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高中数学复习专题讲座(第34讲)导数的运算法则及基本公式应用


题目 高中数学复习专题讲座 导数的运算法则及基本公式应用 高考要求 导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定 义,常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考 生进行训练与指导 重难点归纳 1 深刻理解导数的概念,了解用定义求简单的导数
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?y ?x

表示函数的平均改变量,它是Δ x 的函数,而 f′(x0)表示一个数值,
?y ?x

即 f′(x)= lim

,知道导数的等价形式

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?x? 0

?x? 0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

? lim

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

?x ? x0

? f ?( x 0 )

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?

2 求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构 形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键 3 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时, 不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用, 在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误 4 复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢 掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序 复合而成的,分清其间的复合关系 典型题例示范讲解 例 1 求函数的导数
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(1 ) y ?

1? x (1 ? x ) cos x
2
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( 2 ) y ? ( ax ? b sin

2

?x)

3

( 3) y ? f (

x ? 1)
2

命题意图 本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数 求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导 类型 知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的 隐含条件,将问题转化为基本函数的导数 错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分 解为基本函数出差错 技巧与方法 先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求 导法则进行求导
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(1) 解 : y ? ?
2

(1 ? x ) ?(1 ? x ) co s x ? (1 ? x )[(1 ? x ) co s x ]?
2 2

(1 ? x ) ? co s x
2 2 2

?

? (1 ? x ) co s x ? (1 ? x )[(1 ? x ) ? co s x ? (1 ? x )(co s x ) ?]
2 2

(1 ? x ) co s x
2 2 2

? ?

? (1 ? x ) co s x ? (1 ? x )[ 2 x co s x ? (1 ? x ) sin x ]
2 2

(1 ? x ) co s x
2 2 2

( x ? 2 x ? 1) co s x ? (1 ? x )(1 ? x ) sin x
2 2

(1 ? x ) co s x
2 2 2
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(2)解 y=μ 3,μ =ax-bsin2ω x,μ =av-by v=x,y=sinγ γ =ω x y′=(μ 3)′=3μ 2·μ ′=3μ 2(av-by)′ =3μ 2(av′-by′)=3μ 2(av′-by′γ ′) =3(ax-bsin2ω x)2(a-bω sin2ω x)
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(3)解法一

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设 y=f(μ ),μ = v ,v=x2+1,则
1 2

1

y′x=y′μ μ ′v·v′x=f′(μ )· =f′( x 2 ? 1 )·
1 2
x 1
2

v 2 ·2x



·2x
?1

=

x x ?1
2

f ?(

x ? 1 ),
2

解法二

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y′=[f( x 2 ? 1 )]′=f′( x 2 ? 1 )·( x 2 ? 1 )′
1 2

=f′( x 2 ? 1 )·

(x2+1)

?

1 2

·(x2+1)′

=f′( x ? 1 )·
2

1 2

(x +1)

2

?

1 2

·2x

=
x

x
2

f′( x 2 ? 1 )
?1

例 2 利用导数求和 - (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1(x≠0,n∈N*)

(2)Sn=C 1n +2C 2 +3C 3 +…+nC n ,(n∈N*) n n n 命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵 活融合的能力 知识依托 通过对数列的通项进行联想,合理运用逆向思维 由求导 - 公式(xn)′=nxn 1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通 项的形式结构 错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于 联想 技巧与方法 第(1)题要分 x=1 和 x≠1 讨论,等式两边都求导 解 (1)当 x=1 时
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Sn=1+2+3+…+n= 当 x≠1 时,

1 2

n(n+1);

∵x+x2+x3+…+xn=

x? x

n ?1

1? x x? x

,

两边都是关于 x 的函数,求导得
n ?1

(x+x2+x3+…+xn)′=(

1? x


)′
1 ? ( n ? 1) x
n

即 Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1=

? nx
2

n ?1

(1 ? x )

(2)∵(1+x)n=1+C 1n x+C 2 x2+…+C n xn, n n 两边都是关于 x 的可导函数,求导得 n(1+x)n 1=C 1n +2C 2 x+3C 3 x2+…+nC n xn 1, n n n 令 x=1 得,n·2n 1=C 1n +2C 2 +3C 3 +…+nC n , n n n 即 Sn=C 1n +2C 2 +…+nC n =n·2 n n
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n-1

?

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例 3 已知曲线 C y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠ 0),求直线 l 的方程及切点坐标
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由 l 过原点, k= 知

y0 x0

(x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上,0=x03-3x02+2x0, y



y0 x0

=x02-3x0+2

y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2 又 k=
y0 x0

,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2
3 2

2x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0= 由 x≠0,知 x0= ∴y0=( ∴k=
3 2 3 2 3 2

)3-3(
1 4
1 4

)2+2·

3 2

=-

3 8

y0 x0

=-

∴l 方程 y=-

x 切点(

3 2

,-

3 8

)

学生巩固练习 1 y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于( ) A 0 B 1 C -1
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D )
x 25

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2

2

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经过原点且与曲线 y=
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x?9 x?5

相切的方程是( B
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A C 3
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x+y=0 或 x+y=0 或

x 25 x 25

+y=0 -y=0

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x-y=0 或 x-y=0 或

+y=0 -y=0
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D

x 25

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若 f′(x0)=2, lim

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 2k

=_________
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k?0

4 设 f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则 f′(0)=_________ 5 已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1、 2 都相切, C 求直线 l 的方程 6 求函数的导数 (1)y=(x2-2x+3)e2x;
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(2)y= 3

x
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1? x

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7 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以 3 m/s ?的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚 1 4 m 时,梯子上端 下滑的速度 - 8 求和 Sn=12+22x+32x2+…+n2xn 1 ?,(x≠0,n∈N*) 参考答案 1 解析 y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1 答案 B
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解析

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设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k=

y0 x0

,

另一方面,y′=(

x?9 x?5
?4

)′=

?4 ( x ? 5)
2

,

故 y′(x0)=k,即

( x0 ? 5)

2

?

y0 x0

?

x0 ? 9 x0 ( x0 ? 5)

或 x02+18x0+45=0
? 15 ? 9 ? 15 ? 5 3 5

得 x0(1)=-3, x0 (2)=-15,对应有 y0(1)=3,y0(2)= 因此得两个切点 A(-3,3)或 B(-15, 从而得 y′(A)=
?4 (?3 ? 5)
3

?

,

3 5

),
?4 ( ? 15 ? 5 )
2

=-1 及 y′(B)=

? ?

1 25

,

由于切线过原点,故得切线 答案 A 3 解析 根据导数的定义
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lA:y=-x 或 lB:y=-

x
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f′(x0)= lim
? lim ? ?

f [( x 0 ? ( ? k )] ? f ( x 0 ) ?k

(这时 ? x ? ? k )
? f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ?k ]

k?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 2k lim
k?0

k?0

? lim [ ?
k?0

1 2 1 2

1 2
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f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ?k

? ?

f ?( x 0 ) ? ? 1

答案 -1 4 解析 设 g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则 f(x)=xg(x), 于是 f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n! 答案 n! 5 解 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x12),与 C2 相切于 Q(x2,-(x2-2)2)
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对于 C1 y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ① 对于 C2 y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即 y=-2(x2-2)x+x22-4 ∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x12=x22-4, 解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 ∴直线 l 方程为 y=0 或 y=4x-4 6 解 (1)注意到 y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x
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?

1 y

? y? ?

( x ? 2 x ? 3) ?
2

x ? 2x ? 3
2 2

?2?
2

2x ? 2 x ? 2x ? 3
2

?2?

2( x ? x ? 2)
2

x ? 2x ? 3
2 2x

? y? ?
2

2( x ? x ? 2) x ? 2x ? 3
2 2x

?y ?

2( x ? x ? 2) x ? 2x ? 3
2

? ( x ? 2 x ? 3) ? e
2

? 2( x ? x ? 2) ? e

(2)两端取对数,得 ln|y|=
1 3

(ln|x|-ln|1-x|),

两边解 x 求导,得
1 y ? y? ? 1 ? y? ? 1 1 ?1 1 1 ( ? )? 3 x 1? x 3 x (1 ? x ) ? 1 ?y ? 1 3 x (1 ? x )
3

x 1? x

3 x (1 ? x )

7

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设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5- 25 ? 9 t 2 ,
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当下端移开 1
1 2

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4 m 时,t0=
? 1 2

1? 4 3

?

7 15

,
1 25 ? 9 t
2

又 s′=-

(25-9t2)

·(-9·2t)=9t

,

所以 s′(t0)=9×

7 15

?

1 25 ? 9 ? ( 7 15 )
2

=0

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875(m/s)

8

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(1)当 x=1 时,Sn=12+22+32+…+n2=

1 6

n(n+1)(2n+1),

当 x≠1 时,1+2x+3x2+…+nxn-1 ?= 两边同乘以 x,得 x+2x2+3x2+…+nxn=
x ? ( n ? 1) x
n ?1 2

1 ? ( n ? 1) x ? nx
n

n ?1

(1 ? x )

2

,

? nx

n?2

(1 ? x )

两边对 x 求导,得 Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 ? =
1 ? x ? ( n ? 1) x
2 n

? ( 2 n ? 2 n ? 1) x
2

n ?1

?n x
2

n?2

(1 ? x )

3

课前后备注

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