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四川省成都市新都一中2015-2016学年高二数学4月月考试题 文


2015-2016 学年下学期高 2014 级 4 月阶段考 数学试题(文)
命题人 一、选择题( 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则

A.p 真 q 真

B.p 假 q 真

C.p 真 q 假

D.p 假 q 假



2. .从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8g 的概率为 0.3,质 量小于 4.85g 的概 率为 0.32,那么质量在[4.8,4.85]( g )范围内的概率是

A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

2 3.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是

A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

4.已知动点 P 到 F1(-5,0)的距离与它到 F2(5,0)的距离之差等于 6,则 P 的轨迹方程是

A.

x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 ? ? 1 (x ? 3) 9 16

B.

y2 x2 ? ?1 9 16 y2 x2 ? ? 1 (x≥3) 9 16

C.

D.

5.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是

A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”

B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球
6. m ? n>0 ,是方程

x2 y 2 ? ? 1 表示椭圆的( m n
B.必要不充分

)条件.

A.充分不必要

C.充要条件

D.既不充分也不必要

7.国庆节前夕,甲、乙两同学相约 10 月 1 日上午 8:00 到 8:30 之间在 7 路公交赤峰二中站 点乘车去红山公园游玩,先到者若等了 10 分钟还没有等到后到者,则需发短信联系.假设 两人的出发时间是独立的,在 8: 00 到 8:30 之间到达 7 路公交赤峰二中站点是等可能的, 则两人不需要发短信联系就能见面的概率是

1

A.

1 2

B.

3 4

C.

5 9

D.

5 6

8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的面积 介于 36cm 与 81cm 之间的概率是
2 2

A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3
2 2

D.

1 2

9.若直线 ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 最小值 为

1 1 ? 的 a b

A.
2

B.

C.

3 ? 2 2

D.

3 ?2 2 2

10.抛物线 y ? ?4 x 上有一点 P 到椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左顶点的距离的最小值为 16 15
D. 2 ? 3

A. 2 3

B.2+ 3

C. 3

11.某人有 5 把钥匙,其中 2 把能打开门.现随机取钥匙试着开门,不能开门就扔掉.则恰 好在第 3 次才能 开门的概率为

A.

1 10
2

B.
2

1 5

C.

3 10

D.

2 5

12.椭 圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,过 AB 中点 M 与坐标原点的

直线的斜率为

m 2 ,则 的值为 n 2
B.

A.

2 2

2 3 3

C.1

D.2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 利用计算机产生 0~2 之间的均匀随机数 x, 则事件“3x﹣2≥0”发生的概率为 ▲▲▲ . 14.以坐标原点为顶点,圆 x ? y ? 4 x 的圆心为焦点的抛物线方程是 ▲▲▲ .
2 2

15.命题“ ?x ? R, x ? ?1或x ? 2 ”的否定是 ▲▲▲ .

16.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,双曲线 C 与过原点的直线 a 2 b2

2

相交于 A 、 B 两点,连接 AF , BF .若 | AF |? 6 , | BF |? 8 , cos ?BAF ? 双曲线的离心率为 ▲▲▲ .

3 ,则该 5

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,要求写出详细解答过程) 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p : 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 , 命题 q : ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0 , 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b .
2

(1)若 a , b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中 任取的一个数,求方程 f ? x ? ? 0 有根的概率. (2)若 a , b 都是从区间 ? 0, 4? 任取的一个数,求 f ?1? ? 0 成立时的概率.

19. (本小题满分 12 分)若点 P 到定点 F(4,0)的距离比它到直线 x + 5=0 的距离小 1, (1)求点 P 的轨迹方程; (2)已知点 A(2,4) ,为使 PA ? PF 取得最小值,求点 P 的坐标及 PA ? PF 的最小值。

20.(本小题满分 12 分)已知集合 M={x|x<-3,或 x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.
3

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 经过点(0, 2 ) ,离心率 a 2 b2



6 ,点 O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)过左焦点 F 任作一直线 L,交椭圆 E 于 P、Q 两点. (i)求 OP ? OQ 的取值范 围; (ii)若直线 L 不垂直于坐标轴,记弦 PQ 的中点为 M,过 F 作 PQ 的垂线 FN 交直线 OM 于点 N,证明:点 N 在一条定直线上. N y M Q F O x l P

??? ? ??? ?

22.(本小题满分 10 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 6. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若抛物线 C 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点横坐标为 2,求

k 的值.

4

5

参考答案(文) 一.BCDCC BCBCA BA 二.13.

2 3

14. y =8x

2

15. [0,4)

16.

5

17.解: Q p 是 q 的充分不必要条件 说明 p 对 应的集合是 q 对应集合的真子集????????????????2 分 而 p : 对应集合是集合 A ? ? x 1 ? x ? 而 q : x 2 ? (4a ? 1) x ? 4a 2 ? 2a ? 0 因式分解得到: ?x ? (2a ? 1)?? ?x ? 2a ? ? 0 即有: 2a ? x ? 2a ? 1

? ?

3? ? ;???????????????4 分 2?

也就是命题 q 对应的集合为: B ? x 2a ? x ? 2a ? 1 ??????????8 分

?

?

? ? 2a ? 13 要满足题意,则须: ? 2a ? ? ? 2 ?

?

1 1 ?a? ?????????.12 分 4 2

18. (1) a , b 都从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 5 ? 5 ? 25 . 方程 f ? x ? ? 0 有根的条件为 ? ? a 2 ? 4b ? 0, 即a 2 ? 4b
2 因为事件“ a ? 4b ”包含

(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),

(3, 2),(4,0),(4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4) ,共 12 个,
2 所以事件“ a ? 4b ”的概率为

12 ;??????????????????..6 分 25

(2) a , b 都是从区间 ?0,4? 任取的一个数,则 ?

?0 ? a ? 4 ?0 ? b ? 4

f (1) ? ?1 ? a ? b ? 0,? a ? b ? 1

1 创 3 3 9 所以事件“ f (1) ? 0 ”的概率为 2 = 4? 4 32 ??????????????..12 分

2 2 19 解:(1)设 P(x,y),则点 P 到定点 F(4,0)的距离是 ( x ? 4) ? y ,它到直线 x+5= 0

6

1

y

P

的距离是 x ? 5 迹方程是 y 2 ? 16x

所以

( x ? 4) 2 ? y 2 = x ? 5 -1

化简得,y 2 ? 16x

因此点 P 的轨

???????????????.5 分

(2)由(1)得,抛物线的准线方程是 x=-4。 设 P 到准线的距离为 d,由抛物线的定义知,

PA ? PF = PA ? d

从 A 点向准线作垂线交抛物线于 P,

那么它使 PA ? PF 最小,最小值是 A 点到准线的距离 6 因此 P 点的纵坐标是 4,代入抛物线方程得它的横坐标是 1 所以点 P 的坐标(1,4) , PA ? PF 的最小值是 6 ???????12 分

20. (1)由 M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此在数轴上得 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是 -3≤a≤5;?????????????6 分 (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件, 就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8}; 反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有 a=0, 故 a=0 是 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.??.12 分 (只要在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值即可)

21.解: (Ⅰ)由题意可得 b=

,e= =



又 a ﹣b =c , 解得 a=

2

2

2

,c=2, 即有椭圆方程为

+

=1;????2 分

(Ⅱ) (i)F(﹣2,0) ,当直线的斜率不存在时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 直线方程为 x=﹣2,可得 P(﹣2, ? =4﹣ = ) ,Q(﹣2,﹣ ) ,

;????????????????????????3 分

当直线的斜率存在,设 l:y=k(x+2) ,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 2 2 2 2 2 2 代入椭圆 方程 x +3y =6,可得(1+3k )x +12k x+12k ﹣6=0,

x1+x2=﹣

,x1x2=

,???????????????.5 分

?

=x1x2+y1y2=x1x2+k (x1+2) (x2+2)
2 2 2 2

2

=(1+k )x1x2+2k (x1+x2)+4k =(1+k )?

+2k ?(﹣

2

)+4k

2

7

= ﹣6≤ ?

= < ?

﹣ ,

,由 k ≥0,3k +1≥1,可得

2

2

综上可得,

的取值范围是[﹣6,

];???????????7 分

(ii)由直线 l 的斜率一定存在,且不为 0, 可设 PQ:y=k(x+2) ,FN:y=﹣ (x+2) ,设 M(x0,y0) ,

则 x0=

,由 x1+x2=﹣

,可得 x0=



y0=k(x0+2)=

,???????????????????9 分

直线 OM 的斜率为 kOM=

=﹣

, 直线 OM:y=﹣

x,



可得



即有 k 取任何值,N 的横坐标均为﹣3, 则点 N 在一条定直线 x=﹣3 上.???????????????..12 分
2 22. (1)由已知设抛物线 C 的方程为 y ? 2 px ,则其准线方程为 x ? ?

p 2

由抛物线的定义得:P(4,m)到准线的距离为 6,即 4 ?
2

p ? 6 解得:p=4 2

所以抛物线 C 的方程为: y ? 8x ??????????????4 分 (2)设 A?x1 , y1 ?B( x2 , y 2 ) 由?

? y ? kx ? 2 4k ? 8 得k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? 2 k2 ? y ? 8x

? ? (4k ? 8)2 ?16k 2 ? 64k ? 64 ? 0? k ? ?1
?

Q

AB













2

x1 ? x2 2k ? 4 ? ? 2,即k 2 ? k ? 2 ? 0, 解得k ? 2或k ? ?1 (舍去) 2 2 k
(用点差法也可) ??????????.10 分

所以 k ? 2

8


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