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高中数学教学论文

时间:2017-09-10


巧解排列组合的 21 种模型
排列组合问题是高考的必考题, 它联系实际生动有趣, 但题型多样, 思路灵活, 不易掌握.实践证明, 掌握题型和识别模式,并熟练运用,是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的 21 种模型. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成

一排, 如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边, 那么不同的排法种数有 A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种

4 解析:把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种,答案:

D.
2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的 相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种

5 2 解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排法种数是 5 2 A5 A6 ? 3600 种,选 B .

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那么不同的排 法种数是 A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种

解析: B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半, 即

1 5 A5 ? 60 种,选 B . 2
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元

素,如此继续下去,依次即可完成. 例 4.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号 与所填数字均不相同的填法有 A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种

解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个 方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例 5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项 任务,不同的选法种数是 A、1260 种 B、2025 种
用心

C、2520 种
爱心

D、5040 种
专心 1

解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三步从另外
2 1 1 的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10 C8C7 ? 2520 种,选 C .

(2)12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案有
4 4 A、 C12 种 C84C4 4 4 B、 3C12 种 C84C4 4 3 C、 C12 种 C84 A3

D、

4 4 C12 C84C4 种 3 A3

答案: A . 6.全员分配问题分组法: 例 6. (1) 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去, 每所学校至少去一名, 则不同的保送方案有多少种?
2 3 2 3 解析: 把四名学生分成 3 组有 C4 种方法, 再把三组学生分配到三所学校有 A3 种, 故共有 C4 A3 ? 36

种方法. 说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 A、480 种 答案: B . 7.名额分配问题隔板法: 例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个, 可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案
6 为 C9 ? 84 种.

B、240 种

C、120 种

D、96 种

8.限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设, 其中 甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
4 ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排 3 3 3 其余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种;④若甲乙都参加,则先安 2 2 排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A8 种,共有 7 A8 方法.所以共有不同的派 4 3 3 2 遣方法总数为 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088 种.

9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数, 最后总计. 例 9.(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共 有 A、210 种 B、300 种 C、464 种
用心 爱心

D、600 种
专心 2

5 1 1 3 1 1 3 解析:按题意,个位数字只可能是 0、1、2、3 和 4 共 5 种情况,分别有 A5 、 A4 A3 A3 、 A3 A3 A3 、 1 1 3 1 3 A2 A3 A3 和 A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3?,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两个数的取法 (不计顺序)共有多少种? 解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被 7 整除,将这 100 个数组成的 集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 A ? ?7,14, 21, 的集合记做 ?I A ? ?1,2,3,4,

98? 共有 14 个元素,不能被 7 整除的数组成

2 由此可知, 从 A 中任取 2 个元素的取法有 C14 , 从A ,100? 共有 86 个元素;

1 1 2 1 1 中任取一个,又从 ?I A 中任取一个共有 C14 ,两种情形共符合要求的取法有 C14 C86 ? C14 C86 ? 1295 种.

(3)从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)有多 少种? 解析:将 I ? ?1,2,3

,100? 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 A ? ?4,8,12, 100? ;能被 97? ,能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2,6, ,98? ,能被 4 除余 3 的数集

4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,

D ? ?3,7,11,

99? ,易见这四个集合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取

一个数也符合要求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法
2 1 1 2 共有 C25 种. ? C25 C25 ? C25

10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式

n( A B) ? n( A) ? n( B) ? n( A B) .
例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多 少种不同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙跑第四棒的排列} , 根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
4 3 3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种.

11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。 例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
4 1 解析:老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法;所以共有 1 4 A3 A4 ? 72 种.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理. 例 12.(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是 A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种
6

解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A6 ? 720

用心

爱心

专心

3

种,选 C . (2)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在 后排,有多少种不同排法?
2 解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半段的四 1 5 1 2 5 个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.

13.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽. 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台, 其中至少要甲型和乙型电视机各一台, 则不同的取 法共有 A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种

解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的
3 3 3 取法共有 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种,选. C

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;
2 1 1 2 故不同的取法有 C5 C4 ? C5 C4 ? 70 台,选 C .

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取 后排法. 例 14.(1)四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
2 解析: “先取”四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种, “再排”在四个盒中每次排 3 3 2 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种.

(2)9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方 法?
2 2 2 解析:先取男女运动员各 2 名,有 C5 中排法,故共有 C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A2 2 2 2 C5 C4 A2 ? 120 种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数, 即为所求. 例 15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有 A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种
4

解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C8 四面体,但 6 个表面和 6 个对角面的四个 顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有 C8 ? 12 ? 58 个.
4

(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种

4 解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上,每

用心

爱心

专心

4

4 4 面内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过棱 4 4 上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141 种.

16.圆排问题线排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不 同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列 的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列 n 个普通排列:

a1 , a2 , a3

, an ; a2 , a3 , a4 ,

, an ,

; an , a1,

, an?1 在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认

为相同, n 个元素的圆排列数有

n! 种.因此可将某个元素固定展成线排,其它的 n ? 1 元素全排列. n

例 16.5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
4 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的

左边和右边,有 2 种方式,故不同的安排方式 24 ? 2 ? 768 种不同站法.
5

说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An 种不同排法. m
n

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可 逐一安排元素的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m 种方法. 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 解析:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案,第二步:将第二 名实习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有 7 种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18.马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三 盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
3 解析:把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法,所以满
6

足条件的关灯方案有 10 种. 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可 使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒 子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法? 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利用枚举 法分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子 时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2C5 ? 20 种.
2 2

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爱心

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5

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.(1)30030 能被多少个不同偶数整除? 解析:先把 30030 分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数 2 必取,3,5, 7,11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为
0 1 2 3 4 5 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 32 个.

(2)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线? 解析:因为四面体中仅有 3 对异面直线,可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四
4 面体,从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C8 ?12 ? 58 个,所以 8 个顶点可连成的异面

直线有 3×58=174 对. 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化 为简单问题处理. 例 21.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个? 解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条
4 弦相交于圆内的一个交点, 于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形, 显然有 C10 4 个,所以圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 个.

(2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径有多少种? B

A 解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走法
4 有 C7 种.

用心

爱心

专心

6


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