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学高中数学第二章解析几何初步章末测评北师大版必修-课件


第二章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.过两点 A(-2,m),B(m,4)的直线倾斜角是 45°,则 m 的值是( A.-1 C.1 答案:C 2.点 A 到点 B 的距离为( A. C. 解析:|AB|=. 答案:D 3.已知点

A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一直线上,则 y 的值为( A.-1 答案:C 4.若(-1,0)是(k,0),(b,0)的中点,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) 2). 答案:A 5.若直线(a+2)x+(1-a)y=a (a>0)与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则 a 的值是( A.1 C.±1 答案:A 6.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11
2 2 2 2 2 2 2

)

B.3 D.-3

解析:由 kAB==tan 45°=1,得 m=1. )

B.3 D.

)

B.

C.1

D.

解析:由 A,B,C 三点共线,得 kAB=kAC,即,解得 y=1,故选 C. )

B.(1,2) D.(-1,-2)

解析:由题意知,k+b=-2,则 b=-2-k,代入直线方程得 y=kx-2-k,即 y+2=k(x-1),故直线经过定点(1,-

)

B.-1 D.-2

解析:因为两直线垂直,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得 a=±1,又 a>0,所以 a=1,故选 A. )

解析:易知圆 C1 的圆心坐标为(0,0),半径 r1=1.将圆 C2 化为标准方程(x-3) +(y-4) =25-m(m<25),得 圆 C2 的圆心坐标为(3,4),半径 r2=(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+=5,解方程得 m=9.故选 C. 答案:C 7. 导学号 62180163 已知点 P(2,-1)是圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,则弦 AB 所在直线的方程是 ( )
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1

A.x-y-3=0 B.x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0 解析:由圆心 O(1,0),P(2,-1),得 kPO=-1, 由圆的性质可知 AB 与 OP 垂直,所以 AB 的斜率为 1,所以 AB 的方程为 x-y-3=0,故选 A. 答案:A 8.已知 P 是圆 O:x +y =1 上的动点,则点 P 到直线 l:x+y-2=0 的距离的最小值为( A.1 C.2 2-1=1. 答案:A 9.过点 P(-2,4)作圆 O:(x-2) +(y-1) =25 的切线 l,直线 m:ax-3y=0 与直线 l 平行,则直线 l 与 m 的 距离为( A.4 则 kOP==-. 所以切线 l 的斜率 k=. 即直线 l 的方程为 y-4=(x+2), 整理得 4x-3y+20=0. 又直线 m 与 l 平行, 所以直线 m 的方程为 4x-3y=0. 故两平行直线的距离为 d==4. 答案:A 10.已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.-2 C.-6 B.-4 D.-8
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)

B. D.2

解析:圆心 O(0,0)到直线 x+y-2=0 的距离 d==2,又圆的半径 r=1,所以点 P 到直线距离的最小值为

) B.2 C. D.

解析:因为点 P(-2,4)在圆上,圆心 O 为(2,1),

)

解析:圆的方程可化为(x+1) +(y-1) =2-a,因此圆心为(-1,1),半径 r=. 圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d=,又弦长为 4,因此,由勾股定理可得() +=() ,解得 a=-4.故选 B. 答案:B 11.已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°, 则 m 的最大值为( A.7 B.6 ) C.5 D.4
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解析:因为 A(-m,0),B(m,0)(m>0), 所以使∠APB=90°的点 P 在以线段 AB 为直径的圆上, 该圆的圆心为 O(0,0),半径为 m. 而圆 C 的圆心为 C(3,4),半径为 1.

2

由题意知点 P 在圆 C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故 m-1≤|CO|≤m+1, 即 m-1≤5≤m+1,解得 4≤m≤6. 所以 m 的最大值为 6.故选 B. 答案:B 12. 导学号 62180164 过点 P(-,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( A. C. ) B. D.
2 2

解析:如图所示,直线 l1,l2 过点 P 分别与圆 O 相切于点 A、点 B.连接 OP,OA,在 Rt△OAP 中,|OP|=2,|OA|=1,所以∠OPA=,同理∠OPB=.所以∠APB=.

所以直线 l1 的倾斜角为,显然直线 l2 的倾斜角为 0,所以直线 l 的倾斜角的取值范围是. 故直线 l 的倾斜角范围为. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在平面 xOz 上的射影为点 M',则 M'关于原点对称的点的坐 标是 答案:(2,0,3) 14.若点 A(a,6)到直线 3x-4y=2 的距离等于 4,则 a= 解析:由点到直线的距离公式,得=4,解得 a=2 或 a=. 答案:2 或 15.过点 P(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是 解析:当过点 P 且与 OP(O 为坐标原点)垂直时,直线与原点距离最大, 由题意知,kOP=2,则直线 l 的斜率为-. 此时,直线方程为 y-2=-(x-1), 即 x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=0 16.已知方程 x +y +2mx-2my-2=0 表示的曲线恒过第三象限的一个定点 A,若点 A 又在直线
2 2

.

解析:点 M 在平面 xOz 上的射影为(-2,0,-3),其关于原点对称点的坐标为(2,0,3).

.

.

l:mx+ny+1=0 上,则 m+n=
2 2 2 2

.

解析:由方程 x +y -2+2m(x-y)=0 知, 该曲线系恒经过圆 x +y -2=0 与直线 x-y=0 的交点,

3

由得所过定点为(-1,-1),(1,1),

∵点 A 为第三象限的点, ∴A 点的坐标为(-1,-1),将其代入直线 l 的方程得(-1)?m+(-1)?n+1=0,即 m+n=1.
答案:1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 l1:ax-by-1=0(a,b 不同时为 0),l2:(a+2)x+y+a=0. (1)若 b=0,且 l1⊥l2,求实数 a 的值; (2)当 b=2,且 l1∥l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离. 解:(1)∵b=0,∴直线 l1:x=(a≠0). 又 l1⊥l2,∴a+2=0,即 a=-2. (2)∵b=2,∴直线 l1 的斜率为. 又 l1∥l2,∴=-(a+2),解得 a=-.

∴直线 l1:4x+6y+3=0,直线 l2:4x+6y-8=0.
故直线 l1 与 l2 之间的距离 d=. 18.(本小题满分 12 分)已知集合 A={(x,y)|y=kx,x∈R},B={(x,y)|y=,x∈R},若 A∩B≠? ,求 k 的 取值范围. 解:集合 A 表示一条斜率为 k 的直线 l. 将 y=两边同时平方,再变形得(x-2) +y =1(y≥0), 它表示 x 轴上方的半个圆,圆心坐标为(2,0),半径为 1.
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如图所示,要使 A∩B≠? ,则直线 l 与 x 轴上方的半个圆有公共点. 圆心到直线 l 的距离为 d=, 当 d=1,即=1 时,解得 k=±, 直线 l 与圆(x-2) +y =1 相切. 由图形可知当 k∈时,直线与 x 轴上方的半个圆有公共点,这时 A∩B≠? . 所以 k 的取值范围是. 19.(本小题满分 12 分)圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程,并求内公切线的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 相交于 A,B 两点,且|AB|=2,求圆 O2 的方程. 解:(1)因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2, 即 r2=|O1O2|-r1=2(-1), 所以圆 O2 的方程是(x-2) +(y-1) =4(-1) . 将圆 O1 与圆 O2 的方程相减,得两圆内公切线方程是 x+y+1-2=0. (2)设圆 O2 的方程为(x-2) +(y-1) =,又圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4, 将此两圆方程相减,得两圆公共弦 AB 所在直线的方程为 4x+4y+-8=0.
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4

作 O1H⊥AB 于 H,则|AH|=|AB|=. 所以 O1H=. 所以圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为,得=4 或=20, 所以圆 O2 的方程为(x-2) +(y-1) =4 或(x-2) +(y-1) =20. 20.(本小题满分 12 分)自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与 圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在的直线方程. 解:设反射光线为 l', 由于 l 和 l'关于 x 轴对称,l 过点 A(-3,3), 点 A 关于 x 轴的对称点为 A'(-3,-3), 因此反射光线所在直线过 A'(-3,-3). 设反射光线所在直线的斜率为 k, 则反射光线所在直线的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)], 即 kx-y+3k-3=0, 圆方程可化为(x-2) +(y-2) =1, 圆心 M 的坐标为(2,2),半径 r=1. 因为反射光线所在直线和已知圆相切, 所以 M 到反射光线所在直线的距离等于半径,即=1, 整理得 12k -25k+12=0. 解得 k=或 k=. 所以反射光线所在直线的方程为 y+3=(x+3)或 y+3=(x+3), 即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0, 因为 l 与 l'关于 x 轴对称, 所以光线 l 所在直线的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. 21.(本小题满分 12 分)设圆心在直线 2x+y=0 上的圆 C,经过点 A(2,-1),并且与直线 x+y-1=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)圆 C 被直线 l:y=k(x-2)分割成弧长的比值为的两段弧,求直线 l 的方程. 解:(1)设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0). 由题意知 解得 a=1,b=-2,r=, 故圆 C 的方程为(x-1) +(y+2) =2. (2)设直线 l 与圆 C 交于 B,D 两点.
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∵圆 C 被直线 l 分成弧长的比值为的两段, ∴∠BCD=120°,∴∠CBD=30°. ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 r=.
又直线 l 的方程为 kx-y-2k=0,圆心 C 的坐标为(1,-2), 由点到直线的距离公式,得, 解得 k=1 或 k=7,故所求直线方程为 y=x-2 或 y=7x-14.

5

22.(本小题满分 12 分)如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点.

(1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 时,求直线 l 的方程. 解:(1)设圆 A 的半径为 R, 由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切,

∴R==2. ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意;

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0.
如图所示,连接 AQ,则 AQ⊥MN.

∵|MN|=2, ∴|AQ|==1.
则由|AQ|==1,得 k=,

∴直线 l 为 3x-4y+6=0.
故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0.

6


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