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2016年石家庄市数学二模理科试卷及答案


2016 年石家庄市第二次模拟考试试题答案 (数学理科)
一、选择题 1-5 BAACB 二、填空题 13. 15. 6-10CABBA 11-12CC

4 5
-6

14. 16.

240 1或9

三、解答题 17.(I)由正弦定理

a b

c ? ? ? 2 R 可得: sin A sin B sin C 2R s i n A = ?3 R 2 sB in c C os ………………… 1分 ? A? B ?C ??

?sin A ? sin( B ? C )=3sin B cos C ,
即 sin B cos C ? cos B sin C =3sin B cos C

-------------------------3 分

? cos B sin C =2sin B cos C


?

cos B si C n =2 sin B cos C
-------------------------5 分

tan C =2 . tan B

(II) (法一)由 A ? B ? C ? ? ,得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 ,

tan B ? tan C 3 tan B ? ?3 , 将 tan C ? 2 tan B 代入得: ? ?3 ,-------------------------7 分 1 ? tan B ? tan C 1 ? 2 tan 2 B 1 解得 tan B ? 1 或 tan B ? ? , 2 tan B 同正, 根据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 所以 tan B ? 1 , tan C ? 2 . …………………8 分
即 则 tan A ? 3 ,可得 sin B ?

2 2 5 3 10 , sin C ? , sin A ? , 2 5 10

代入正弦定理可得

3 b = ,? b ? 5 ,………………10 分 3 10 2 10 2

所以 S?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 5 ? ? 3 .-------------------------12 分 2 2 5

(法二)由 A ? B ? C ? ? 得

tan( B ? C) ? tan(? ? A) ? ?3 ,
tan B ? tan C 3 tan B ? ?3 , 将 tan C ? 2 tan B 代入得: ? ?3 ,-------------------------7 分 1 ? tan B ? tan C 1 ? 2 tan 2 B 1 tan B 同正, 解得 tan B ? 1 或 tan B ? ? ,根据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 2


所以 tan B ? 1 , tan C ? 2 .………………8 分 又因为 a ? 3b cos C ? 3 ,所以 b cos C ? 1 ,

? ab cos C ? 3 ? ab cos C tan C ? 6 . -------------------------10 分 1 1 ? S?ABC ? ab sin C ? ? 6 ? 3 .-------------------------12 分 2 2
18.

P

D

C

A

E

B

解析: (1)在矩形 ABCD 中, AB : BC ? 2 :1 ,且 E 是 AB 的中点, ∴ tan ∠ ADE = tan ∠ CAB ? ∴∠ ADE =∠ CAB ,
? ? ∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥ DE .…………3 分

1 ,……………1 分 2

由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .∴…………5 分 (2) 解法一:令 AC 与 BD 交于点 O ,∵ PA ? PC ,且 O 是 AC 的中点,∴ PO ? AC . ∵面 PAC ? 面 ABCD ,∴ PO ? 面 ABCD . 取 BC 中点 F ,连接 OE , OF ,因为底面 ABCD 为矩形,所以 OE ? OF . 建立如右图所示的空间直角坐标系:

z P

D O A x E B F

C y

??? ? A(1, ? 2,0), B(1, 2,0), D(?1, ? 2,0 ), P(0,0, a), AP ? (?1, 2, a) ……………6 分 ? ??? ? ??? ? 设 面PBD 的法向量为 c ? ( x1, y1, z1 ) , DB ? (2, 2 2,0) , OP ? (0,0, a) ? ??? ? ? ?2 x ? 2 2 y1 ? 0 ?c ? DB ? 0 ? ?? 1 由 ? ? ??? , 令x1 ? 2, 则y1 ? ?1 ? az ? 0 c ? OP ? 0 ? ? ? 1 ? ? ∴ 面PBD 的法向量为 c ? ( 2, ?1,0) ? ??? ? c ? AP 6 由 ? ??? ? a ? 1 …………8 分 ? ? 3 c AP
设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ), AD ? (?2,0,0) , AP ? (?1, 2,1)

?

??? ?

??? ?

?? ???? ? ?m ? AD ? 0 ? ??2 x2 ? 0 ?? 由 ? ?? ??? 令y2 ? 1, 则z2 ? ? 2 ? ?? x2 ? 2 y2 ? z2 ? 0 ?m ? AP ? 0 ? ?

?? ?m ? (0,1, ? 2)
设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x3 , y3 , z3 )

?

??? ? ??? ? AB ? (0, 2 2,0), AP ? (?1, 2,1) ,

? ??? ? ? ?n ? AB ? 0 ? ?2 2 y3 ? 0 ?? ? 令x3 ? 1, 则y3 ? 0, z3 ? 1. 由 ? ? ??? ? n ? AP ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? 3 3 ? 3 ? ? n ? (1,0,1) ……………………………10 分 ?? ? m?n ? 2 3 cos ? ? ?? ? ? ?? 3 3 2 m n
∴二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ?

3 3

……………12 分

解法二:令 AC 与 BD 交于点 O ,过点 A 作 AH ? BD 于点 H ,连结 PH ,

∵ PA ? PC ,且 O 是 AC 的中点,∴ PO ? AC . ∵面 PAC ? 面 ABCD ,∴ PO ? 面 ABCD .

P

F D H O A E B

C

∴ PO ? AH ,∵ AH ? BD ,∴ AH ? 面 PBD . ∴∠ APH 为 PA 与面 PBD 所成的角. …………………7 分 ∴ sin ∠ APH ?

AH 6 2 2 ,∵ AH ? , ? PA 3 3

∴ PA ? PB ? PC ? PD ? 2 .……………8 分 取 PA 的中点 F ,连结 FD, FE .∵ PA ? AD ? PD ? 2 ,∴ PA ? FD 在 △PAB 中, PA ? PB ? 2 , AB ? 2 2 ,∴ PA ? PB ? AB ,即 PA ? PB
2 2 2

∵ E , F 分别是 AB, AP 的中点,∴ EF ∥ PB ,∴ PA ? FE . 所以∠ DFE 是二面角 D ? PA ? B 的平面角. ……………10 分 在 △DFE 中,∵ FD ? 3 , ED ? 6 , FE ? 1 .∴ cos ∠ DFE ? ?

3 3

∴二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ?

3 ……………12 分 3

19.解: (1)由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2 户,二阶的有 6 户, 三阶的有 2 户。 第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3 ………………1 分

P( X ? 0) ?

3 0 C4 ? C6 1 ? 3 C10 30 1 2 C4 ? C6 1 ? 3 C10 2

P( X ? 1) ?

2 1 C4 ? C6 3 ? 3 C10 10 0 3 C4 ? C6 1 ? 3 C10 6

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

1 30

3 10

1 2

1 6

………………………5 分 EX= 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 30 10 2 6 5

……………………………6 分

(2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得 Y~B (10, ) , 所以 P(Y ? k ) ? C10 ( ) ( )
k k

3 5

3 5

2 5

10?k

,其中 k ? 0,1, 2,L ,10 ………………8 分

k 3 k 2 10?k C10 ( ) ( ) P(Y ? k ) 3(11 ? k ) 5 5 设t ? ? ? 3 2 P(Y ? k ? 1) C k ?1 ( )k ?1 ( )11?k 2k 10 5 5

…………………10 分

若 t ? 1 ,则 k ? 6.6 , P(Y ? k ? 1) ? P(Y ? k ) ; 若 t ? 1 ,则 k ? 6.6 , P(Y ? k ? 1) ? P(Y ? k ) 。
6 3 6 2 4 C10 ( ) ( ) P(Y ? 6) 5 5 ? 7 ?1 所以当 k ? 6 或 7 , P(Y ? k ) 可能最大, ? P(Y ? 7) C 7 ( 3 )7 ( 2 )3 6 10 5 5 所以 n 的取值为 6。………………12 分

???? ? ???? ? c2 2 2 2 2 2 2 20.解析: (1) DF 1 ? DF 2 ? (?c ? x0 , ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? c ? y0 ? 2 x0 ? b ? c ,………2 分 a ???? ? ???? ? 2 2 因为 0 ? x0 ? a 2 ,所以当 x0 ? a 2 时, DF1 ? DF2 得最大值 b2 .………………………………3 分
所以 b ?
2

a2 3 ,故离心率 e ? ………………………………4 分 4 2 x2 ? y 2 ? 1, 4

(2)由题意知 b ? 1 ,可得椭圆方程为: 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), H ( x, y) 由?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ?1) ? 0 , 2 2 x ? 4 y ? 4 ?
?8kmx 4(m 2 ? 1) x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
……………………………6 分

x1 ? x2 ?

由 AB ? AC ? 0 得: x1 x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,……………………………8 分

??? ? ??? ?

3 ……………………………10 分 5 3 3 所以直线 BC 的方程为: y ? kx ? ,即直线 BC 恒过定点 D(0, ? ) 5 5 1 4 由 AH ⊥ DH 可知,点 H 的轨迹为以 AD 为直径的圆,圆心 (0, ) ,半径为 5 5
将韦达定理代入化简可得: m ? ?

1 2 16 ( y ? 1) ……………………………12 分 5 25 21. 解析: (Ⅰ)当 k ? 1 时, f ( x) ? (ex ?1)( x ?1) , f (1) ? 0 , f ? (1) ? e ?1
故动点 H 的轨迹方程为 x ? ( y ? ) ?
2

所以在 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? (e ? 1)( x ? 1) ………………………2 分 所证问题等价于 (ex ?1)( x ?1) ? (e ?1)( x ?1),( x ? 1) …………………………3 分 即 (ex ? e)( x ?1) ? 0,( x ? 1) 当 x ? 1 时, ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0 当 x ? 1 时 ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0 命题得证!…………………………5 分 (Ⅱ)当 k ? 2 时, f ( x) ? (e x ?1)( x ?1)2 , x ? (2, ??)

f ?( x) ? ex ( x ?1)2 ? 2(ex ?1)( x ?1) ? ( x ?1)[ex ( x ?1) ? 2] ……………………6 分 ? 因为 x ? (2, ??) ( x ?1) ? 0, e ( x ? 1) ? 2 ?, f ( x) ? 0
x

即函数在 x ? (2, ??) 单调递增………………………8 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ),且2 ? x1 ? x2 ? x3 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) .∵ BA ? ( x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 )), BC ? ( x3 ? x 2 , f ( x3 ) ? f ( x 2 )), ∴ BA ? BC ? ( x1 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( f ( x3 ) ? f ( x2 )) . · · · · · · · · · · · · 10 分 ∵ x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0, ∴ BA? BC ? 0,? cos B ? 0, ?B 为钝角. 故△ ABC 为钝角三角形.…………12 分 (注意:利用图象说明,需画图准确,说明充分,可给四分;只画图,不说明,给 2 分) 选做题 22. (I)证明:? 在 ? O 中,弦 AC、BF 相交于 E,

? FE ? EB ? AE ? EC ,
又 E 为 AC 的中点,所以 FE ? EB ? AE ,-------------------------2 分
2

又因为 OA ? AD , OE ? AE , 根据射影定理可得 AE ? DE ? EO ,-------------------------4 分
2

? DE ? EO ? FE ? EB ,

------------------------5 分
0

(II)因为 AB 为直径,所以 ?C =90 , 又因为 ?CBE ? 45 ,所以 ?BCE 为等腰直角三角形. ………………6 分
o

? AC ? 2 BC ,根据勾股定理得 AC 2 ? BC 2 ? 5BC 2 ? 80 ,解得 BC ? 4 ,-------------------------8 分
2 所以 AE ? 4,OE ? 2 ,由(I)得 AE ? DE ? EO 所以 DE ? 8 ,

所以 AD ?

AE2 ? DE2 ? 42 ? 82 ? 4 5 .

------------------------10 分

23 解: (I)由 ? cos2 ? ? 3 sin ? , 得 ? 2 cos2 ? ? 3? sin ? ,………………2 分

? 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? 3 y ,
(II)将 ? =

-----------------------------------4 分

?
3

代入 C2 : ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?
5? , 6
--------------------------6 分

得 P(1, 3) ,由题意可知切线 AB 的倾斜角为

? 3 x ? 1? t ? ? 2 设切线 AB 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
代入 x2 ? 3 y 得: (1 ?

3 2 1 t ) ? 3( 3 ? t ) , 2 2
--------------------------8 分



3 2 3 3 t ? t ?2 ?0, 4 2

设方程的两根为 t1 和 t 2 可得: t1 ? t2 ? 2 3 , 所以 | MP |?|

t1 ? t2 |? 3 --------------------------10 分 2

24 解: (I) f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b |?| ( x ? a) ? ( x ? b) |? a ? b ,--------------------------2 分 所以 f ( x ) 的最大值为 a ? b ,

? a ? b ? 3 ,--------------------------4 分
(II)当 x ? a 时, f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | =x ? a ? ( x ? b) ? ?a ? b ? ?3 , 对于 ?x ? a ,使得 g ( x) ? f ( x) 等价于 ?x ? a , gmax ( x) ? ?3 成立, --------------------------6 分

? g ( x) 的对称轴为 x ? ?

a ?a, 2

? g ( x) 在 x ?[a, ??) 为减函数,
? g ( x) 的最大值为 g (a) ? ?a2 ? a2 ? b ? ?2a2 ? a ? 3 ,--------------------------8 分 ??2a 2 ? a ? 3 ? ?3 ,即 2a2 ? a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ?
又因为 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 3 ,所以

1 , 2

1 ? a ? 3 .--------------------------10 分 2


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