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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课件

时间:2013-07-03


7.1 命题及其关系、 充分条件与必要条件

考纲点击 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 一、命题 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的

,可以 ① __________________叫做命题.其中②__________的语句叫做 真命题,③________的语句叫做假命题.
①判断真假的陈述句 ②判断为真 ③判断为假

二、四种命题及其关系 1.四种命题 命题 表述形式 原命题 若p则q 逆命题 ④__________ 否命题 ⑤____________ 逆否命题 ⑥____________

④若 q 则 p ⑤若綈 p 则綈 q ⑥若綈 q 则綈 p

2.四种命题间的关系

⑦逆命题 ⑧否命题 ⑨逆否命题

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有⑩______的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性? __________.

⑩相同 ?没有关系

三、充分条件与必要条件 1.如果 p?q,那么 p 是 q 的?__________,q 是 p 的? __________. 2.如果 p?q 且 q?p,那么 p 是 q 的?__________.

?充分条件 ?必要条件 ?充要条件

考点自测 1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+ c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

解析:a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否定是 a2+b2+c2<3. 答案:A

2.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x ∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0 或 x >2},∵A∪B=C,∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件.故 选 C. 答案:C

3.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M

)

解析:命题的逆否命题:“若 b∈M,则 a?M”与原命题 等价,故选 D. 答案:D

4.命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”与它的逆 命题、 否命题、 逆否命题这四个命题中, 真命题的个数是( ) A.0 B.2 C.3 D.4

解析:命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”是正 确的,∴其逆否命题也正确. 又∵命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”的逆命 题是“若△ABC 是直角三角形,则 C=90° ”是错误的. ∴否命题也是错误的, ∴只有两个命题正确. 答案:B

5.设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A B?对任意 x∈A,有 x?B;②A B?A∩B=?;③ A B?A?B;④A B?存在 x∈A,使得 x?B. 其中真命题的序号是__________.(把符合要求的命题序 号都填上)

解析: A={1,2,3}, 若 B={2,3,4}, 则集合 A、 满足 A B. B 但 2∈A,2∈B,故①、②错.若取 A={1,2,3},B={2,3},则 集合 A、B 满足 A B,但 A?B,故③是错误的. 答案:④

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.用集合的观点,看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A? B,则 p 是 q 的 充分不必要条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B? A,则 p 是 q 的 必要不充分条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A? B,且 B? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而, 当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题 的真假.这就是常说的“正难则反”.

题型探究 题型一 四种命题及其真假判断 例 1 下列命题中的真命题是( ) A.命题“若 a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆命题 B.命题“奇数的平方不是偶数”的否定 C.命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题 D.命题“至少有一个内角为 60° 的三角形是正三角形” 的否命题

解析:选择项 A 中的命题是“a+b 是偶数,则 a、b 都是 偶数”,举一反例即能断定这是一个假命题; 选择项 B 中的命题是“存在一个奇数,其平方是偶数”, 显然也是一个假命题; 注意到空集是任何非空集合的真子集,而不是任何集合的 真子集,∴选择项 C 中的原命题是一个假命题, ∴它的逆否命题也是一个假命题; 选择项 D 中的命题是“三个内角均不为 60° 的三角形不是 正三角形”,这显然是一个真命题. 所以正确选项为 D. 答案:D

点评:原命题与它的逆命题不等价,原命题与它的否命题 也不等价,解题时应该充分注意这一点,要避免犯“用一个命 题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假”的错误.

变式探究 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题.并判断它们的真假: (1)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实数根; ?a>0, ?ab>0, ? ? ? (2) ?? ?b>0, ?a+b>0. ? ?

解析: (1)逆命题是“若方程 x2+2x+q=0 有实数根, q<1”, 则 是假命题; 否命题是“若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 没有实数根”, 是假命题; 逆否命题是“若方程 x2+2x+q=0 没有实数根,则 q> 1”,同原命题一样是一个真命题.

(2)原命题即“若 a>0, b>0, ab>0, a+b>0”, 且 则 且 是一个真命题; 逆命题是“若 ab>0,且 a+b>0,则 a>0,且 b>0”, 是一个真命题; 否命题是“若 a≤0,或 b≤0,则 ab≤0,或 a+b≤0”, 逆否命题是“若 ab≤0, a+b≤0, a≤0, b≤0”, 或 则 或 从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命 题也都是真命题.

题型二 充分条件与必要条件的判定 例 2 用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a + b < 0 且 ab > 0” 是 “a < 0 且 b < 0” 的 __________; 1 (2)“x>1”是“x <1”的__________; (3)“x=2”是“x2-7x+10=0”的__________.

解析: (1)∵a+b<0 且 ab>0, ∴a,b 同号且都是负数. 即 a+b<0 且 ab>0?a<0 且 b<0. 又∵a<0 且 b<0,∴a+b<0,ab>0, 即 a<0 且 b<0?a+b<0 且 ab>0, ∴“a+b<0 且 ab>0”是“a<0 且 b<0”的充要条件.

1 1 (2)∵x>1 时,x <1 成立,即 x>1?x <1, 1 1 又∵x <1 时,x 未必大于 1(如 x=-3),即x <1 x>1, 1 ∴“x>1”是“x <1”的充分条件.

(3)∵当 x=2 时,x2-7x+10=4-14+10=0, ∴x=2?x2-7x+10=0, 当 x2-7x+10=0 x=2, ∴“x=2”是“x2-7x+10=0”的充分条件. 答案:(1)充要条件 (2)充分条件 (3)充分条件

点评: 判断 p 是 q 的什么条件, 其实质是判断“若 p 则 q” 及其逆命题“若 q 则 p”是真是假, 原命题为真而逆命题为假, p 是 q 的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则 p 是 q 的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则 p 是 q 的 充要条件;原命题为假,逆命题为假,则 p 是 q 的既不充分也 不必要条件,同时要注意反例法的运用.

变式探究 2 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件(在 “充分不必要条件”、 “必要而不充分条件”、 “充要条件”、 “既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)在△ABC 中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB; (4)已知 x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y- 2)=0.

解析: (1)在△ABC 中,显然有∠A>∠B?BC>AC, ∴p 是 q 的充要条件. (2)∵逆否命题:x=2 且 y=6?x+y=8, ∴p 是 q 的充分不必要条件. (3)取 A=120° ,B=30° ,p q,又取 A=30° ,B=120° , q p, ∴p 是 q 的既不充分又不必要条件. (4)∵p:x=1 且 y=2,q:x=1 或 y=2, ∴p 是 q 的充分不必要条件.

题型三 充要条件的应用 例 3 已知集合 M={x|x<-3 或 x>5},P={x|(x-a)· (x- 8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的 充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一 个充分但不必要条件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的 一个必要但不充分条件.

解析: (1)由 M∩P={x|5<x≤8}, 得-3≤a≤5, 因此 M∩P={x|5 <x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一 个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值, 如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5 <x≤8}未必有 a=0,故 a=0 是所求的一个充分不必要条件;

(3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的 一个必要不充分条件就是另求一个集合 Q,使{a|-3≤a≤5} 是集合 Q 的一个真子集. 如果{a|a≤5}时, 未必有 M∩P={x|5 <x≤8},但是 M∩P={x|5<x≤8}时,必有 a≤5,故{a|a≤5} 是所求的一个必要不充分条件. 点评:解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要 条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关 于参数的不等式求解.

变式探究 3



? ?x-1 ? ? <0 A=?x? ? ?x+1 ?

? ? ?,B={x||x-b|<a},若 ? ?

“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件,则实数 b 的取值范围是 ( ) A.-2≤b≤2 B.-2≤b<2 C.-2<b<2 D.b≤2

答案:C

题型四 充要条件的证明与探求 例 4 设 a,b,c 为△ABC 的三边,求证:方程 x2+2ax+ b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是 A=90° .

解析:充分性: ∵A=90° ,∴a2=b2+c2. 于是方程 x2+2ax+b2=0, 可化为:x2+2ax+a2-c2=0. ∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,即[x+(a+c)][x+(a-c)]=0. ∴该方程有两个根:x1=-(a+c),x2=-(a-c). 同样,另一方程 x2+2cx-b2=0 也可化为: x2+2cx-(a2-c2)=0. ∴x2+2cx+(c+a)(c-a)=0. ∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0. ∴该方程也有两个根:x3=-(a+c),x4=-(c-a)可以发现 x1 =x3,所以这里的两个方程有公共根.

必要性: 设α
?α2+2aα+b2=0, ① ? 是两方程的公共根,∴? 2 2 ?α +2cα-b =0. ② ?

由①式+②式得:2α2+2α(a+c)=0. ∵α≠0,∴α=-(a+c). 将 α=-(a+c)代入①式整理可得:a2=b2+c2. ∴A=90° .

点评:充要条件的证明应注意:①一般地,条件已知,证 明结论成立是充分性,结论已知,推出条件成立是必要性.② 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论.

变式探究 4 求关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件.

解析:若 x2+mx+1=0 有两个负实根,则△≥0 且-m< 0?m≥2,即 m≥2 是方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的必要 条件. 充分性: ∵m≥2,∴△=m2-4≥0,方程 x2+mx+1=0 有实根. 设 x2+mx+1=0 的两个实根为 x1、 2, x 由根与系数的关系 知 x1·2=1>0,所以 x1、x2 同号. x 又∵x1+x2=-m≤-2, ∴x1、x2 同为负根,充分性得证. 故关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件 是 m≥2.

归纳总结 ?方法与技巧 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必要 保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的 命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大前 提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题 与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.

3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法: 利用 A?B 与綈 B?綈 A, B?A 与綈 A?綈 B, A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的 命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若 A?B,则 A 是 B 的充 分条件或 B 是 A 的必要条件; A=B, A 是 B 的充要条件. 若 则

?失误与防范 1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而 命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断 p 与 q 之间的关系时,要注意 p 与 q 之间关系的 方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.

新题速递 π 1.(2012· 湖南卷)命题“若 α=4,则 tanα=1”的逆否命题是 π π A.若 α≠4,则 tanα≠1 B.若 α=4,则 tanα≠1 π π C.若 tanα≠1,则 α≠4 D.若 tanα≠1,则 α=4

解析:命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若綈 q 则綈 p” 答案:C

2.(2012· 天津卷) 1 设 x∈R,则“x>2”是“2x2+x-1>0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 解析:由 2x +x-1>0,得 x<-1 或 x>2,故“x>2” 是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件,选 A. 答案:A
2

1 3.(2012· 湖北卷)设 a,b,c∈R ,则“abc=1”是“ + a 1 1 + ≤a+b+c”的 b c A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件


1 1 1 abc abc abc 解析: + + = + + = bc+ ac+ a b c a b c ab. 2(a + b + c) = (a + b) + (b + c) + (c + a)≥2( ab + bc + ca),当且仅当 a=b=c 时取等号,故 a+b+c≥ ab+ bc+ 1 1 1 ca,所以, + + ≤a+b+c(当且仅当 a=b=c 时等号 a b c 1 1 1 成立).取 a=b=c=2,则 + + ≤a+b+c,但不能推 a b c 出 abc=1,因此,选 A. 答案:A

x-1 4.(2013· 济宁调研)已知 p: x ≤0,q:4x+2x-m≤0, 若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围是( ) A.m>2+ 2 B.m≤2+ 2 C.m≥2 D.m≥6

解析:由 p 得:0<x≤1,在此条件下 q 恒成立,故 m≥(4x +2x)max,可得 m≥6. 答案:D

5.(2013· 瑞安联考)如果对于任意实数 x, 〈x〉表示不小于 x 的最小整数,例如〈1.1〉=2, 〈-1.1〉=-1,那么“|x-y| <1”是“〈x〉=〈y〉”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由|x-y|<1 不一定得出〈x〉=〈y〉 ,如 x=1.5,y =2.1 时, 〈x〉=2, 〈y〉=3;若〈x〉=〈y〉 ,则|x-y|<1, 因此“|x-y|<1”是“〈x〉=〈y〉”的必要不充分条件. 答案:B


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