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2008年全国高中数学联赛(A卷)一试试题解答集锦


垒国 裔曦 蝴

  卷  谶 

陕 西 省 数 学 竞 赛 委 员 会  刘康 宁  

陕 西师 范大 学数 学 与信息 科 学学 院  李 三平 
今 年 的全 国高 中数学 联赛 由 中国数 学会 主办 、 重  庆 市数学 竞 赛委 员会 协办 , 试卷 仍 分 为一 试 和加 试 两  部 分.

往年 不 同 的是 , 虑 到 各 省 市 教 育 发 展 的 不  与 考 均 衡 , 题分 为 A 卷 和 B 卷两 种类 型 . 面给 出 A 卷  试 下 试试题 的解 答 ( 文 称 之 为基 本 解 法 或 改 进 解 法 ) 本  


项 C, 故应 选 D.  

3 甲 乙两人进 行 乒 乓球 比赛 , . 约定 每 局 胜 者 得 1   分, 负者得 0分 , 比赛 进 行 到 有 一人 比对 方 多 2分 或  打满 6局 时停 止 . 甲在 每局 中 获胜 的 概 率 为  , 设 乙 

和 一些巧 思 妙解 , 仅供 参考 .   选择题 ( 题 满分 3 本 6分 , 小题 6分 ) 每  


在每局 中获胜 的概率为÷ , 且各局胜 负相互独立 , 则 
比赛停 止 时 已打局 数  的期 望 E  为 (   A. 4  2 百1 B




) .  


1 函数 , z 一  . () 值是 (  
A.   0

厶 

在 ( 。 2 上 的 最 小  一 。, )

2   66

c 2 4 7 
. 

D 6 0 7

) .  
B.1   C.   2 D.3  



2 3 4 

基 本 解 法 :. < 2 .2 3 0 。z ‘ ,. — 7 . 。 .   >
?


基 本解 法 :  可能 取值 为 2 4 6 , ,.   记 A ( 一 1 2 3 4 表 示 甲 在 第 忌局 比赛 中 获   是 ,,,)



fx 一 ()  

一  

+ (  2

胜, 则  表 示 乙在第 是局 比赛 中获胜 .  
‘ .

‘  一 2 一 P( A  + P( 1 P( ) A  ) A  A2 一  , )  

当且仅 当 

一2 一z, 即  一1时 , 式 取等 号. 上  

P(  一 4 )一 P (     A4 A1Az A3 )+ P (       ) A1A2 A4   A3

故 函数 厂 z 的最小 值 为 2 选 C  () , .

+P(  

2 A) A。   +P( A。 a ) 2  一 一 A  一  A 0

,  

巧 妙 : ) 兰塾 等 思 解 一 ±       
( - 1 ( -3  x )x- )


P(  一 6 )一 P ( 1A2   )+ P (       ) A     A  A3 A1A2 A4   A3

一— 二 z) 。    z ’

+P   (
?
. .

zs ) ( A—A )   . A  +P  一 2—   一   A a

当x 时 , z <o 当 l <2 , z >0 <l 厂( ) ; <x 时 厂( ) .  
即 厂 z 在 ( 。 1 上 是减 函数 , ( , ) 是 增  ( ) 一。 , ) 在 12 上 函数 .  

E 2吾 4 6 百,B   × +× × 2 选 . 一  +  一6   6

改进 解 法 : 能 的取值 为 2 4 6  可 , ,.  

故 E x ] i :厂 1 一2 选 C  f( )  = - ) , .  :(

2设 A一[ ,)B={    z ≤ 0 , B . 一2 4 , : zl 一n 一4 )若   =   z A, 实数 a的取值 范 围为 ( 则   ) .   A. 一1 2  [ ,) B [ ,] . 一1 2  C E ,3 . o 3  D E ,) . o 3 
改 进 解 法 : 。 =a + 1 > 0 .B 0. 。 A   6 ,’ ≠   . .

设 第 1局 、 2局 比赛 为 第一 轮 , 3局 、 4局  第 第 第 比赛为 第二 轮 , 5局 、 6局 比赛 为第 三轮 . 第 第   当 一2时 , 一 轮 甲全 胜 或 乙全 胜 , P( 一2  第 则   )


() ()      。5 + 一.  
当 一4时 , 一 轮 甲、 第 乙各 胜 一 局 , 二 轮 甲 全  第

设 厂 z 一l 一以 一4 则 由 B () z 。 z ,  A, 得 

胜 或 乙 全 胜 ,则 P ( 一 4) 一 C × ÷    j

{-1 4, 。 口<3, D. f)2 “ 解得 ≤ 选   厂 22 > ( )a0 4 = ̄ 。 一~


×() ()一 . [ 。 ÷。   吾+ ]  
当 一6时 , 第 三 轮 无 关 , 于 前 两 轮 , 一 轮  与 对 每

巧思妙解: 口 取 一一1得 B 二 二 , , —J  9    

二 卜 l 满   ,而 排 选 、;      , 足B A从 可 除 项AB _ 不 取
口 , B一[ ,3 也 不满 足 B A, 而可剔 除 选  一3 得 一1 4 ,   从

甲乙 是 胜 局则 ( 6 c? ?2 、都 各 一 ,P 一) ;c f)   一 {- 3  
?

()   号  . 一

故 Ee   一

, B  选 .

{ >。/q>        , q 。< 口 或 qq 0   <l +
. 

4 若 三个 棱 长 均 为 整 数 ( 位 :m) . 单 c 的正 方 体 的  表面 积 之 和 为 5 4 c , 这 三 个 正 方 体 体 积 之  6  m  则
和为 (   ) .   B 7 4c   . 6  m。 D. 8 m。 5 6c   A. 6 m。 5 6c   7 4c 或 8 m。 C 5 6c 或 5 4c . 8 m。 6 m。

解得 1 g ≤ < 
?



或 

<q 1 < .  

掣 << . q掣  
sn Ac tC+ C SA  i  o   O 
sn Bc t C上 C   i  o  ‘ OS B  sn AC   i   OSC+ C   sn C  OSA  i  

基 本解 法 : 三个 正 方 体 的 棱 长分 别 为 n 6 C 设 ≤ ≤  
( ,,EN , 由 6 a +b +C) 6 , a +b +c n 6 c  )则 (  2 2 一54 得 。 2 。  
:一


 

s n BC   i   OSC+ C   sn C  OSB  i 

9 , 而  ≥  4从 z

一  > 3 , 以 6 ≤9 1所 ≤  .  
= =

  sn A + C) sn B  6 i(   i 
———— —————————— —  

若 一 , z 6 5 由b  妻 2,   6 则。 。 8 z + 一 . ≥  一 9 得
6 6 而 6 一6 所 以 6 , 时 a 一2 , 解 ; ≥ . ≤c , —6 此   2无  

sn B+ C) sn i(   i 

一 

— q?  

故 求 值 围 ( ,2, c 所 取 范 是  4 1选 .  ̄/   f , +
二 、 空题 ( 填 本题 满分 5 4分 , 小题 9分) 每  


若 f , 口 +6 =4 , 唯一解 以 ,—6  一7 则   。 5 有 一3 6 ; 若 c , 口 +6 一3 , 正整数 解 ; 一8 则   。 0 无   若 c , a +6 一1 , 唯一解 a ,= 3 一9 则 。 。 3 有 一2 6= . :  故 V1 3 + 6 + 7 一 5 6或 V2 2 + 3 + 9 — 。 。 。 8 — 。 。 。  




7 设 -( = a + b 其 中 a b为 实 数 , l z   . 厂 z) , T , 、 厂( ) ,( ) + ( ) ( ( ) , z , ,z 一,   z ) 一1 2 3 ….   , , , 若  ( ) z  1 8 +3 1 则 口 一 2 x 8 , +6
. 
— —

7 4, A. 6 选   f z+y+ 2 0  — , ① 

基本 解法 : 显然 n 1 由题 设得  ≠ ,
() z 一  z+ ( , +  一 + … + 口 16 n  l 。 + ) 
:  

5方程组{ y + 一0  . xz   ,
【j z, +  +   —O z+  

② 
③ 

+ 

.6  .

的有 理数 解 ( y ) z, , 的个数 为 (  
A .1   B.   2 C.   3

) .  





’ 7 ) 2 x+3 1  f ( 一1 8 8,

D.   4

改进 解法 : 由② 得 一0或 z  一一1 .   若 一0 则 由① 、 得  , ③

?  8得 3+. 。 61 {. 6 . —,6故 一 1 { 3 — n   .   ’   墨2 解
? .

{ 三  

解  ’ 得 或  

8 设 厂 z =C S2 - 2 ( +c¥ ) . ( ) O x- a 1 o  的最 小 值 为 


寺 , 口= 则 =——. =  
基本 解 法 :  ) 2o  厂( 一 csz一 1 2 ( + CSz  — a 1 O  )

若 ≠0  一一1 则 由① 、 消 去  、 得  , , ③  ,
( 一 1 ( 一 一 1 一 0    )  。 ) .

当  一1时 , z一一1 则 由① 得 一0 矛盾 . , ,  



2。 一 )   一n (s 号  cz 一 2    
当  < 一 1 即 口 一2时 , 当 CSz一 一1时 , , < 则 O   

当Y一 。  一1 , —0 不妨设 Y 一÷,口 6 一1 (,) ,  
n b  , b 一n ( +6 . , ∈N 则 。   n ) 因为 ( , ) , 以 b (  口 6 一1 所 l口

+6 , 而 b1 , 盾. 方 程 Y 一Y一 1=0无 有 理  )从  n 矛   故 。 = =
数解 .   综上 所述 , 原方 程 组 仅 有 两 个 有 理 数 解 ( , , ) 0 0 0  和 ( , , ) 应选 B  一1 1 O , . 6 设 AAB . C的 内角 A, C所 对 的边 a, , B, b C成 

, z 取 得最小 值 为 1 不符 合要 求. () ,  

当 1号 1 一≤ ≤ 时则 。z 号 一≤ ≤ , 2口 2 ,当c    即 s一
时 , ( 取得 最小 值为 一  。 2 一1 由 一 1 —2  ,  ) 12 n .   2 n




1= 一   1


等 比 数 列 ,则  i    tC cs 的 取 值 范 围  snAc   干 o    +  A o
是(   ) .  

得 口 一一2 一  ( 去) 口 一2 舍 或 一 + 

Na> l 即 a , 当 csz , >2 则 o  一1时 , ( ) 厂 z 取得 最 

AO。 .,。 ( ) + 
b= aq, = a 。 c q


B。 ) .,   (7 1

小 值为 1 口 由 1 n 一 1 —4 . —4 一  



得 一 <,去 n詈 2 . 舍 

c  ,+)D  ,。 . q  . ( r1 ( + ) f  2 。  
改进 解 法 : 等 比 数 列 日 b r的 公 比 为 口 则  设 ,, , 由三 角形 三边 不等 关 系 , 得 

综 上所述 , 一  一2 n .   9将 2 . 4个 志愿 名 额 分 配 给 3个 学校 , 每 校 至  则 少 有一个 名额 且 各 校 名 额互 不 相 同 的分 配 方 法 共 有 
种.  

基 本解 法 : 分 酉给 三个 学 校 的名 额 分 别 为 X 、 设   l  

3, 2 则每校 至 少有 一个 名额 的 分法 为不 定 方 程  。 +  +- 一2 z 。 4正整 数解 的个 数.  




基 本解 法 1 由题设 条件 , : 得  厂z+2 一 f( 一 一 [ z+ 4 一 f(2 2 j ( ) z) 厂( ) 34 )    - [ ( +6 一/( +4 ] [ ( +6 一_  )  _z )   厂 z )+ 厂 z ) 厂 ] (
≥ 一 3 ?2 一 3 ?2 + 6     3?2 一 3?2 .     

应 用 “ 板 法” 隔 ,该 方 程 的 正 整 数 解 共 
有C  一2 3 . 、 5 个     又 在“ 每校 至少 有 一 个 名 额 ” 分法 中 , 至 少 有  的 “ 两个学 校 的名额 相 同” 的分 法有 3 种 . 1  

又 厂 z 2 一 -  ) 3?    (4 ) 厂 ≤ - ( 2,
( 2 一 _( 一 3?2 . z+ ) 厂 z)    故 f( 0 8 一 f( 0 8 一 f( 0 6 4 f( 0 6  20 ) 20 ) 20 ) - 20 )
. . 




故 满足 条件 的分法 共 有 2 3 1 2 5 —3 —2 2种 .   1 . 数 列 {  的 前 / 项 和 S 满 足 S 0设 a} , /    + 以  
n- 1 -
一  

f(0 4 4 … 4 - 2 一 - 0 4 厂 0  20) - - 厂 ) 厂 ) () ( ( -
: ==

3 2 娟+ 2。 (∞ 。  + … + 2 + 1 4 厂 0    ) - ()
1 0  0 4 1  

,  一1 2 … , 通项 口 ,, 则  


. 


3?  

4—

1  

+20 —2 08  

- 07 420 .  

基本 解 法 :? .  L 十1 一n    ’ - n ,   S  z ~
‘ . .

基 本解 法 2 令 g  ) 厂 z 一2 则  : ( 一- )  , (
g z 2 一g - 一 f x 2 一 2 一厂 z 4 2 ( + )一 ( ) ( + )   z ()   -
≤ 3?2  一 3?2  一 0  ,

a + 1 一  

+l—  


i .   
十  ’  

一 

一  +  一  

g( 6 一g( 一 _( 6 一 2 一 _ z) 2 x+ )  ) 厂 z+ )   厂 ( 4   -
≥6 3?2  一 6 3?2 一 0,    


一 a + 一  2 ,1
. .
— —

?

一 
2   .  

十  + 
1  

十 





g( z+ 2 ≤ g( , z+ 6 ≥ g( )  ) z) g( ) z.





( 41— 42 十  而 n )n ) - (-

十“ ’ ”  


厂 O 一 2 + 2∞ 一 2 0 4 2。   () 。    0 7 - 。  . 即I l 2n 研  ]   . a+ + ~+   1. 2 一个 半径 为 1的小 球在 一个 内壁棱 长 为 4 6 √  {  商 }首 为  一 ,比 的正 四 面体容 器 内可 向各个 方 向 自由运 动 , 该 小球  n   + 是 项 n  专公  + 则 永远 不 可能接 触 到 的容 器 内壁 的面 积是— — .   为 的 比 列. +某 号丢一一 , 丢 等 数 .n   一 ()    ? .    
? .


故 g z ≤g +6≤g z ) ( +2≤ g z . () ( ) ( +4≤g 1 ) ( ) z   因此 , ( 是 周期 为 2的周 期 函数 . g  )   如 A 图 体  G 求    一   故 f( 0 8 2 0 )一 g( 0 8 2 0 )+ 2 o ∞8一g O + 2 ∞ () ∞ 

一一 一一 一~  ~ 一一 ~ 一  

即n 方   n 一 一
即 a —0 1 .  

?  

巧思妙 解 : 当  一 1时 ,a 一 S - 1 0  21 1 a— , 4 当 , 2时 ,  S 一 S , 而 有  z ≥ a一     从

2  一   S
一 —   一  

一 一 而     
‘  

,+ 1 z  
? . .

2   : 一 . (一 1)s    s =一 : 

0相切, 设切点为 N, A 故 N=f O -O 2 厄   f  ̄— N =2 — A 易知小球在平面 A C上最靠 近边 的切 点 的轨迹仍  B
为正三角形 , 记为△NP . 图 2 Q如 ,  

1AB, .S —1 首 为   公 为 的 比 作 NL._ 垂 足 为 . nn   项 一 ,比   等   . -47 { -是 一 l 1 1
一  

L 则 AL ,  

数 ?S ; 一 ? 列 ?n   方 ‘一1   ?  
?
. .

N 

’ 故正△NP Q的边 长 

n s s 一    一 1  )       ( 1   1  一 一 一 1一 ) 一    
  一  

为 N —A 一2 L一2   P B A 扼
。 . .

c  

图 2中 阴 影 部 分 即 为 小  图2   球与 平 面 AB 不 能 接 触 到 的 面 积 , 面 积 为  C 其



2  ”

( -1 ‘  4 ) 

显 然 ,  n 一0也满 足上 式 , n 一 1一 故 n   

S △ 一S  Q   [4 )一( J )] 8 =S 加。 A 一 (    2 g  一1  
‘ 士 
?  

1 . f( 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , f( ) 】设 z) 若 0 


故小 球不 能接 触 到容器 内壁 的 面积 为 7 √ . 23  
三 、 答题 ( 题 满分 6 解 本 O分 , 小题 2 每 O分)   1 . 知 函 数 f( 3已 z)一 l i . I 图 象 与 直 线   nz 的 s  


20 , 0 8 且对 任 意 z∈R, 足 f( 2 一 ,( ) 3 满 x+ ) z≤  
?

2 , ( 4 6 一 厂z ≥ 6 2 ,Ⅱ厂 2 0 )     fx ) - ( ) 3?   贝 (0 8 一

.  

是 ( >0 有且 仅 有 三个 公 共 点 , 点 的 横 坐标 的  z是 ) 交

最 大值 为  , 求证 : 五 C S      OG
改 进 解 法 : 知 f(   易 z)     是 I nzl 最 小 正 周 期 为 丌 s i   的周 期 函 数 , 线 Y— k 直 x与 


1 d  + 0
4a ’  

轴上 方 , 坐 标 为 ( t, t t 0 , 点 P 作 圆  其 2。 2)( > ) 过 ( -1  x ) +  一1的切 线交 y轴 于点 M ( , , O m) 则切 线 
I   方 程 为 P : 一 t m  M  2 - z+ 
+ 2 。 一 0  t   .


即 (t m) 2- z一 2  

函数 厂 z 一 1i  在 一个周  ( )   nzl s 幽 3   期 内最多 有两个 公共 点.   ’ 线 y x与 -( ) 直 :k 厂 z 的图象有 且仅 有三 个 公共  点 '. .直线 y x与 ,( ) [ ,兀 内相 切 , 切点 T . =k z 在 72) c 其   的坐标 为 T( , i ) a 7 2 ) a 一s a , ∈[ ,丌 . n c  


由圆心 ( , ) 1 0 到切线 P 的距离等 于半径 1 得  M ,
l2 — ) tmI (    +2   
 ̄( t / 2 一  ) + 4 。  



整理 , [£ ) —f [ £ ) 得 (+1  ]? (一1 m+£一O ①  ] .   当£ 一1时 , 切线 P 与 Y轴平行 , 合题 意 ; M 不  
当 0 < 1时 , 1一1  y 一 1是 △PB 的  <£ 圆( z )+   C

’ f ( ) 一 C S ,. 一 - C S . .  z 一 . O  .惫 a . O    n

又点 T( , i 在 直线  一 -X O  上 , a 一s  ) n CS0   /



旁切圆, 也不 合题意 ;  
当t >l时 , 由①得 m一 
? . .

. sn 口 - O O   , 口a tn . 一 i 一  ̄ S 且 — a    C

或 m一  

?  

故 
一  

一 
COS  


一 
COS 口 


一 

B , )( ) ( 、o . 0 c,   南  
一  

sn a s n 3 ‘ i  + i  a  

故 S e 一   B   AB 1I cI C  
2   t  一 1   1  
t  2

1 . 不 等 式 :o 2 z 4解 lg (  + 3  + 5   3   1  x x+ x + )
< 1 lg (   1 . + o 2z + )  

1  l 。 南一    
2   …  

2   1  


基本 解 法 1 原不 等式 等价 于  :
z + 3  + 5 + 3   1 2 z + 1 ,   z 。  。 z + < (  ) 


t  4

(一 )  一几    。 +  

即  。 3   + 5   3   2   I 0  + z。 z + L一 x 一 < . z



. V  , £   =7  一  时 , A B取得 最小值 为 8 即 SP C .  

将 上式 左边 分解 因式 , 得 
(   z 一1 (   2 + 4   z + 。 ) z + x。 x +  + 1 < O  ) .
。 ’ .


巧 思妙解 : P( 。 Y )  > O 、 O 6 、 o  设 z ,。 ( ) B( , ) C( , c ,>0 c , ) 6 ,>0 则直 线 P 的方程 为  B
Yo b + ,   - ) - 。 +b 。 O x一 .   一 _= __ z 6 即 ( 。 b x x y


z + 2 + 4   z + 1 O,     z +   >  

.z +z —I , .   z <0 解得 z <  . z

.  

由圆心 ( , ) 1 0 到直 线 P 的距 离 等于半 径 1 得  B ,

故不式解为 原等的集  
基本 解 法 2 原不 等式 等价 于  :


, j   .  


  l 二垒±   

一  


 

整理 , ( 。 )  y b x =O 得   一2 b +2 。- 。 .   同理 可得 ( o 2 c- 2 o- . -0 z - )。 y C T o .  

z 。 3   + 5 。 3   1 2  + 1    + z 。 z+ z+ < ( ),

即 + >   3 +x ̄ +x 2 去 § z x 3 l 2 +  +   。 。
(   + 1 。 2 z。 1   z ) + ( + ),

易知 z >2 b和 一c是 方 程 ( o 2  + 2 0t o , z一 ) y /  T
z 一。的两个根 , 6 : 一   。 则 一c  2   y o
。( + c  ( .6 )  



,一

 



 

. 

亦 ( 。2 (+) 221 即 + ? 3 1+(+)  )  > C 。 X . 2  
令 (一+t 厂 >(+) 厂) 2则 ( 厂 。1 £  ,  ) z .  
易知 - £一£+2 在 R上是 增 函数 , 有  厂) 。 t ( 则
i> z + 1 即 z + z 一 1 0  。 ,   。 < .




一  

4  

+ 
2 .? + c ) . 6 一  . .   。~   筋 一 2 ’  



X   X 4 +  二( o 2  ̄ (4 o  - )

4o : g
( 勘 


z 一2。 n ) 

又点 P( 。 y ) 圆 z + y 一2 x ,。 到 。   x一 0的 切 线 长 

I EI   FI   藕 2   —I 一 P P 2  
?


一z , 。  
.  

下 同基本 解法 1 .   注意: 本题 原标 准答 案有 误 .   1. 5 如图 4 P 是抛 物线 Y 一  ,   2 z上 的动点 , B、 点 C在 Y轴 上 ,   圆( X一 1 。+ y ) 。一 1 内 切 于  △ P C,求 △PB 面 积 的 最  B C 小值 .   改 进解 法 : 妨 设 点 P 在 z 不  



A P C的半 周长 P=b +x —  B +c o =丁  
一  

故 Se — 一 a ̄  r   c



 



  一 一  

D 


2 一 )吉 ( 丢  ’   + 


C  


图4  





当  = 1, 2 一4时 , △ 取 得最 小值 为 8 = = 即 C   。 S 船c .  


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2008全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准(一试)

高考网 www.igaokao.com 2008 全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准 (A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档...

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷) 隐藏>> (A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只...

2008全国高中数学联合竞赛一试试题

2008 全国高中数学联合竞赛一试试题 (A 卷)一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.0 5 ? 4x ? x2 在 (??, 2) 上的...

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

高中数学联赛高中数学联赛隐藏>> 2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设...