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浅谈分类讨论思想在初中数学教学中的渗透

时间:2014-06-16


浅谈“分类讨论”思想在初中数学教学中的渗透
桑植县竹叶坪乡学校 徐自力 13337241380

近年来, “分类讨论”的问题受到了各地中考数学试题命题者的 青睐,因为“分类讨论”的问题不仅可以考查学生的数学基础知识与 方法, 而且可以考查学生思维的深刻性与严谨性。 在解决此类问题时, 因考虑不周全导致失分的较多, 究其原因主要是平时的学习中, 对 “分 类讨论”的数学思想渗透不够。为弥补这一缺陷,教师在平时的数学 教学中应注意潜心挖掘,只要遇到具有开放性的问题,就应引导学生 “分类讨论” ,在日常训练中养成习惯,形成思想,最终达到熟练运 用的程度。结合本人实践,现就如何在初中数学教学中渗透“分类讨 论”思想浅谈如下。 一、引导学生明确“分类讨论”的含义。 所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象 不能进行统一研究时, 就需要根据数学对象本质属性的相同点和不同 点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各 类结果得到整个问题的解决, 这一思想方法, 我们称之为 “分类讨论” 的思想。学生明确了“分类讨论”的意义,遇到类似问题就会朝这一 方向去考虑,增强运用“分类讨论”思想解题的自觉性。 二、引导学生明确“分类讨论”的优越性。 分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整” ,一方面可将复 杂的问题分解成若干个简单的问题, 另一方面恰当的分类可避免丢值

漏解,从而提高全面考虑问题的能力,提高周密严谨的数学素养。学 生认识到运用“分类讨论”思想解题可起到化繁为简的作用后,便消 除了畏惧心理,自然会增强运用这种思想解题的意识。 三、引导学生明确“分类讨论”的原则。 分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段的数学解题中,应注意 以下三大原则: 1、同一性。分类应按同一标准进行,即每次分类不能同时使用 几个不同的分类依据。 2、互斥性。分类后的每个类别应当互不相容,即做到各个类别 相互排斥,分类后不能有一些项目既属于这个类别,又属于另一个类 别,要做到不重复。 3、 相称性。 分类应当相称, 即分类后各类别外延的总和 (并集) , 应当与母项的外延相等,要做到不遗漏。 学生清楚了以上分类的原则,在具体运用时就会有章可循,提高 分类的正确性。 四、引导学生明确“分类讨论”的一般步骤。 用分类讨论思想解决问题的一般步骤是: 1、 明确问题讨论的对象; 2、 正确选择分类的标准,对所讨论的对象进行合理分类; 3、 分类讨论,逐步解决; 4、 归纳整合,得出结论。 掌握了用“分类讨论”思想解题的一般步骤,学生在运用时就有

了明确的指向性,不会有无从下手的感觉。 五、引导学生在解题中养成“分类讨论”的习惯。 初中阶段的数学解题,以下情况一般需“分类讨论” 。 1、问题中的变量或含有需讨论的参数的。 如:若 x2 ? kxy ? 25y 2 是一个完全平方式,求 k 的值。 分析:因为完全平方式有两种情况,即和的平方和差的平方,所 以这里将首尾两项转化为完全平方的形式后, 中间一项可以加上或减 去两个底数乘积的 2 倍,故 k 的值应为±10。 2、问题中的条件是分类给出的。 如:某市为了鼓励居民节约用水,制定了如下收费标准:家庭月 用水量最高标准为 12 立方米,超标部分加价收费。已知在标准水量 内水费为 2.4 元/立方米,超标部分水费为 3 元/立方米。小兰家今年 十月分用水量为 x 立方米,试写出他家应缴纳的水费。 分析:解答本题的关键是看用水量是否超标,因为 12 立方米为 最高标准,即不超过 12 立方米,所以将用水量 x 与 12 作比较应分为 两种情况。当 x ≤12 时,缴纳水费为 2.4 x ;当 x >12 时,缴纳水费为
2.4 ?12 ? 3( x ? 12) ? 3x ? 7.2

3、解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的。 如:甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长 400 米,乙每秒钟跑 6 米,甲的速度是乙的 倍。现在甲、乙两人在 跑道上相距 8 米处同时出发,问经过多少秒钟后,两人首次相遇? 分析:本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑
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步,也不知同向跑步时谁在前谁在后,或反向跑步时两人之间的距离 是面对面的距离还是对背的距离, 所以解题时应分类讨论, 逐一求解: 设经过 x 秒甲、乙两人首次相遇 ①若两人同向跑步, 且甲在乙的前面 8 米, 则 ×6 x -6 x =400-8, 解得 x =196; ②若两人同向跑步,且乙在甲前面 8 米,则 ×6 x -6 x =8,解得
x =4;
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③若两人反向跑步, 面对面相距 8 米, 则 ×6 x +6 x =8, 解得 x = ; ④若两人反向跑步,且背对背相距 8 米,则 ×6 x +6 x =400-8, 解得 x =28。 4、涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置的变化需要分 类讨论的. 如:已知线段 AB=8 ㎝,在直线 AB 上截取线段 BC=2 ㎝,求线段 AC 的长。 分析:因为是在直线 AB 上截取线段 BC,所以点 C 既可以在点 B 的右边,也可以在点 B 的左边。当点 C 在点 B 右边时(如下图 1) , AC=AB+BC=8+2=10 ㎝ ; 当 点 C 在 点 B 左 边 时 ( 如 下 图 2 ) , AC=AB-BC=8-2=6 ㎝,故线段 AC 的长是 10 ㎝或 6 ㎝。
A · 图1 B · C · A · 图2 C · B ·

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一种思想的形成依赖于潜移默化的训练,只要我们抓住契机,凡 含有分类讨论因素的问题都引导学生以这种思路去解决,长此以往, 学生定会提高应用“分类讨论”思想解题的能力。


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