nbhkdz.com冰点文库

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学理试题 2


广东省深圳高级中学 2012-2013 学年高二第二学期期中考试 数学理试题
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的) 1.以下有关线性回归分析的说法不正确 的是 ... ( )

A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 ( x, y ) B.用最小

二乘法求回归直线方程,是寻求使

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值

C.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,但因变量也能由自变量唯一确定 D.如果回归系数是负的,y 的值随 x 的增大而减小 2.为了了解某地区高三学生的身体素质情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18 岁的 男生体重( kg ) ,得到频率分布直方图如下

根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( A. 20 B.30 C. 40 D.50



3.设服从二项分布 B(n, p) 的随机变量 ? 的期望与方差分别是 15 和 是( ) .

45 ,则 n 、 p 的值分别 4

A. 50,

1 4

B. 60,

1 4

C. 50,

3 4

D. 60,

3 4

B 是 B 的对立事件。 B 4.设 A 是 A 的对立事件, 若和事件 A+B 发生的概率为 0. 4, 则积事件 A ·
发生的概率为( A.0.24 ) B.0.36 C.0.4 D.0.6

?

-1

0

1

5. 已知离散型随机变量 ? 的分布列如右图,设 ? ? 2? ? 3 ,则 ( )

P

1 2

1 3

1 6

1 3 14 , D(? ) ? C、 E (? ) ? 27
2n

A、 E (? ) ? ? , D (? ) ?

20 9 20 9

10 9 25 47 , D(? ) ? D、 E (? ) ? 27 9
B、 E (? ) ? ? , D (? ) ? )

1 3

? 1? 6.?x?展开式的第 6 项系数最大,则其常数项为( ? ? 3 x?

A. 120 B. 252 C. 210 D. 45 7.要从 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名学生组成课外活动小组,则符合按性别比例分层抽 样的概率为( ) A.
3 3 C10 C5 6 C15

B.

6 C15 6 A15

C.

4 C10 C52 6 C15

D.

4 A10 A52 6 C15

8.设 a 、b 、m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余, 1 2 3 20 记为 a ? b( mod m ) 。 已知 a ? 1 ? C20 则b ? C20 ? 2 ? C20 ? 2 2 ? ? ? ? ? C20 ? 219 , b ? a(mod10) , 的值可以是( (A)2015 ) (D) 2006 (B)2011 (C)2008 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个.命中个数的茎叶图如右.则罚球 命中率较高的是 10. 右图给出的是计算 ;

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个 2 4 6 20

开始

程序框图,其中判断框内应填入的条件是__ ________; 11. 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是

S ? 0, n ? 2

是 ; 否 12. 某同学在高考报志愿时,报了 4所符合自己分数和意向的高 1 输出 S S?S? 1 n 校,若每一所学校录取的概率为 ,则这位同学被其中一所学校 2 n ? n?2 录取的概率为 ; 结束 13.一个总体依有 100 个个体,随机编号 0,1,2,…,99,依从 小到大的编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…, 题 10 图 10,现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m, 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同, 若 m=8,则在第 8 组中抽取的号码是_____ ____; 14. 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是 。

2 ,则

xy ?

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (12 分) 已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的二项式系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, 求 (2 x ? )

1 x

2n

的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项。

16. (14 分)在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量) 共有 100 个数据,将数据分组如右表: (1)列出频率分布表,并画出频率分布直方图;

1.50) 中的概率及纤度小于 1.40 的概率是 (2)估计纤度落在 [1.38,
多少? (3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数. 分组 频数

[1.30, 1.34) [1.34, 1.38) [1.38, 1.42) [1.42, 1.46) [1.46, 1.50) [1.50, 1.54)

4

25 30 29 10
2

17. (12 分)已知函数 y ? x3 ? 3 px2 ? 3 px ? 1 .

合计

100

(1)试问该函数能否在 x ? ?1 处取到极值?若有可能,求实数 p 的值;否则说明理由; (2)若该函数在区间 (?1, ??) 上为增函数,求实数 p 的取值范围.

18. (14 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD, 且 AC ? BD,

的中点.

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分别是 AB、AP P
(1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

F D O A E
第 18 题图

C

B

19. (14 分)袋子 A、B 中均装有若干个大小相同的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概 率是

1 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p. 3

(1) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止。 ①求恰好摸 5 次停止的概率; ②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望。 (2)若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红 球的概率是

2 ,求 p 的值。 5

20. (14 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,其长轴、焦距和短轴的长的平方 a 2 b2

依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、P , 与椭圆分别交于点 M 、N , 各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ (1)求椭圆的标准方程; (2)若 ?1 ? ?2 ? ?3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

高级中学 2012—2013 学年第二学期期中测试

高二理科数学答案
一、选择题答案: (每题 5 分,共 40 分)
CCBD ACCB

二、填空题答案: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 15 1 9. 甲; 10. n≥22,或 n>20 ; 11. 96 12. ; 13.76; 14. 2 16 【变式练习 2】 一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,…,99,依从小到 大的编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…,10.现从中抽取一个 容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽 取的号码的个位数字与 m+k 的个位数字相同(k=2,…,10).若 m=8,求抽取 的 10 个个体的号码. 【解析】第 1 组为 8; 第 2 组:8+2=10,个位数字为 0, 而第 2 组在 10~19 中取,故取 10 号; 第 3 组:8+3=11,个位数字为 1,而 第 3 组在 20~29 中取, 故取 21 号. 类似地, 依次取 32,43,54,65,76,87,98. 故 抽取的 10 个个体的号码依次为 8,10,21,32,43,54,65,76,87,98.三、解答题答 案: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (12 分)解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 。 ① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

(2)

1 x

1 x

(7)

②设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ?C10 ? 2C10 ∴? r ,得 ? r ,即 ? r ?1 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 ? ? ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?2C10 ? C10 ?C10 ? 2

1 x



8 11 ? r ? ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项. 3 3
分组

(12)

16. (14 分) (Ⅰ) 频数 4 25 30 29 10 频率 0.04 0.25 0.30 0.29 0.10 频率/组距

1.34? ?1.30,

1.38? ?1.34, , ? ?1.381.42 1.46? ?1.42, 1.50? ?1.46,

1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54

样本数据

1.54? ?1.50,
合计 (2)纤度落在 ?1.381.50 , ? 中的概率约为 0.30 ? 0.29 ? 0.10 ? 0.69 , 纤度小于 1.40 的概率约为 0.04 ? 0.25 ? (Ⅲ)总体数据的众数:1.40 平均数:

2 100

0.02 1.00

1 ? 0.30 ? 0.44 . 2

中位数:1.408

1.32 ? 0.04 ? 1.36 ? 0.25 ? 1.40 ? 0.30 ? 1.44 ? 0.29 ? 1.48 ? 0.10 ? 1.52 ? 0.02 ? 1.4088 .
17.(12 分)解: (1) y ? x3 ? 3 px2 ? 3 px ? 1 , y? ? 3x2 ? 6 px ? 3 p , 若该函数能在 x ? ?1 处取到极值,则 y? |x ??1 ? 3 ? 6 p ? 3 p ? 0 , 即 p ? 1 ,此时, y? ? 3x2 ? 6x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 ,函数为单调函数,这与 该函数能在 x ? ?1 处取到极值矛盾,则该函数不能在 x ? ?1 处取到极值. (2)若该函数在区间 (?1, ??) 上为增函数, 则在区间 (?1, ??) 上, y? ? 3x2 ? 6 px ? 3 p ? 0 恒成立, ? p ? ?1 ? ① ? ? p ?1; ? f ?(?1) ? 3 ? 6 p ? 3 p ? 0 (6)

? p ? ?1 ? ? 0 ? p ?1 , ? 2 ? f ?(? p) ? 3 p ? 3 p ? 0 综上可知, 0 ? p ? 1 .


(12)

18. (14 分)证明: (1) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

P

EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB,
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC,

F D O C

AC ? BD, ? AC ? 面POB, PB ? 面POB ? AC ? PB
A
(6)

? A C? E . F

E

B

(2)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC, OP} 由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1

A? 0, ?2,0? , B ? 2,0,0? , C ? 0,1,0? , D ? ?1,0,0? , P(0,0,2)
OE ? (1, ?1,0), OF ? (0, ?1,1),

z
P

F D C

y

设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z)

? ?m ? OE ? 0 可得 m ? (1,1,1) ?? m ? OF ? 0 ? ?
平面 OAE 的法向量为 n ? (0,0,1) 设二面角 F ? OE ? A 为 ? ,

cos ? ?

m?n 3 ? | m || n | 3

(14)
2

19. (14 分)解: (1)①恰好摸 5 次停止的概率为 C 4 ? ( ) ? ( ) ?
2 2

1 3

2 3

1 8 ? . 3 81

(2)

②随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3.

1 32 1 1 80 0 1 P(? ? 0) ? C5 ? (1 ? ) 5 ? P(? ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 ? ; ; 3 243 3 3 243 1 1 80 32 ? 80 ? 2 17 P(? ? 2) ? C52 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 3 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? . ; 3 3 243 243 81
所以,随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

32 80 80 17 243 243 243 81 32 80 80 17 131 E? ? ?0? ?1 ? ?2 ? ?3 ? . 243 243 243 81 81 131 . 故随机变量 ? 的数学期望为 81

(10)

1 m ? 2m p 2 3 (2)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球,由题意得 ? , 3m 5 13 . 解得 p ? (14) 30 x2 y2 20. (14 分)解:(1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c, a b
2 2 2 2 2 2 (2a) ? (2b) ?( 2 2c) 由题意知 b=1,且 ,又 a ? b ? c
2 得 a ? 3.

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(5)

(2) 由题意设 P(0, m), Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,设 l 方程为 x ? t ( y ? m) , 由 PM ? ?1 MQ 知 ( x1 , y1 ? m) ? ?1 ( x0 ? x1 ,? y1 ) ∴

y1 ? m ? ? y1?1









?1 ? 0





?1 ?

m ?1 y1

-----------------7 分 同理由 PN ? ?2 NQ 知 ?2 ?

m ?1 y2
( * )

∵ ------8 分

?1 ? ?2 ? ?3 , ∴ y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 0

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 联立 ? 得 (t 2 ? 3) y 2 ? 2mt2 y ? t 2 m 2 ? 3 ? 0 ? x ? t ( y ? m)
∴需 ? ? 4m 2 t 4 ? 4(t 2 ? 3)(t 2 m 2 ? 3) ? 0 (**)

2 m t2 t 2m2 ? 3 , y1 y 2 ? 2 且有 y1 ? y 2 ? 2 t ?3 t ?3

(***)

2 2 2 (***)代入(*)得 t m ? 3 ? m ? 2mt ? 0 ,∴ (mt) 2 ? 1,

由题意 mt ? 0 ,∴ mt ? ?1 (满足(**)), 得 l 方程为 x ? ty ? 1 ,过定点(1,0),即 P 为定点. (14)

1、相关系数:



当 r>0 时,表明两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关;|r|≤1, 且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小。 2、残差:

相关指数 R2 用来刻画回归的效果,其计算公式是



在含有一个解释变量的线性模型中,R2 恰好等于相关系数 r 的平方。显然,R2 取值越大,意味着残差平方和越小,也就是模型的拟合效果越好。


广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学理试题 2

广东省深圳高级中学 2012-2013 学年高二第二学期期中考试 数学理试题一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中...

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学理试题

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。这是深圳市高级中学今年这学期的期中考试试卷,现在传上去,希望对大家有用...

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二下学期期中数学理试题

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二下学期期中数学理试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高级中学 2012—2013 学年第二学期期中测试高二理科数学 一、选择题:...

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学文试题

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。广东省深圳高级中学 2012-2013 学年高二第二学期期中考试 数学...

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二下学期期中数学文试题

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二下学期期中数学试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高级中学 2012-2013 学年第二学期期中测试高二数学(文科) 第Ⅰ卷(本...

广东省深圳高级中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题

广东省深圳高级中学2011-2012学年高二学期期中考试数学(理)试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高级中学 2011—2012 学年第二学期期中考试 高二理科数学 参考...

广东省深圳高级中学2011-2012学年高二下学期期中试题数学理

广东省深圳高级中学2011-2012学年高二下学期期中试题数学理_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。高级中学 2011—2012 学年第二学期期中考试 高二理科数学参考公式...

广东省深圳高级中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学文试题

广东省深圳高级中学 2012-2013 学年高二第二学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷(...13.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c , 则方程 x 2 ? bx...

广东省深圳市第二高级中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学文试题

广东省深圳市第二高级中学2012-2013学年高二学期期中考试数学试题_高二数学_...n(n ? 2) ,则下面哪个数是这个数列+申请认证 文档贡献者 刘关云 教师 ...