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夹江中学2014届高二.课外辅导 生doc


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夹江中学 2014 届高二(下)数学辅导专题讲座 选修 2—2 第一章 导数及其应用
新教材引入导数的内容后, 拓展了高中数学学习和研究的领域, 给传统的中学数学内容 注入了生机与活力,也为高中数学解题增添了新的视角,新的方法。此外,由于导数的工具 性及导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识紧密相联

,在这些知识交 汇点处设计层次不同,难度可控的试题,拓宽了高考的命题空间。近几年的高考,逐年加大 了对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大, 以考查学生对知识的整体把握和综合能力已成为新高考中的一道靓丽的风景线。 《考试大纲》 对导数的考查要求一般分成三个层次: 一是主要考查导数的概念及导数的 几何意义,求导公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、最值、 单调区间,判定函数的单调性等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和 有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题, 加强能力考查力度, 使试 题具有更广泛的实际意义 考纲要求(2013 年) : (1)了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ;理解 导数的几何意义;理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义. (2)理解基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,理解复合函数的 求导法则(只限于 y ? f (ax ? b) 型函数,且对文科不作要求) ,会求某些简单函数的导数. (3) 掌握可导函数的单调性与其导数的关系的研究 (其中多项式函数一般不超过三次) ; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号); 掌握利用导 数研究函数的极值、最值(其中多项式函数一般不超过三次) 。

专题一(40 分钟完成)
一、对导数定义和求导法则的考查 导数的基本运算是导数应用(单调性、极值、最值)的基础,是高考重点考查的对象, 考查的方式以客观题为主. 1、 导数的定义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ?0 ?x ?x
'

' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ( x0 ) 或 y |x ? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x) ? f ( x0 ) 。 x ? x0

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率; (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 总结:导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值 导数的几何意义是:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,
坚持还是放下? 1
?x ?0

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即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k。 ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k , ?x

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标;②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程. 导函数:由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么, 当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x) 或 y ? , 即: f ?( x) ? y? ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数

f ?( x) 之间的区别与联系,
2、 【必背】八大常用函数的导数: (1)(c)' =0(c 为常数)(2)( x a )' ? ax ;
x x
a ?1

(a 任意常数) ;
x

(3) (sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ; (5) (a )' ? a ln a ; (6) (e )' ? e ;
x

(7) (log a x)' ?

1 1 (8) (ln x)' ? . log a x ; x x

3、 【必会】导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 ( 1 ) [u( x) ? v( x)]' ? u' ( x) ? v' ( x) ; 2 ) [u( x)v( x)]' ? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ; 3 ) ( ( (c ; [ ( [cu( x)]' ? c ? u' ( x) 为常数) 4)

1 ? u ' ( x) u ( x) u ( x )v ' ( x ) ? u ' ( x ) v ( x ) ]' ? ]' ? 2 ;5) ( [ 。 u ( x) u ( x) u 2 ( x) u ( x)

4、 【必会】 复合函数求导法: 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的 导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? f ? g ( x) ??? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x) 。 ? ? (复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作

y ? f ? g ( x) ? ) 。
例 1 、 设 函 数 f ? x ? ? cos

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? , 若 f

?

? x? ?

f/ ? ? 是 奇 函 数 , 则 x

? ? _________。
点评:本题考查了三角函数求导公式及函数的奇偶性,属于低起点题,但命题形式生动 活泼.只要能够对三角函数顺利求导,就能快速做出答案. 课堂练习 1、 【2012 高考真题广东理 12】 曲线 y=x3-x+3 在点 (1, 处的切线方程为 3) .
坚持还是放下? 2

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课堂练习 2、2012 高考真题陕西理 7】 【 设函数 f ( x) ? xe , 则
x





A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 二、对导数的几何意义的考查

B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

[学

导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点, 如求切线的斜率、 求切 线的方程等,难点在于在于对其几何意义的正确理解. 例 2、曲线 y ? 是

1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积 x

. 点评: 本题涉及到函数曲线的切线问题, 由于无法用传统的二次方程根的判别式来求解, 导数的几何意义无疑为这类问题的解决提供了新方法、新途径。实际上,涉及到曲线的切线 尤其是三次或三次以上的曲线与对数曲线、 指数曲线等曲线的切线和公切线问题, 常常考虑 利用导数来求解,可谓事半功倍。 课外练习 3、 【2012 高考真题陕西理 14】设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲 ??2 x ? 1, x ? 0

线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域, z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值 则 为 .【答案】2. 运用导数的有关知识,研究函数的性质是历年高考的热点问题. 高考试题常以解答题 形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、方程及不等式有关的综合问题,题目较难. 三、运用导数解决与函数单调性有关的问题的考查 运用导数的符号判断函数单调性的知识, 或者已知函数的单调性, 反过来确定函数式中 特定字母的值或范围, 并且在知识考核的过程中包含着对分类讨论及转化与化归等的数学思 想的全面考查,是近年来高考的必考之点。 函数的单调性与导数的正负关系: 在某个区间 (a , b) 内, 如果 f ( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x)
'

在这个区间内单调递增;如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
'

说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数。
'

注:函数 y ? f ( x) 在(a,b)内单调递增,则 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 是 y ? f ( x) 在(a,b) 内单调递增的充分不必要条件. 求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数
' y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式

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f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。
例 3、设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e
2 3? x

( x ? R) 的一个极值点,求 f ( x) 的单调

区间。

例 4、设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? a 2 ? 1 x 在 ? ??, 0 ? 和 ?1, ?? ? 都是增函数, 求 a 的取值范围。 (有难度)

?

?

点评:可导函数 f (x) 在(a,b)上是单增(或单减)函数的充要条件是:对于任意 x ? (a, b), 都有 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 ),且 f ?(x) 在(a,b)的任意子区间上都不恒为零。在高中阶段. 主要出现的是有一个或多个(有限个)使 f ?( x) ? 0 的点 x 的情况。上述两题主要考查了学生 应用导数研究函数单调性的方法以及分类讨论及转化与化归的数学思想。 这种命题方式是今 后高考命题的一种趋向,体现了高考“能力立意”的思想,复习中应引起高度重视。 课外练习 4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx 的图像经过点 M (1, 4) ,曲线在点 M 处的切线
3 2

恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,求 m 的取值范围. 【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,即 [m, m ? 1] 为函数的递增区间的子集.

(Ⅰ) ? ?b ? 3 答案:

?a ? 1

(Ⅱ)

m ? 0 或 m ? ?3

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专题二(40 分钟完成)
四、对利用导数求函数的极值或最值的考查 利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大最小值,或利用求 导法解决一些实际问题是高中函数内容的继续与延伸, 这种解决问题的方法使复杂问题变得 简单化、程序化,因而已逐渐成为新高考的一大热点。 1、求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义域,求导数 f '( x) . (2)求方程 f '( x) ? 0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查

f '( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f (x) 在这个根处取得极大值;如果
左负右正,那么 f (x) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f (x) 在这个根 处无极值. 2.求函数在 [a, b] 上最值的步骤: (1)求出 f ( x) 在 (a, b) 上的极值. (2)求出端点函数值 f (a), f (b) .

(3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.

x ? x0 f '( x0 ) ? 0 注:可导函数 y ? f ( x) 在 处取得极值是 的充分不必要条件.
例 5、已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3x 2 cos ? ?

1 π ,其中 x ?R ,? 为参数,且 0 ≤ ? ≤ , 32 2

(Ⅰ)当 cos? ? 0 时,判断函数 f ( x) 是否有极值; (Ⅱ)要使函数 f ( x) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围;

评注: 本小题主要考查运用导数研究函数的极值、 解不等式等基础知识, 考查学生的综 合分析和解决问题的能力。这类问题用传统数学教材中的知识与方法往往难以解决,导数 成为破解此类问题的重要工具。
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课外练习 5、设 x ? 1, x ? 2 是 f ? x ? ? a ln x ? bx ? x 函数的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x ? 1, x ? 2 是函数

f ? x?

的极大值点还是极小值点,并求相应极值.

五、对利用导数处理含参数的恒成立问题的考查 恒成立问题中的参数取值范围, 其解决方式较多, 如果我们在短时间内难以很快寻得正 确的解题思路时,可以考虑试试从导数知识入手,解题或许将锋回路转,柳暗花明,这就再 一次说明导数在教材中的引入,拓宽了高考的命题空间,受到命题教师的青睐。 例 6、 已知函数 f ? x ? ?

1 ? x ? ax 若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 , a 的取值范围。 求 e , 1? x

点评: 含参数的恒成立不等式问题, 常规解法涉及到分类讨论和建立较复杂的不等式组, 对学生的要求比较高.导数的引入,给传统的参数取值范围注入了生机与活力,为恒成立不 等式中的参数取值范围的研究提供了新的视角、 新的方法, 本题就是运用求导法研究恒成立 问题的一个很好的例证。 例题 7、已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 a 的 3

取值范围.

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性 关系:即“若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注
' '

意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
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课外练习 6、设函数 f ( x) ? ( x ? a) x, a ? R .
2

(Ⅰ)若 x ? 1 为函数 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈ (??, 2] ,恒有 f ( x) ≤4 成立.

六、与导数有关的创新试题的考查 类比思想是根据两个对象之间存在的某种关系,从一个对象具有的属性类比到另一个对 象也具有类似属性的创新思维方式, 即数学问题解决中从条件出发, 通过观察、 试验、 归纳、 类比、 猜测、 联想来探路, 从而达到解题目标, 当然, 无论是题目本身还是题目的求解过程, 其创新成分都比较高,很好地考查了学生的创新思维能力。 2 例 8、半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变 2 1 量,则( ? r )`=2 ? r ○, 1 ○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 1 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: 2 ○ 2 ○式可以用语言叙述为: 。

点评:本题是一道类比创新试题,它启示广大数学教师在平时的教学中要根据教材特 点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得出新的知识,逐步学会类比 推理的方法,从而拓展学生的数学能力,提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能 力,培养学生的实践能力和创新精神。 七、导数与其它知识的融合 例 9、设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点

??? ??? ? ? 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P ( A、B 的坐标分别为 x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 ))
关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求:(I)求点 A、B 的坐标;(II)求动点 Q 的轨迹方程.

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点评:本小题考查了函数的导数、极值的判定、闭区间上二次函数的最值、向量及解 析几何等基础知识的交汇应用,考查了应用数学思想综合分析问题解决问题的能力。因此, 切实全面掌握数学知识网络是顺利解答问题的基础,在复习过程中,要注意知识的不断深 化,新知识应及时纳入已有的知识体系,特别要注意数学知识之间的关系和联系,逐步形 成的扩展知识结构系统,使学生能在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”,形成一个条理 化、有序化、网络化的有机体系。 例题 10、已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间;
x

(Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ?R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ) 设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ?N? ) .
n

八、利用导数处理实际生产生活中的优化问题的考查(2013 年四川不考。了解。 ) 近几年, 高考越来越注重对实际问题的考查, 因此要学会应用导数解决有关最优化的问 题及即时速度、边际成本等问题,学生要有运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以 及能力. 实际应用问题的考查将是高考的又一热点. 对于实际生产生活中的优化问题, 如果其目标函数为高次多项式函数, 简单的分式函数, 简单的无理函数,简单的指数,对数函数,或他们的复合函数,均可以考虑利用导数法求其 最值.由此可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实 际优化问题中的应用空间. 例 8 请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为 1m 的正六 棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的 体积最大?

点评: 这是一道实际生活中的有关立体几何的优化问题, 建立的目函数模型是三次函数, 用过去的知识求其最值往往没有简洁方法, 即使能求出, 也要涉及到较高的运算技能和技巧。 而运用导数知识,则非常容易解决该问题。

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选修 2—2 第一章 导数及其应用 专题 3 综合应用(1)
1、曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
3

( D.15



A.―9

B.―3

C.9

2、如果函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y? ? 3 ? 2 x 的图像关于坐标原点对称,则 y ? f ( x) 的 表达式为 A. y ? 2 x ? 3 B. y ? 2 x ? 3 C. y ? ?2 x ? 3 D. y ? ?2 x ? 3 ( )

3、 f0(x)=sinx, 1(x)=f0′(x), 2(x)=f1′(x), fn+1(x)=fn′(x), ∈N, f2006(x) 设 f f ?, n 则 = A.sinx B.-sinx C.cosx D. cosx ( ) - 4、函数 f ( x) ? ax m g ?? x) n 在区间〔0,1〕上的图像如图所示, ( 则 m,n 的值可能是 A. m ? 1, n ? 1 C. m ? 2, n ? 1 ( )

B. m ? 1, n ? 2 D. m ? 3, n ? 1 ( ) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

5、对于 R 上的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ≥ 0 ,则必有 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1) 6、曲线 y ?

? sin x 1 ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 4 sin x ? cos x 2
B.





A. ?

1 2

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ,当 x ? (0,1) 时取得极大值,当 x ? (1,2) 时取得极 3 2 b?2 1 1 1 1 小值,则 的取值范围为 A (1,4) B ( ,1) C. ( , ) D. ( ,1) ( ) a ?1 4 2 2 4
7、设 f ( x) ? 8、曲线 y ? 2 x ? x 在点(1,1)处的切线方程为
3

9、在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的动点,该图象 在 P 处的切线交 y 轴于点 M, 过点 P 作的垂线交 y 轴于点 N, 设线段 MN 的中点的纵坐标 为 t,则 t 的最大值是 10、如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交于曲线 y=ex 于点 Q1(0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线 与 x 轴交与点 P2。再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系 列点:P1,QI;P2,Q2?Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为( xk ,0) (k=1,2,?,n) 。 (Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系(2≤k≤n) ; (Ⅱ)求 PQ1 ? P2Q2 ? P Q3 ? ... ? PnQn 1 3
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11、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方 3

米,且 l≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平 方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

12、已知函数 f ? x ? 在 R 上有定义,对任何实数 a ? 0 和任何实数 x ,都有 f ? ax ? ? af ? x ? (Ⅰ)证明 f ? 0 ? ? 0 ; (Ⅱ)证明 f ? x ? ? ?

? kx, x ? 0 其中 k 和 h 均为常数; ?hx, x ? 0

(Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k ? 0 时,设 g ? x ? ? 内的单调性并求极值。

1 ? f ? x ? ( x ? 0) ,讨论 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? f ? x?

13、已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx, f ?(x) 和 g ?(x) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上单调性 一致。 (1)设 a ? 0 ,若 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求 b 的取值范围;
3 2

(2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若 f (x) 和 g (x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a―b|的最大值

14、 (2011 重庆文 19)设

的导数为

,若函数

的图

象关于直线

对称,且

.](Ⅰ)求实数 , 的值;(Ⅱ)求函数

的极值

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选修 2—2 第一章 导数及其应用 专题 4
1.设函数 y ? f ( x) 可导,则 lim A. f '(1) B. 3 f '(1)
?x ?0

综合应用(2)
( ) .

f (1 ? ?x) ? f (1) 等于 3?x 1 C. f '(1) D.以上都不对 3

2.已知物体的运动方程是 S ? 为 0 的时刻是 A.0 秒、2 秒或 4 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒
2

1 4 ,则瞬时速度 t ? 4t 3 ? 16t 2 ( t 表示时间, S 表示位移) 4
( B.0 秒、2 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒
3

) .

3.若曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于
3



) .

A.

36 6

B. ?
3

3

36 6

C.

2 3

D.

2 或0 3

4.若点 P 在曲线 y ? x ? 3x ? (3 ? 3) x ?
2

则角 ? 的取值范围是 A. [0, ? ] B. [0,

3 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 ? , 4
( ) . C. [

?
2

) ?[

2? ,? ) 3

2? ,? ) 3

D. [0,

?

? 2? )?( , ) 2 2 3

5.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导数, y ? f '( x) 的图像如图所示,则 y ? f ( x) 的图像最有可 能的是 0

y
1 2

y ? f '( x)



) .

x
y
2 2

y
1 0 A
3

y
1 2 x 0 B 2

y

x

0

1 C

x

0

1 D ) .

x

6.函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在区间 [1, ??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. [3, ??)
3

B. [?3, ??)
2

C. (?3, ??)

D. (??, ?3)

7.已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的图像与 x 轴切于点 (1, 0) ,则 f ( x) 的极大值、极小值 分别为 A.

4 ,0 27

B.0,

4 27

C. ?

4 ,0 27

D.0, ?

4 27



) .

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8.函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 (0,1) 内有极小值,则
3

( C. b ? 0 D. b ? ( D.1

) .

A. 0 ? b ? 1
2

B. b ? 1

1 2
) .

9. y ? ax ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a 的值为 A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2


10.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

11.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , f ( x 1 在区间 (1, ??) 内恒成立, 若 ) ? 则实数 a 的范围为___ . 12.设函数 f ( x) ? x ? ax 的导数为 f '( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 {
m

1 }(n ? N * ) 的前 n 项和 f ( n)

是_______ . 13、求经过点 (2, 0) 且与曲线 y ?

1 相切的直线方程. x

14、已知 x ? 1 ,求证: x ? ln(1 ? x) .

15、已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a , (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间;
3 2

(Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

16、已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? ax ? 1 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1, 2] 上单调递减,
4 3 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? bx ? 1,若方程 f ( x) ? g ( x) 的解集恰有 3 个元素,
2

求 b 的取值范围. 17、某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格。销售量可以增 加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成 正比.已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

18、设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2 (Ⅰ)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; ' 2 (Ⅱ) 已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立, 求实数 x 的取值范围。
坚持还是放下? 12

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选修 2—2 第三章 复数 专题五
复习巩固:

专题复习

已知函数 f(x)=lnx?kx+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)?0 恒成立,

n lni n(n?1) 试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: ? < (n?N*,N>1). i+1 4 i=2

一.复数概念:
1. 定义: 形如 a ? bi ? a, b ? R ? 的数叫做复数, 记作 z ? a ? bi , 其中 i 是虚数单位,i ? ?1 ;
2

a 与 b 分别叫做复数 z ? a ? bi 的________和_________。
2. 分类: 复数 z ? a ? bi 可分为实数、 虚数和纯虚数, 它们各自满足的条件分别是________、 __________和__________; 它们在复平面上对应的区域分别是________、 ________和______。 3.几何意义:复数 z ? a ? bi ? 复平面上的点 Z ? a , b ? ? 平面向量 OZ ; 4.复数的模:复数 z ? a ? bi ? a、b ? R ? 的模即向量 OZ 的模,是有向线段 OZ 的长度; 计算公式为 a ? bi ? ____________; 5.共轭复数:复数 z ? a ? bi ? a、b ? R ? 的共轭复数是 z ? a ? bi ? a、b ? R ? , 6.两个复数相等 ? ___________________. 【典型例题练习巩固】师生互动完成。 例 1、复数 i ?1+i ? 的实部是 A.-2
2

??? ?

??? ?

??? ?

B.-1

C.1

D.2

( (

) )

例 2、若复数 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为
2

A. ?1

B. 0

C. 1

D. ?1 或 1 ( D.第四象限 )

例 3、在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

→ → 例 4 复平面内三点 A、B、C,A 点对应的复数为 2+i,BA对应的复数为 1+2i,向量BC对应 的复数为 3-i,则点 C 对应的复数为 A. 2-4i B. 4-2i C. 1-2i
坚持还是放下?

( D. 4-i



13

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

例 5、设 a,b 为实数,若复数

1+2i ? 1 ? i ,则 a ? bi
C. a ?





A. a ?

3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1

1 3 ,b ? 2 2

D. a ? 1, b ? 3

二.复数运算: 设复数 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ? a、b、c、d ? R ? ,则加减法: ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ______________; 乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ______________; 【典型例题练习巩固】 例 6、若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 z ?
2

除法:

a ? bi ? ____ _____ c ? di

_____

3

( C. ?2 2i D. ?2 2i (



A. ?2 2 例 7、i 是虚数单位,若 A.-15 例 8、复数

B. ?2 2

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R) ,则乘积 ab 的值是 2?i
B.-3 B. ?i C.3 C. 3 ? i D.15



1 ? 3i 等于 A. i 3 ?i
3

D. 3 ? i (



练习 1、复数 (1 ? i ) 的虚部为(A)3

(B)-3

(C)2

(D)-2





练习 2、复数 z= A.第一象限

i 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限



三.复数的相关性质: 1.复数的加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律;复数也满足实数的正 整数指数幂运算法则,即:
n zm n z z ? _______, n ? ________, ? z m ? ? ________, ? z1 z2 ? ? ________ ? m、n ? N * ? ; z

m n

2.共轭复数及运算性质:设 z ? a ? bi ? a、b ? R ? ,则 z ? z ? ____, z ? z ? ____,

?z ? z z ? ______; z1 ? z2 ? _________, z1 ?z2 ? _______, ? 1 ? ? ______ ? z2 ? 0 ? ? z2 ?
3.复数模及性质:设 z ? a ? bi ? a、b ? R ? ,则

坚持还是放下?

14

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z ? a 2 ? b2 ,

2 z ? z ? z ? ? , z1 ?z2 ? _______, z z 2

2

z1 ? ________; z2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,其中等号成立的条件是___________________________;
4. i 常用的性质: ① i
4k

? 1, i 4 k ?1 ? i, i 4 k ? 2 ? ?1, i 4 k ?3 ? ?i, ? k ? N * ? ,i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? _____ ? n ? N * ? ;
2

② ?1 ? i ? ? ______,

1? i 1? i ? ______, ? _______; 1? i 1? i

【典型例题练习巩固】 例 9 、下列 n 的取值中,使 i ? 1 (i 是虚数单位)的是
n

( D. n=5 (



A.n=2

B. n=3

C. n=4

i 2 ? i3 ? i 4 ? 练习 3、复数 1? i
A. ?



1 1 ? i 2 2

B. ?

1 1 ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2
( )

练习 4、复数

1? i 3 ? i 的值是(A)0 1? i

(B)1

(C) ?1 (D) i

例 10 、a 为正实数,i 为虚数单位,

a?i ? 2 ,则 a= i
C. 2 D.1





A.2

B. 3

例 11、若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i (i 是虚数单位),其共轭复数 z = A. i 【综合训练】 例 12、 是虚数单位, ? 2i ? 3i ? ? ? 8i ? i i
2 3 8

( D.-1



B.-i

C.1

( C. 3 ? 4i D. 4 ? 3i (



A. 3 ? 3i 11 A. 5 A.6

B. 4 ? 4i

练习 5 如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是 B. 3I 11 C. + 3I 5 B.5 C.4 11 D. +2 3i 5

)

练习 6 已知 z1,z2∈C 且|z1|=1,若 z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是 D.3

(

)

坚持还是放下?

15

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例 13、 已知复数 z ? a ? bi(a.b ? R ? ) 是方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的根.复数 w ? u ? 3i( u ? R )
2

满足 w ? z ? 2 5 ,求 u 的取值范围 A. ?2 ? u ? 6 B. ?2 ? u ? 6 C. ?2 ? u ? 6
2

( D. ?2 ? u ? 6

)

练习 7、 已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两根, p, q 的值为( ) 则 A、 p ? ?4, q ? 5 B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5 D、 p ? ?4, q ? ?5 ( C.-4+3i 1 3 D. + i 2 2 ) D.1+4i )

练习 8、若 x∈C,则方程|x|=1+3i-x 的解是 1 3 A. + i 2 2 A.2-3i B.x1=4,x2=-1

例 14 ?ABCD 中,点 A,B,C 分别对应复数 4+i,3+4i,3-5i,则点 D 对应的复数是( B.4+8i C.4-8i

坚持还是放下?

16

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选修 2—2 第三章 复数 专题六
一、知识点梳理:再次呈现!! ! 1、i 的周期性: i =1,所以,i
4 4n+1

专题复习

=i, i

4n+2

=-1,

i

4n+3

=-i,

i =1 ? n ? Z ? i
4n
王新敞
奎屯 新疆

4n

? i 4 n ?1 ? i 4 n ? 2 ? i 4 n ?3 ? 0 ? n ? Z ?

2、复数的代数形式: a ? bi ? a, b ? R ? , a 叫实部, b 叫虚部,实部和虚部都是实数。

C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ; a ? bi ? 0 ? a ? 0且b=0 4、复数的分类: 复数Z ? a ? bi ? ?
?实数 (b=0) ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?

虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3 ? i, 6 ? 2i 也没有大小。 ?? ? ?? ? 5、 复数的模: 若向量 OZ 表示复数 z, 则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模, z ?| a ? bi |? 积或商的模可利用模的性质(1) z1 ?? zn ? z1 ? z2 ?? ? zn , (2) z1 ? z1 z2 z2

a 2 ? b2 ;
? 0?

?z

2

6、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中 x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 , 实轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数。 7、复数的几何意义:
王新敞
奎屯 新疆

? 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ???? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

复数Z ? a ? bi ? a, b ? R ?

一一对应

? 平面向量OZ ,
? a , b, c , d ? R ? ? a , b, c , d ? R ?

?? ?

8、复数代数形式的加减运算 复数 z1 与 z2 的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数 z1 与 z2 的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义: 复数 z1=a+bi,

z2=c+di ? a, b, c, d ? R ? ;

OZ = OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义:复数 z1-z2 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 Z 2 Z 1 ? OZ1 ? OZ 2 ,两个
王新敞
奎屯 新疆

?? ???

???? ???? ? ?

复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地, z ???? ? zB-zA., z???? ? AB ? z B ? z A 为两点间的距离。 | z ? z1 |?| z ? z2 | z 对 AB AB
坚持还是放下? 17

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

应的点的轨迹是线段 Z1 Z 2 的垂直平分线; | z ? z0 |? r , z 对应的点的轨迹是一个圆;

| z ? z1 | ? | z ? z2 |? 2a ? Z1Z 2 ? 2a ? ,

z

对 应 的 点 的 轨 迹 是 一 个 椭 圆 ;

| z ? z1 | ? | z ? z2 | ? 2a ? Z1Z 2 ? 2a ? , z 对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式:
z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2 z1 ? z2
2 2 2

?

2

?
? a , b, c , d ? R ?

11、复数的乘除法运算: 复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 * 实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z ,z ,z ∈C 及 m,n∈N 有: 1 2 3 m n m+n z z =z , 复数的除法: m n mn n n n (z ) =z , (z z ) =z z . 1 2 1 2

z1 a ? bi ac ? bd bc ? ad ? (a+bi) ? (c+di)= = ? i z2 c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

? a, b, c, d ? R ? ,分母实

数化是常规方法。 12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复 数;特别地,虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数;

z ? a ? bi, z ? a ? bi ? a, b ? R ? , 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实 轴 对 称 。
z ?| z |? a 2 ? b 2
z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

z ? z ? a 2 ? b2 ? R, z ? z ? z ? z
2

2



? z1 ? z1 ? ?? ? z2 ? z2
2 2

13、熟记常用算式: ? ?i , (1 ? i ) ? 2i , (1 ? i) ? ?2i , 14、复数的代数式运算技巧:
2 (1)① (1 ? i ) ? 2i 2 ② (1 ? i) ? ?2i

1 i

1? i 1? i ?i, ? ?i 1? i 1? i
1? i ? ?i ④1? i

1? i ?i ③1? i

??? ?
(2) 1”的立方根 “

1 2

3 i 2 的 性 质 : ① ?3 ? 1

②? ??
2



1? ? ? ? ? 0
2

??


1

?

? ?1

1
⑤?

??

15、实系数一元二次方程的根问题:讲解为什么?

(1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个实根 x1 , x 2 。
坚持还是放下? 18

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

(2)当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个共轭虚根,其中 x1 ? x 2 。 此时有
x1 ? x 2
2 2

? x1 x 2 ?

? b ? ? ?i c 且 x1, 2 ? 。 2a a

注意两种题型:(1) x1 ? x 2

(2) x1 ? x 2

虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用 韦达定理。 已知 x 2 ? x1 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x 2 ? x1 的方法:
2 2 (1)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时, x 2 ? x1 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? b ? 4ac a

(2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,
2

x 2 ? x1 ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4ac ? b 2 a

已知 x1,x 2 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x 2 ? x1 的方法:

(1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, c ① x1 ? x 2 ? 0, 即 ? 0 ,则 x ? x ? x ? x 2 1 1 2 a c ② x1 ? x 2 ? 0, 即 ? 0 ,则 x ? x ? x ? x 2 1 1 2 a (2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,
2

?

b a

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

b 2 ? 4ac a

x 2 ? x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? x 2 ? 2

c a

二、典例分析:

(复习巩固)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 4ln x ? a ( x ? 0)
(Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)a 为何值时,方程 f ( x) ? 0 有三个不同的实根. (1+i) 例 1. (1)复数 等于 A.1-i 1-i
? ?
2

B.1+i

C.-1+ i

D.-1-I

(

) .

(2) 若复数 z 同时满足 z - z =2 i ,z = iz( i 为虚数单位) 则 z = , (3)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 (4)已知 (

)

m ? 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? 1? i
(B) 1-2i (C)2+i 。





(A)1+2i (5)设 x, y 为实数,且

(D)2-i

x y 5 ,则 x ? y ? ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i
1996

例 2: (1)计算: ? 2 3 ? i ? ? 2 ? ? ?
1 ? 2 3i ?1? i ? ? ?

(2)设复数 z 满足关系 z ? | z |? 2 ? i ,求 z;

坚持还是放下?

19

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

(3)若 x ? C ,解方程 | x |? 1 ? 3i ? x 例 3、 (1)复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? i | ? 1 , z 对应的点在复平面内表示的图形为 ( 则
2 2



A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线

(2)设复数 z 满足: | z ? 3 ? 3i |?

3 ,求|z|的最大值与最小值;

(3)已知 z∈C,|z-2|=1 且复数 z-2 对应的点落在直线 y=x 上,求 z。 (4)设 z ? C ,1 ?| z |?

2 ,则复数 u ? z (1 ? i ) ,在复平面内对应的图形面积为_______。

例 4:已知 z=1+i,a,b 为实数, (1)若ω =z +3 z -4,求|ω |; (2)若 例 5:设 z ? C, 且 课内训练:
1.已知复数z与( z 2..若(a ? 2i ) i 3.设复数ω =-
2

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a,b 的值。 z2 ? z ?1

z 是纯虚数,求 | z ? i | 的最大值。 z ?1
? 2) 2 ? 8i均是纯虚数,则z ? ______
2 2

Z ? ?2i
A.0 B.2 C. 5 D.5 ( ) ( )

? b ? i ,其中a、b∈R,i是虚数单位,则a ? b

=

2

1 + 3 i,则 1+ω = 2 2

(A)–ω (B)ω 2

(C) ? 1 (D) 1 2

?

?

4.设复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是 A. 2 ? 4i B.
2



).?

2 ? 4i

C. 4 ? 4i

D. 4 ? 4i C.

5.若复数 z 满足方程 z

? 2 ? 0 ,则 z3 ? A. ?2 2 B. ?2 2

?2 2i

D. (

?2 2i
)





a ? bi 6. 设 a 、 b 、 c 、 d ?R ,若 为实数,则 c?di (A) bc ? ad ? 0 (B) bc ? ad ? 0 (C) bc ? ad ? 0
7.如果复数 (m 8. (
2

(D) bc ? ad ? 0 B.?1
2005

? i)(1 ? mi ) 是实数,则实数 m ?
A. i B.- i C. 2
2005

A.1 D.- 2

C.

2

D.? (

2


( )

9.满足条件 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 .a

1 ? i 2005 ) ? 1? i





z 10.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i , 1 且 z2
11.已知

为 虚 , 实 纯 数 则 数a的 为 值

?

8 3
( )

m ? 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? 1? i
(B) 1-2i
3

(A)1+2i

(C)2+i (B)-3 (C)2

(D)2- i (D)-2 ( ( ) )

12、复数 (1 ? i ) 的虚部为 (A)3 13、在复平面内,复数 (A)第一象限

1? i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限

坚持还是放下?

20

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14、求满足条件:

z ? ( z ? z )i ?

2

3?i (i 为虚数单位)的复数 z 2?i

选修 2—2

第一章、第三章 综合复习 专题讲座 专题七

例 1、 求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y ? (4) y ? ln( x ?

5 x 2 ? 3x ? x cos2x ; (3)y=e ; x

x 2 ? 1) ;

(5)y=(1-2x) (x>0 且 x ?
x

1 )。 2

[解] (1) y' ? cos( x ? 1) ? (3x ? 1)' ? 3cos(3x+1). 3
2 ? ? ?10 x ? 3 ? ? x ? 5 x ? 3x ? x (5 x 2 ? 3x ? x )'?x ? (5 x 2 ? 3x ? x ) ? ( x)' 1 2 x? ? (2) y ' ? ? 5? . ? 2 2 x x 2 x3

?

1 ?

(3) y' ? e (4) y ' ?

cos 2 x

? (cos 2 x)' ? e cos 2 x ? (? sin 2 x) ? (2 x)' ? ?2e cos 2 x ? sin 2 x.
1 ? ( x ? x 2 ? 1)' ?
x ln(1? 2 x )

x ? x2 ?1
x

? ? x ?? ? 1? ? ? ? x ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 1
?

1 x2 ?1

.

(5) y' ? [(1 ? 2 x) ]' ? [e

]' ? e x ln(1?2 x ) ( x ln(1 ? 2 x))' ? (1 ? 2 x) x ?ln(1 ? 2 x) ? 2 x ?. ? ?
1 ? 2x ?

例题 2、已知函数 f (x) 的定义域为 [?2, ??), 部分对应值如下表, f ?( x) 为

f (x) 的导函数,函数 y ? f ?( x) 的图象如右图所示:

x
f (x)

-2 1

0 -1

4 1

若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 .. 例题 3、已知函数 f ? x ? ? x ?
2

b?3 的取值范围是 a?3

3 7 ( , ). 5 3

a ( x ? 0, a ? R) 若 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 是增函数,求实数 a 的 x

范围。 解析: f ( x) ? 2 x ?
/
3

a 3 ≥0 在 ? 2, ?? ? 上恒成立 ? a ? 2x 在 ? 2, ?? ? 上恒成立 2 x

而 2x 在 ? 2, ?? ? 上的最小值为 16,故 a ? 16 。 例题 4、已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数 f/(x)在 R 上也可导,且其导函数[f/(x)]/<0, 则 y=f(x)的图象可能是下图中的
坚持还是放下?

( C


21

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

A.①② y 解析: 减,即 O

B.①③ y 由 函 数 x O

C.②③

D.③④ y [f/(x)]/<0 知

y f/(x)在 R 上递 到 右 x O

y=f(x)的图象上 x

从 左 x O

各点处

例题 5、

的切线斜率递 减,不难看出图 象②③满足这一 要求。 ③ ④ ② / ① f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf (x)+f(x)≤0,对任意正数 a、 ( B.bf(a) ≤af(b)
/

b,若 a<b,则必有 A.af(b) ≤bf(a)
/



C.af(a) ≤f(b)

D.bf(b) ≤f(a)

解析:xf (x)+f(x)≤0 ? [xf(x)] ≤0 ? 函数 F(x)= xf(x) 在(0,+∞)上为常函数或递减, 又 0<a<b 且 f(x)非负,于是有:af(a)≥bf(b)≥0 ①②两式相乘得: ①

1 1 ? 2 ?0 2 a b

② 故选 A。

f (a) f (b) ? ? 0 ? af(b) ≤bf(a), a b

注:本题的难点在对不等式②的设计,需要经验更需要灵感。 课内训练: 1、函数 f ( x) ? x ln x ? ax, ( x ? 0) 在 [e,?? )上递增, a 的取值范围是

a ? ?2

2、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是 y y y y ( D )

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D. ( D )

x

3、函数 f(x)、g(x)在 R 上可导,且 f/(x)>g/(x),若 a>b,则 A.f(a)>g(b)
/

B.g(a)<f(b)

C.f(a) -f(b) <g(a)- g(b)
/

D.f(a) -f(b) >g(a)- g(b)
/

“极值点” “点” 而是方程 f ( x) ? 0 的根。x 0 是函数 f (x) 极值点则 f ( x0 ) ? 0 ; 不是 , 但是 f ( x0 ) ? 0 , x 0 未必是极值点(还要求函数 f (x) 在 x 0 左右两侧的单调性相反) ;若

f / ( x0 ) ? 0 (或 f / ( x0 ) ? 0 )恒成立,则函数 f (x) 无极值。 1 3 2 例题 6、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (2 ? b) x ? 1 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取 3
得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 . (1)证明 a ? 0 ; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 解析:函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? ax ? 2bx ? 2 ? b . (Ⅰ)由函数 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在
2

坚持还是放下?

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x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?( x) ? 0 的两个根.所以 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ;当 x ? x1
时,

f ( x) 为增函数, f ?( x) ? 0 ,由 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .
? f ?(0) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

(Ⅱ)在题设下, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 等价于 ? ? ? f (1) ? 0

即 ?a ? 2b ? 2 ? b ? 0 .
? ?4a ? 4b ? 2 ? b ? 0 ?

?2 ? b ? 0

化简得 ?

?2 ? b ? 0 .此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: ? a ? 3b ? 2 ? 0 ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ?

2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0,a ? 5b ? 2 ? 0 所围成的 △ABC 的内部,由“线性规划”的知识 4
容易求得: z 的取值范围为 ?

? 16 ? ,? . 8 ? 7 ?
3 2 2

例题 7、 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10,则 f (2) ? 解析: f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 ,∴ f (1) = 2a ? b ? 3 ? 0
' 2 /



f (1) ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 10



由①②得: ?

?a ? 4 ? a ? ?3 ? a ? ?3 或? 当? 时, ?b ? 3 ?b ? 3 ?b ? ?11

?a ? 4 时 f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0 , 此 时 函 数 f (x) 无 极 值 , 舍 去 ; 当 ? ?b ? ?11
f / ( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 11 ,函数 f (x) 在 x ? 1处左减右增,有极小值;此时∴ f (2) ? 18 。
注:在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时,为避免“增根” ,需将求出的参变量 的值代入 f ( x) 检验其是否为完全平方式,若是则函数无极值(单调) ,否则有极值;也可
/ 以对 f ( x) 再次求导, f 看
//

/

( x 0 ) 的值, 0 则无极值, 为 为正则有极小值, 为负则有极大值。

课外训练: 4、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,
3 2

又 f ?( ) ?

1 2

3 . (Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f (x) ≤x 成立,求 m 2
3 2

的取值范围. 答案:? f ( x) ? ?2 x ? 3x .? 0 ? m ≤ 2 .

1

专题八
例题 8、设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ,其中 ab ? 0 .证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极
2

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23

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点,并求出极值. 证明:因为 f ( x) ? ax ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x) 的定义域为 (0, ?) . ?
2

f ?( x) ? 2ax ?

b 2ax 2 ? b . 当 ? x x

ab ? 0

时 , 如 果

a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) ( x) 在 (0, ?) 上单调递减. ?



(0, ?) 上单调递增; ?
所以当 ab ? 0 ,函数

如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f

f ( x) 没有极值点.

? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ? ? 2a ? ? 当 ab ? 0 时, f ?( x) ? x


f ?( x) ? 0 ,

得 x ? ? ? b ? (0, ?) (舍去) x ? , ? 2 1

2a

?

b ?? (0, ?) , ? 2a

当 a ? 0,b ? 0 时,

f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
? ? ? ?

x
f ?( x)
f ( x)
从上表可看出, 函数

? b ? 0, ? ? 2a ?
?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极小值

?
?

?

f ( x) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? b ? ? ? b ?1 ? ln ? ? b ? ? . ? ? ? ?? ? 2a ? 2? ? 2a ?
? ? ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时,

f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
? ? ? ?

x
f ?( x) f ( x)
从上表可看出, 函数

? b ? 0, ? ? 2a ?
?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极大值

?
?

?

f ( x) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? b ? ? ? b ?1 ? ln ? ? b ? ? . ? ? ? ? ? 2a ? 2? 2a ?
? ? ? ? ??
当 ab ? 0 时,函数

综上所述,

f ( x) 没有极值点;

当 ab ? 0 时,

坚持还是放下?

24

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走! 若 a ? 0,b ? 0 时,函数 若 a ? 0,b ? 0 时,函数

f ( x) 有且只有一个极小值点,极小值为 ? b ?1 ? ln ? ?
2? ?

b ?? . ? ?? ? 2a ? ?

f ( x) 有且只有一个极大值点,极大值为 ? b ?1 ? ln ? ? b ? ? . ? ? 2? 2a ?
? ? ??

求 y ? f (x) 在闭区间内的最值的步骤: (1)求导数 f ' ( x) (2)求导数方程 f ' ( x) =0 的根(3)检查 f ' ( x) 在根的左右值的符号,列表求得极值;也可通过解不等式 f ' ( x) ≥0 及 f ' ( x) ≤0 确定函数 y ? f (x) 在给定区间内的单调情况,再确定函数的极值;最后将极 值与区间端点的函数值比较以确定最值。
例题 9、设函数

f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围.

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ,都有 3] 解析: (Ⅰ) (Ⅱ)

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 3b ,由 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .解得 a ? ?3 , b ? 4 .
在 [0 , 3] 上 恒 成 立 即

f ( x) ? c 2

c 2 ? f m a ( x) x



x ? [0, 3]

由(Ⅰ)可知,

f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 8c , f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 时, 1) 即 又

f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 . 2) 3)

f ( x) 在 [ 0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,
3 f (3) ? 9 ? 8c .故当 x ? ? 0,? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .
2

于是有: 9 ? 8c ? c ,解得

? ? c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) 。

例题 10、已知定义在正实数集上的函数 两曲线

f ( x) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设 2

y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.用 a 表示 b ,并求 b 的最大值;

解析:设

y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.
,由题意

3a 2 ∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ? x
? 即 ? x02 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, x0 由 1 ?2 ? 2 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?

f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .

? 2a ?

3a 2 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . x0

即 有

1 5 2 2 b ? a 2 ? 2a 2 3a ln a ? a ? 3a ln a 2 ? 2 2
2t? ( 1

. 令

5 h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) 2

, 则

h?( t ) ?

.于是当 t ) ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t 3t l n (1

?e

1 3

时, h?(t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,

坚持还是放下?

25

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

即t

1 1 ? ? ? 1 ? ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .故 h(t ) 在 ? 0,e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ? ?

? 1? 3 2 ∴ h(t ) 在 (0 ? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? e 3 . , ? ? 2
课外训练:1、设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x ,求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4
2

? 3 1? ? ?

2、 已知函数 f ( x) ? ax ? 6ax ? b ,其图象为曲线 C
3 2

(1) 直线 l:y=x+1 与曲线 C 相切于 x 轴上一点,求的 a、b 的值 (2)是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1、2]上取得最大值为 3,最小值为-29。若存在,求 出 a、b 的值,并指出函数 y=f(x)的单调递增区间;若不存在,请说明理由。 答案: (1)a=

1 7 ,b= 15 15

(2)a=2,b=3 f(x)在(-1,0)上单调递增;a=-2,b=-29 f(x)在(0、2)上单调递增。

a 1? i 是实数,则 a ? ? 1? i 2 1 3 A. B. 1 C. D. 2 2 2 a 1 ? i a(1 ? i ) 1 ? i a ? 1 ? (1 ? a)i 解析: = = ∈R,则 a ? 1 ? ? 1? i 2 2 2 2
例题 11、 设 a 是实数,且 例题 12、已知 a,b ?R ,且 2 ? a i,

( B )

b ? i ( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程
( A ) D. p ? 4, q ? 3 ①

x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,那么 p,q 的值分别是
A. p ? ?4, q ? 5 B. p ? ?4, q ? 3 解析:分别将 2 ? a i,
2

C. p ? 4, q ? 5

b ? i 代入方程得: (2 ? ai) 2 ? p(2 ? ai) ? q ? 0
② 对①②整理得:

(b ? i) ? p(b ? i) ? q ? 0

?2 p ? q ? a 2 ? 4 ? 0 ? ;解得: ?( p ? 4)a ? 0 ? 2 ? pb ? q ? b ? 1 ? 0 ? p ? 2b ? 0 ?

p ? ?4, q ? 5 。本题也可以用“韦达定理”求解:

2 ? ai ? b ? i ? ? p
?2 ? b ? ? p ?a ? 1 ? 0 ? ? ?2b ? a ? q ?ab ? 2 ? 0 ?

③, (2 ? ai)(b ? i) ? q



对③④整理得:

? ?b ? 2 。 ?
? ? p ? ?4 ?q ? 5 ?

?a ? ?1

课内训练:1、在复平面内,复数 z=

1 对应的点位于 2?i
坚持还是放下?

( D )
26

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第在象限 (D)第四象限 ( C ) C. 2 ? i D. 2 ? i

1 ? 2i 2、设复数 z 满足 ? i ,则 z ? z
A. ?2 ? i B. ?2 ? i

例题 13、已知 z1 ? x ?
2

x 2 ? 1 ? i , z 2 ? ( x 2 ? a)i 对于任意的 x∈R 均有|z1|>|z2|成立,

试求实数 a 的取值范围。 解:∵|z1|>|z2|,∴ x ? x ? 1 ? ( x ? a) ,∴ (1 ? 2a) x ? (1 ? a ) ? 0 ,对 x ? R 成
4 2 2 2 2 2

立。当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时,不等式成立; 2

1 1 1 ? 2a ? 0 ? 当 1 ? 2a ? 0 时 ? ? ?1 ? a ? 。综上得 a ? (?1, ] 。 2 2 2 ?? 4(1 ? 2a )(1 ? a ) ? 0
【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。 例题 14、设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a, b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 x?b

为 y ? 3。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称 图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线

y ? x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值。
(Ⅰ)解: f ?( x) ? a ?
1 ? 1 2a ? ? 3, ,于是 ? 2?b ? 2 ? ( x ? b) 1

?a ? ? 0, (2 ? b) 2 ? ?

? a? , ? a ? 1, ? 4 解得 ? 或? ? ?b ? ?1, ? 8 9 b?? . ? 3 ?

1 . x ?1 1 1 (Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 都是奇函数.所以函数 g ( x) ? x ? 也是奇函数, x x 1 其图像是以原点为中心的中心对称图形.而 f ( x) ? x ? 1 ? ? 1 .可知,函数 g ( x) 的图 x ?1
因 a,b?Z ,故 f ( x) ? x ? 像按向量 a ? (11) 平移,即得到函数 f ( x) 的图像,故函数 f ( x) 的图像是以点 (11) 为中心 , , 的中心对称图形. (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? 1 知,过此点的切线 ? .由 f ?( x0 ) ? 1 ? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) 2

方程为 y ? x0 ? x0 ? 1 ? ?1 ?
2

x0 ? 1

? ?

1 ? . ? ( x ? x0 ) ( x0 ? 1) 2 ?

令 x ? 1得 y ?

x0 ? 1 ? x ? ,切线与直线 x ? 1 交点为 ?1,0 ? 1 ? .令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?
坚持还是放下? 27

大豆不挤不出油,时间不挤会溜走!

, 直线 y ? x 交点为 (2 x0 ? 1 2 x0 ? 1) .直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11) .从而所围三角 ,
形的面积为 1 x0 ? 1 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 1
2 x0 ? 1 2 2 x0 ? 2 ? 2 .所以,所围三角形的面积为定值 2 . 2 x0 ? 1

坚持还是放下?

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