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2.2.2等差数列的通项及性质


徐州高级中学备课纸
高中一年级数学学科 课 题 执教人: 2.2.2 等差数列的通项公式(2)
本课(章节) 需 课时 本节课为 第 课时 为本学期总 第 课时

课 时 分 1.进一步理解等差数列的通项公式及推导 配 过程; 2.运用等差数列的通项公式解决有关应用问题; 3.进一步了解等差数列的有关性质.

教学目标<

br />
重 难

点 点

等差数列的通项公式及推导性质. 运用等差数列的通项公式解决有关问题.

教学方法

自主学习、讲练结合 教 师 活 动

课型

新授课

教具

实物投 影

学 生 活 动

一、复习回顾

1.等差数列的通项公式: an ? a1 + ? n ? 1? d ; 2.等差数列的通项公式推导中涉及的思想方法:①归纳法;②叠加法. 二、讲解新课 例 1 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一 次.奥运会如因故不能举行,届数照算. ⑴试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; ⑵ 2008 年北京奥运会是第几届? 2050 年举行奥运会吗? 解: ⑴由题意, 举行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896 为首项,4 为公差的等差数列.这个数列的通项公式为

an ? 1896 ? 4 ? n ? 1?

? 1892 ? 4n ? n ? N ? ? .

⑵假设 an ? 2008 ,由 2008 ? 1892 ? 4n ,得 n ? 29 . 假设 an ? 2050 , 2050 ? 1892 ? 4n 无正整数解. 答:所求通项公式为 an ? 1892 ? 4n n ? N 会是第 29 届奥运会, 2050 年不举行奥运会.

?

?

? , 2008 年北京奥运
? a1 ? 4, ? ? d ? 3.
1

例 2 在等差数列 ? an ? 中,已知 a3 ? 10, a9 ? 28 ,求 a12 . 解:由题意,得 ? 所以

a12 ? 4 + ?12 ? 1? ? 3 ? 37 .

? a1 + 2d ? 10, ? a1 + 8d ? 28.

解得

例 3 已知等差数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求首项 a1 和公差

d. 解:
所以

a1 ? 2 ?1 ? 1 ? 1 ,

a2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ,
或 d ? an ?1 ? an ? 2 ? n + 1? ? 1 ? ? 2n ? 1? ? 2 . 3.等差数列的性质: ⑴在例 3 中,等差数列的通项公式

d ? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 .

an ? 2n ? 1
是关于 n 的一次式,从图象上看,表示这 个数列的各点 ? n, an ? 均在直线 y ? 2 x ? 1 上.

思考:如果一个数列 ? an ? 的通项公式

为 an ? kn + b ,其中 k , b 都是常数,那么 这个数列一定是等差数列吗? 分析:因为 an ?1 ? an ? ? ? k ? n + 1? + b ? ? ? ? kn + b ? ? k 为常数,所以数列

?an ? 为等差数列. 若数列 ? an ? 为等差数列,则 an ? a1 + ? n ? 1? d ? dn + ? a1 ? d ? .
令 k ? d , b ? a1 ? d ,则 an ? kn + b . 因此,数列 ? an ? 为等差数列 ? an ? kn + b . 等差数列的图象是一条直线上的一些孤立点. ⑵ 若 数 列

? an ?

为 等 差 数 列 , 则 an ? a1 + ? n ? 1? d ,

am ? a1 + ? m ? 1? d ,
两式相减,得 an ? am ? ? n ? m ? d ,

an ? am . n?m 例 4 某滑轮组由直径成等差数列的 6 个滑轮组成. 已知最小和最大的滑
即 an ? am + ? n ? m ? d . d ? 轮的直径 分别为 15cm 和 25cm ,求中间四个滑轮的直径. 解:用 ? an ? 表示滑轮的直径所构成的等差数列,根据题意,知

a1 ? 15 , a6 ? 25 .
由等差数列的通项公式,得

a6 ? a1 + ? 6 ? 1? d ,

即 25 ? 15 + 5d , 解得 d ? 2. 由此得 a2 ? 17, a3 ? 19, a4 ? 21, a5 ? 23 .
2

答:中间四个滑轮的直径顺次为 17cm,19cm, 21cm, 23cm . 例 5 如图 ,三 个正方 形的 边 AB, BC, CD 的 长组成 等差 数列, 且

AD ? 21cm ,这三个正方形的面积之和是 179cm 2 . ⑴求 AB, BC, CD 的长; ⑵以 AB, BC, CD 的长为等差数列的前 三项,以第 10 项为边的正方形的面积是
多少? 解:⑴设公差为 d ? d ? 0 ? , BC ? x , 则 AB ? x ? d , CD ? x ? d . 由题意得

解得

所以 AB ? 3 ? cm ? , BC ? 7 ? cm ? , CD ? 11? cm ? . ⑵正方形的边长组成首项是 3 ,公差是 4 的等差数列 ? an ? ,所以

? ?? x ? d ? + x + ? x + d ? ? 21, ? 2 2 2 ? ?? x ? d ? + x + ? x + d ? ? 179, ? x ? 7, ? x ? 7, 或? (舍去) . ? ? d ? 4 ? d ? ?4

a10 ? 3 + ?10 ? 1? ? 4 ? 39 ,
2 a10 ? 392 ? 1521? cm 2 ? .

答:所求正方形的面积为 1521cm . 注: 若 a, b, c 成等差数列, 则设 a ? b ? d , c ? b + d 是常用设法; 如果 4 个数成等差数列,可以设为 x ? 3d , x ? d , x ? d , x ? 3d . 例 6 等差数列 ? an ? 中, a4 + a10 ? 12 ,求: ⑴ a5 + a9 ;⑵ a7 ;⑶ a3 + a6 + a8 + a11 ;⑷ a3 + a5 + a8 + a12 . 所以 a1 + 6d ? 6 . 解:分析一: a4 + a10 ? ? a1 + 3d ? + ? a1 + 9d ? ? 2a1 + 12d ? 12 , ⑴ a5 + a9 ? ? a1 + 4d ? + ? a1 + 8d ? ? 2a1 + 12d ? 12 . ⑵ a7 ? a1 + 6d ? 6 . ⑶ a3 + a6 + a8 + a11 ? 4a1 + 24d ? 4 ? 6 ? 24 . ⑷ a3 + a5 + a8 + a12 ? 4a1 + 24d ? 24 . 注:以上解法运用了“设而不求,整体代换”的方法. 分 析 二 :

2

am + an ? 2a1 + ? m + n ? 2 ? d



a p + aq ? 2a1 + ? p + q ? 2 ? d ,
当 m + n ? p + q 时, am + an ? a p + aq . 注:⑴以上是一个恒等式,但两边的项数必须一致;
3

⑵当 m + n ? 2r 时, am + an ? 2ar , ar 是 am 与 an 的等差中 项. 所以⑴ a5 + a9 ? a4 + a10 ? 12 . ⑵ a7 ? ⑶

a4 + a10 ? 6. 2

a3 + a6 + a8 + a11 ? ? a3 + a11 ? + ? a6 + a8 ? ? ? a4 + a10 ? + ? a4 + a10 ? ? 24
. 例 7 在等差数列等差数列 ? an ? 中,a p ? q ,aq ? p ? p ? q ? ,求 a p ? q . 解法一:由 ? 解得 ⑷ a3 + a5 + a8 + a12 ? 2a4 + 2a10 ? 24 .

? ?a1 + ? p ? 1? d ? q, ? ?a1 + ? q ? 1? d ? p,

所以 a p ? q ? p ? q ? 1 + ? p ? q ? 1? ? ? ?1? ? 0 . 解法二:设 an ? kn + b ,则 ?

? a1 ? p ? q ? 1, ? ? d ? ?1,

所以 a p ? q ? ? ?1?? p ? q ? + p ? q ? 0 . 解法三:由 a p ? aq ? ? p ? q ? d ,得 d ? 所以 a p ? q ? a p + qd ? q + q ? ? ?1? ? 0 . 三、练习

? ? k ? ?1, ? a p ? kp + b ? q, 解得 ? ? ?b ? p ? q , ? aq ? kq + b ? p ,

q? p ? ?1 , p?q

1.在等差数列 ? an ? 中, a5 + a11 ? 15 ,则 a2 + a8 + a9 + a13 ? ______. 2 . 在 等 差 数 列 ? an ? 中 , 已 知 a1 ? a4 ? a8 ? a12 + a15 ? 2 , 则 分析:? a1 + a15 ? ? ? a4 + a12 ? ? a8 ? 2 ,a8 ? ?2 ,a3 + a13 ? 2a8 ? ?4 . 四、小结 本节课学习了以下内容:

a3 + a13 ? ______.

1 .等差数列的通项公式与一次函数的关系:数列 ? an ? 为等差数列 2. an ? am + ? n ? m ? d ;

? an ? kn + b ,等差数列的图象是一条直线上的一些孤立点;

3.等差数列的应用问题; 4.几个数成等差数列的一种设法;

5.在等差数列 ? an ? 中,当 m + n ? p + q 时, am + an ? a p + aq . 注:以上是一个恒等式,但两边的项数必须一致;
4

特别地,当 m + n ? 2r 时, am + an ? 2ar , ar 是 am 与 an 的等差 中项.

作业

P38

5,6,7,11 板 书 设 计









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