < a≤6.

∴ p ( a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值为 4 6 .————— 9 分
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(3)证明:∵ x1 , x 2 是方程 f ' ( x ) = 0 的两根,∴ f ' ( x) = 3a( x ? x1 )( x ? x2 ) . ∵ x1 ? x2 = ? a , x2 = a , ∴ x1 = ? . 3 3 ∴ | g ( x ) |=| 3a ( x + 1 )( x ? a ) ? a ( x + 1 ) |=| a ( x + 1 )[3( x ? a ) ? 1] | 3 3 3

1

1 ∵ x1 < x < x2 ,即 ? < x < a. 3

1 3 1 3a + 1 a 3a 3 1 | g ( x ) | = ?3a ( x + )( x ? ) = ?3a( x ? ) 2 + + a2 + a 3 3 2 4 3

∴ | g ( x ) |= a ( x + )(?3 x + 3a + 1)

a(3a + 2) 2 3a 3 1 2 . ≤ +a + a = 12 4 3
∴ g ( x) max =

a (3a + 2) 2 a ,当且仅当 x = 时取等号.——————15 分[来源:学科网] 12 2

附件 1:律师事务所反盗版维权声明 :

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) :独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http:// www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060

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